Дотеэтетовский арифметичекий подход
Авторитеты истории древнегреческой математики более или менее согласны с тем, что раннепифагорейская математика была прежде всего «арифметической», нежели «геометрической». Более того, в отличие от геометрии, в арифметике ранние пифагорейцы от Гиппаса до Феодора были практически монополистами.
Как отмечает Жмудь, «все известные нам математики V-IV вв. были пифагорейцами, либо их учениками (как Теэтет и Эвдокс). Более того, Аристоксен считал Пифагора основателем теоретической науки о числах»[369][370]; книги VII-IX «Начал» происходят, наверное, от пифагорейцев. Архит свидетельствует (оценка пифагорейской арифметики):Думается, что искусство счета (λογιστική) весьма превосходит прочие искусства в том, что касается мудрости (σοφία), в том числе и геометрическое искусство, ибо она с большей очевидностью трактует то, что ей нужно. [...] И там, где геометрия оказывается бессильной, искусство счета восполняет доказательства, и равным образом при любом исследовании фигур (είδέων πραγματεία), и то, что относится к фигурам.[371]
В науке широко распространено мнение, что «искусство счета» в период от Гиппаса до Феодора было «псефическим» (dot-arithmetics или pebblearithmetics). Это означает, что числа были представлены с помощью двухмерного построения камешков (псефов — ψήφοι). Ядром древней псефической арифметики была теория четного и нечетного. Это утверждение имеет определенное, но не совсем бесспорное, текстуальное подтверждение. Одно из главных свидетельств — фрагмент, приписываемый комедиографу Эпихарму (сер. V в.). Он подтверждает, что в V веке арифметика изучалась с помощью точек (камешков) и что широкая публика знала, что четность числа
372
меняется, если от числа отнять единицу:
— к нечетному числу или, если тебе угодно, к четному, Кто-нибудь пожелает прибавить камушек [=единицу] или же отнять
[его] от имеющихся в наличии:
Как ты думаешь, будет ли это то же [число]? — По-моему нет.371 [372][373][374] Другое важное свидетельство — описание гномона из «Физики»: Далее, пифагорейцы отождествляют бесконечное с четным [числом], ибо оно, [четное], будучи заключено внутри и ограничено нечетным, сообщает существующим [вещам] бесконечность. 374 тот же. Рис. 8: Гномоны [Lucic 2015b: 1.3]. Гномон сохраняет неизменной форму того, к чему его прибавляют375, и с большой долей уверенности мы можем сказать, что он принадлежит к тому же типу псефической арифметики, что и теория четных и нечетных чисел.[375][376] Также Хит продемонстрировал, что средствами псефической арифметики, то есть с помощью гномона, ранние пифагорейцы могли проверять разные «пифагорейские тройки»:[377][378]если к квадрату нечетного числа добавить гномон, являющийся квадратным числом, то наглядно получается новое квадратное число, а тем самым, и «пифагорейская тройка». Саму «теорему Пифагора» Эвклид формулирует так: В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен квадратам на сторонах, 378заключающих прямой угол. Историки математики реконструировали теорию четного и нечетного, которая могла существовать в V веке, а также методы анализа, которые использовались пифагорейцами. Главная истина древней теории о четном и нечетном видна в выше приведенном фрагменте Эпихарма, истолкованному в смысле «четность изменяется одним псефом»; такое толкование (как и само существование псефической арифметики) подкрепляется определением нечетного у Эвклида, 379 которое явно опирается на нечто вроде визуального представления чисел: Определение 6: Четное число есть делящееся пополам. Определение 7: Нечетное же — не делящееся пополам или 380 отличающееся на единицу од четного числа. В соответствии с этим толкованием, Бекер, ссылаясь на Барнета,[379][380][381]утверждал, что целое число представлялось рядом камешков в двух цветах, а сложные числа —квадратами или прямоугольниками: Рис. Аристоксен во фрагменте 23 в контексте пифагорейцев так определяет четные и нечетные числа (это тоже считается подтверждением псефической природы ранней арифметики): Четными числами называются те, что делятся на равные части, нечетными — те, что на неравные и имеют середину. Поэтому считается, что по нечетным дням происходят кризисы болезней и перемены, связанные с началом [болезни], кульминацией и выздоровлением, так как нечетное число имеет начало, середину и конец.[382] Разница между четными и нечетными числами такова: Рис. 10: Четные и нечетные числа. Нечетные числа имеют «середину» [Lucic 2015b: 2.3]. Как объясняет Жмудь, «говорить о середине применительно к числу имеет смысл лишь в том случае, если его представляют в виде счетных камешков, псефов». Если сравнить определение Эвклида, видно, что концепт числа эволюционировал; поэтому описание, сохранившееся у более поздних авторов, старше, и, скорее всего, действительно происходит из пифагорейской математики V века.[383]Несмотря на это, определения VII.8-11 «Начал» соответствуют основному знанию древней теории о четном и нечетном. Рис. 11: Примеры умножения четных и нечетных чисел; нечетный результат имеет «середину» и в прямоугольной форме [Lucic 2015b: 2.3]. Однако критика реконструкции псефической арифметики достаточно сильная.[384]Филип отрицал важность упомянутого пассажа из «Физики», говоря, что он не представляет интереса для истории арифметики и что идея о камешках идет от Платона.[385]Этот вывод соотносится с оценкой Буркерта, что до Архита пифагорейская арифметика состояла из «заимствованных у вавилонян формул, числовой мистики и туманной спекуляции о четном и 386 нечетном».[386] В одной из последних работ на эту тему Нец доказывает[387], что весь концепт «псефической арифметики» ошибочен и что целые книги (напр. Нец находит источники заблуждения о «псефической арифметике» в кратко вышеописанном нами толковании Бекера; как напоминает Нец, толкование было предложено Барнетом еще в конце XIX века[389]и потом разработано самим Бекером в 1936 г. «Гипотеза Бекера» — это заблуждение о существовании «специфической формы раннепифагорейской арифметики» и вера в то, что фрагменты «Начал» (прежде всего IX.21-34) являются копией этой древней арифметики.[390]Нец делает вывод похожий на вывод Буркерта, что первым и последним математиком у ранних пифагорейцев был Архит.[391] Как мы видим, все эти аргументы обосновываются в рамках интерпретации пифагорейской «математики» как части предыстории сегодняшней математики. Если отбросить этот компонент, остается факт, что некое занятие числами (в доаристотелевском смысле) существовало. И то, что оно не имеет ценности для истории математики (как говорил Филип), никак не означает, что оно не имеет значения для истории мысли. Значит, на наш взгляд, в данном случае нет причин не доверять Аристотелю, потому что предложенная стандартная интерпретация псефической арифметики согласуется с независимыми свидетельствами. Место теории четного и нечетного соответствует важности этих концептов для Филолая. Как правильно отмечает Лучич, псефами невозможно представить число как абстрактный концепт, и этот факт соответствует нашим выводам о несовместимости аристотелевского концепта числа с мыслительными феноменами, которые мы находим во фрагментах Филолая и в практике Эврита (связь с Эвритом отмечал и Норр[392]). Также с этим идеально согласуется и практика конструирования «треугольных чисел», и, возможно, «Петрон» (подраздел 2.2.1). Как добавляет Лучич, наверное, уже в середине IV века камешки не были основным средством арифметики[393]; это можно предполагать с большой уверенностью, потому что до этого появилась радикально новая идея числа; об этом поговорим в подразделе 2.3.4. Отрицание «математической» ценности псефической арифметики, возможно, частично связано и с тем, что ее достижения кажутся незначительными. Попробуем показать, что это не совсем так. 2.3.4.
