Динамічний хаос ЯК ЄДНІСТЬ ПОРЯДКУ Й БЕЗЛАДУ

Європейську традицію протиставляти невпорядкований хаос впо­рядкованому космосу було посилено в Новому часі науковим погля­дом на світ як на математичний універсум, тобто як на законовідпо- відний космос.

Дійсно, самоорганізація - це спонтанне виникнення цілісних скла­дних утворень в однорідному до цього середовищі. Не завжди, проте, усвідомлюється та обставина, що середовище це є хаотичним і що новий порядок виникає саме із хаосу. Такий вихідний хаотичний стан передує критичному стану, в якому нерівноважність викликає дію нелінійних законів. Чітке розгалуження подальших можливостей еволюції системи (двох у ситуації біфуркації) становить вражаючий контраст впорядкованого когерентного руху елементів середовища з попереднім станом термодинамічного хаосу. Цей хаос називають тер­модинамічним, оскільки в ньому діють лінійні закони термодинаміки. Забезпечується дія цих законів тим, що тепловий хаотичний рух час­тинок середовища руйнує завдяки випадковим зіткненням невеликі флуктуації, не даючи їм зростати, і середні значення величин виявля­ються найімовірнішими. Тому хаос такого типу називають ще статис­тичним. Така назва більше відповідає тенденції застосовувати відпові­дні уявлення за межами фізики: при розгляді популяцій у біології або в соціологічних чи економічних дослідженнях суспільного життя.

Повернемося до фізики: статистичні закони руху атомно-кіне­тичної теорії виступають як пояснювальна модель дії законів термо­динаміки. Отже, і в лінійній теорії рівноважної термодинаміки мак­роскопічний порядок забезпечується безладом у русі мікроскопічних складових середовища.

Застосування теорії ймовірностей вважалося спричиненим нездат­ністю обмеженого людського розуму простежити й розрахувати рух кожної з безлічі частинок і зіткнень між ними. Тобто в силі залишався класичний ідеал наукової раціональності, і уявлення нескінченно по­тужного суб'єкта як "демона Аапласа" й "демона Максвелла" продов­жувало мати сенс до початку нинішньої наукової революції. Не слід недооцінювати вплив статистичної теорії на сподівання керувати по­ведінкою людей, принаймні їхньої більшості, вважаючи інші варіанти поведінки малоймовірними. Хоч після доби Просвітництва пряма ек­страполяція природних законів на суспільство вже не віталась, уяв­лення про законовідповідність все ж базувалися на авторитеті приро­дничих наук, особливо фізики. Таким чином, уявлення фізичної кар­тини світу були "науковим" підґрунтям намагань планувати виробни­цтво й життя мас людей у XX ст. Тим не менш, крах цих сподівань можна вважати природним, навіть виходячи з науки того ж періоду, якщо не зводити її до фізичної картини світу.

Суперечність між лінійною фізикою й біологією в ХІХ-ХХ ст. була однією з головних перешкод для створення єдиної загальнонаукової картини світу. Еволюційний підхід у біології як природний розглядав рух до більшої впорядкованості. У лінійній фізиці природним вважав­ся рух до меншої впорядкованості, найбільш імовірного стану, стану рівноваги. Інакше кажучи, стан рівноваги був атрактором для сис­тем, близьких до цього стану. На відміну від уявлень фізичної карти­ни світу, екстраполюючих термодинамічні уявлення зрештою до ідеї теплової смерті Всесвіту, у фізичній теорії було зазначено умови за­стосовності рівноважної статистичної фізики. Отже, можна було спо­діватися, що за інших умов вона не справджуватиметься.

Правило Гіббса передбачає, що кожному макростану системи рів- ноймовірним чином відповідають усі можливі мікростани. Це озна­чає, що неважливо, які саме молекули матимуть найбільші чи най­менші з можливих значень швидкостей чи імпульсів. Головне, щоб найбільша їхня кількість мала найбільш імовірні, тобто близькі до се­редніх, значення. Тоді температура чи тиск у середовищі відповіда­тимуть законам рівноважної термодинаміки.

Сильно нерівноважним ситуаціям: перепаду температур (як при утворенні комірок Бенара) або тиску (як при утворенні вихорів у збу­реній воді за моторним човном) відповідають інші атрактори руху елементів середовища. Це зовсім не стан рівноваги. Так, природна поведінка натовпу в театральному фойє під час антракту й після тре­тього дзвінку відрізняється.

Нерівноважність ситуації й відповідно нелінійна поведінка можуть мати і зовнішні (нагрівання, збурення), і внутрішні причини (автока- талітичні хімічні реакції, зростання популяції в обмеженій екологічній ніші, процеси горіння і т. ін.). Ми вже описували самоорганізацію як спонтанне утворення структур, тобто збільшення впорядкованості ру­ху елементів середовища. Те, що на графіку розв'язків рівнянь вигля­дає як критична точка біфуркації, відповідає виникненню в середо­вищі двох атракторів. Випадковість вибору елементами системи того чи іншого варіанта, що виглядає дещо містично при квазікласичному розгляді особливої точки на графіку, стає зрозумілішим, якщо таку точку "розпакувати", тобто розглянути відповідний хаотичний рух елементів середовища. У нерівноважній ситуації варіантів поведінки залишається небагато.

Опинившись у сфері тяжіння того чи іншого атрактора, елемент середовища, молекула чи людина рухається когерентно з іншими у відповідному напрямку. У полі дії якого атрактора опинилась частин­ка, визначається випадковістю попереднього хаотичного стану й гра­ничних умов (тобто, де розташований певний елемент середовища - ближче до джерел нелінійності або до стоків відкритої системи у кри­тичному стані). Під час стихійного лиха чи техногенної катастрофи доступ до інформації, суспільний стан, наявність дітей, яких потрібно рятувати, визначають характер дій, але в цій критичній ситуації ви­бір варіантів поведінки невеликий - їхати або залишатись.

Оскільки стійкі варіанти самоорганізації мають місце у відкритих системах, тобто вироблена ентропія передається середовищу й змінює умови самоорганізації, за першою біфуркацією йдуть наступні. Кож­не розгалуження в наступних критичних точках знову розгалужуєть­ся. Стійкими стають на деякий час інші стани системи. Так, при збі­льшенні швидкості човна водяні вихорі розділяються на дрібніші.

Цей каскад біфуркацій завжди є обмеженим. На певному кроці (часто на четвертій біфуркації) відбувається перехід до хаотичної по­ведінки параметра порядку системи. Це означає, що поведінка еле­ментів середовища залишається колективною, стаючи при цьому хао­тичною. Відомі різні сценарії входження до такого, динамічного, хао­су. Хаотичність поведінки тут забезпечується не зовнішніми збурен­нями, а самою нелінійною динамікою системи. Тому й така назва - динамічний хаос.

Математичні моделі динамічного хаосу - це ітераційні формули, які можуть бути наближеним розв'язком нелінійних рівнянь або спеціа­льно підібраною імітацією нелінійної динаміки. Динамічний хаос тому іноді називають ще алгебраїчним хаосом. Така модель, звичайно, є ідеалізованою. Існує й так званий стохастичний хаос, де параметри, що входять в ітераційні формули, випадковим чином змінюються.

Отже, однією з головних ознак впорядкованості, притаманних ди­намічному хаосу, є те, що складна нелінійна динаміка розгортається за певною, доволі простою формулою.

У динамічному (детермінованому) хаосі кожна точка фазового про­стору є особливою - точкою виникнення причини, і кожен крок нелі­нійної динаміки пов'язаний з випадковим вибором можливих варіан­тів. Таким чином лапласівський детермінізм демонструє свою неза­стосовність саме в царині детермінованих процесів. Нескінченний розум не має сенсу уявляти, тому що принципова невизначеність ви­бору не долається його потужністю.

Неможливість довгострокового прогнозування процесу, кожен крок якого детермінований, пояснюється перебільшенням найдрібніших різниць у вихідних значеннях параметрів. А. Пуанкаре випередив су­часний погляд, згідно з яким дуже малі невизначеності у стані систе­ми можуть підсилюватися із часом і передбачення віддаленого майбу­тнього можуть ставати неможливими. Причому швидке зростання невизначеності відбувається за експоненціальним законом і досягає макроскопічних розмірів.

Як зрозуміти згадане перебільшення вихідної різниці? Проілюструє­мо це на одній з найбільш вивчених ітераційних формул нелінійної ди­наміки, яка пов'язана з піднесенням до квадрата початкового значен­ня змінного параметра. Якщо ми починаємо з величин, що трошки ме­нші, чи трошки більші одиниці, траєкторії нелінійної динаміки врешті- решт дуже розійдуться, оскільки в першому випадку атрактором є нуль, а у другому - це нескінченність.

Ось що пишуть із цього приводу Х-О. Пайтген і П.Х. Ріхтер у перед­мові до своєї відомої книги "Краса фракталів": "Будь-який нелінійний процес призводить до розгалуження, до роздоріжжя, в якому система може обрати той або інший шлях. Ми маємо справу з вибором рішень, наслідки яких неможливо передбачити, оскільки для кожного із цих рішень є характерним підсилення. Найнезначніші неточності перебі­льшуються і мають далекосяжні наслідки. У кожен окремий момент причинний зв’язок зберігається, але після кількох розгалужень його вже не видно. Рано чи пізно вихідна інформація про стан системи пе­рестає бути корисною. У ході еволюції будь-якого процесу інформація генерується й запам'ятовується. Закони природи допускають для подій множину різних варіантів, але наш світ має одну-єдину історію" [17].

Отже, далекосяжні прогнози неможливі. Але є й гарна новина. Во­на пов'язана з утворенням стійких складних структур у полі конкуре­нції різних атракторів. Так, у нашому прикладі з піднесенням до ква­драта на кожному кроці ітерації, коли вихідне значення змінної х до­рівнює одиниці, всі наступні піднесення до квадрата залишать зна­чення х незмінним. Отже, на фазовій площині, з якої атракори нуль і нескінченність приберуть все інше, залишиться стійка траєкторія - коло з радіусом одиниця. Якщо ж ітераційна формула, окрім підне­сення до квадрата, передбачає ще й додавання на кожному кроці іте­рації певної комплексної величини С, то замість кола матимемо більш складну й примхливу криву.

Відомий математик Б. Мандельброт, розглянувши варіанти спів­відношення вихідного значення х і різних комплексних значень сталої С, отримав множину Мандельброта, належність до якої визначає мо­жливості утворення різноманітних складних структур. Він назвав ці структури фракталами, виходячи з того, що їхня розмірність є дробо­вою, а не цілою. При цьому він скористався з результатів, отриманих ще на початку XX ст. Г. Жоліа, П. Фату, Ф. Хаусдорфом, Г. Кантором, X. Кохом та ін. Результати ці тоді вважались екзотичними й такими, що не мають відношення до реальності. Заслуга Мандельброта поля­гає, крім іншого, в тому, що він визначив фрактальну геометрію як геометрію хаосу. Що ж до стосунку до реальності, то схожість фрак- тальних структур на структури, що ми постійно спостерігаємо навко­ло себе, вражає. Гарні зображення фракталів, отримані методом ком­п'ютерної симуляції, широко представлені в Інтернеті. (Деякі з адрес веб-сайтів можна знайти у списку літератури. Інші адреси підкажуть пошуковики.) Зіставлення певних кольорів і певних параметрів до­зволяє візуалізувати їх нелінійну динаміку, відповідну нелінійним іте- раційним формулам. Використання подібних методик дозволяє стис­кати інформацію, представляючи замість багатобайтового опису складної картинки простий опис їх швидкого отримання. Ця обста­вина добре ілюструє думку про те, що теоретичний опис складних си­стем може й має бути простим. Схожість такої комп'ютерної симуля­ції на гірські ландшафти, форму крон дерев та їхнього листя, на фо­рму морських мешканців і на візерунки, що прикрашають шкіру де­яких живих істот, наводить на роздуми про справедливість влучного вислову про те, що у природи фрактальне обличчя.

Порівнюючи фрактальну геометрію з геометрією Евкліда, Мандель­брот писав: "Чому геометрію часто називають холодною й сухою? Од­на з причин полягає в її нездатності описати форму хмари, гори, бе­регової лінії або дерева. Хмари - не сфери, гори - не конуси, берегові лінії - не кола, деревна кора не гладка, блискавка поширюється не по прямій. У більш загальному плані можна стверджувати, що багато об'єктів у Природі настільки ірреіулярні й фрагментовані, що порів­няно з Евклідом - термін, що в цій роботі означає всю стандартну ге­ометрію, - Природа має не просто більшу складність, а складність зо­всім іншого рівня" [13].

Дійсно, складність фракталів принципово відрізняється від розу­міння складності, притаманного евклідовій геометрії. Там складне ро­зглядалось як складене з простого. Будь-яку складну лінію або фігуру можна було звести до суми простих відрізків, дуг, трикутників абощо, просто зменшуючи масштаби розгляду. Складність фракталів прин­ципово інша: змінюючи масштаб, ми знаходимо таку саму склад­ність. Для геометричних фракталів ця властивість носить назву мас­штабної інваріантності, оскільки відповідність є повною (власне, ця відповідність визначається способом їх побудови). Для алгебраїчних фракталів, що утворюються в полі конкуренції атракторів динамічно­го хаосу, йдеться, швидше за все, про самоподобу. І ця властивість є однією з визначальних ознак фрактала.

Фракталом називають структури, що складаються із частин, які в певному розумінні подібні до цілого. "Усі фігури, які я досліджував і називав фракталами, - пояснював Мандельброт, - у моєму розумінні мали властивість бути "нерегулярними, але самоподібними". Формулю­вання "нерегулярний, але самоподібний" було спробою втиснутися між двома можливостями, до яких ці теорії зводились раніше. Першу з них ілюструє теорія Евкліда, яка досліджує виключно впорядковані й глад­кі фігури (елементи кривих в Евкліда завжди самоподібні, але тривіа­льним чином: всі криві є локально прямими, а прямі завжди самоподі­бні). Друга стара можливість була пов'язана із фігурами довільної скла­дності й невпорядкованості" [15, с. 137]. Саме ця можливість і була по­в'язана з вивченням хаосу. Лише частину хаотичних систем поки що було досліджено і як раз ті, що мали самоподобу й завдяки їй могли бу­ти вивчені. Мандельброт зауважує, що їх корисно було вивчити хоча б у силу численних прикладів самоподоби у природі.

Важливо зазначити, що неможливість далекосяжних прогнозів на кшталт притаманних лінійній науці не означає, що нові знання не є корисними і не можуть бути використані практично. Ю. Данилов, математик, перекладач більшості робіт І. Пригожина і Г. бакена, пи­сав: "Фрактальні властивості - не примха і не плід пустої фантазії ма­тематиків. Вивчаючи їх, ми навчаємось розрізняти й передбачати важливі особливості оточуючих нас предметів та явищ, які раніше, якщо й не ігнорувались повністю, то оцінювались лише приблизно, якісно, на око. Наприклад, порівнюючи фрактальні розмірності скла­дних сигналів, енцефалограм або шумів у серці, медики можуть діаг­ностувати деякі тяжкі захворювання на ранній стадії, коли хворому ще можна допомогти. Метеорологи навчились визначати за фракта- льною розмірністю зображення на екрані радара швидкість висхід­них потоків у хмарах, що дозволяє з великим випередженням вида­вати морякам і льотчикам штормові попередження" [7].

Як бачимо, це дещо інший тип прогнозів, ніж у лінійній науці, де світ вважався прозорим для довгострокового передбачення (скажімо, сонячних затемнень). У науці про динамічний хаос самоподібність фракталів визначає ту обставину, що при зміні масштабів ми знову і знову опиняємось у "вікнах прозорості", в яких можливе передбачен­ня або принаймні розуміння альтернативних варіантів розвитку по­дій на фоні загальної непрозорості. Це знову ж таки вказує на момен­ти впорядкованості у хаосі. Зауважимо лише, що фрактальна само­подібність, яка в теорії й комп'ютерній симуляції виявляє себе за до­вільної кількості зміни масштабів, у природі спостерігається лише за кількох змін масштабів (звичайно, на четвертому кроці маємо справу вже просто з іншими речами). Наприклад, розташування прожилок на листах дерев подібно до їхньої кореневої системи та розташування гілок у кроні дерева, але не до структури лісу.

Як ми вже неодноразово наголошували, некласичний тип наукової раціональності забезпечує об'єктивність наукового пізнання за раху­нок урахування активності суб'єкта, зокрема, використовуваних ним засобів спостереження. Необхідність брати до уваги пізнавальну по­зицію суб'єкта виявляється дуже важливою й у нелінійній науці. Зок­рема, це пов'язане з тим, що фрактальні властивості деяких об'єктів роблять непридатними до них такі звичні процедури, як вимірюван­ня довжини. У більшості текстів, присвячених фракталам, ви знайде­те згадку про вимірювання довжини берегової лінії острова, на якому розташована Великобританія. За намагання уточнити цю довжину, тобто за зменшення масштабів вимірювання, довжина ця не уточню­валась, а змінювалась. Давалась взнаки фрактальність цього об'єкта, а точніше - дробова розмірність, йому притаманна. Неможливо вимі­ряти лінійкою, тобто приладом із цілою розмірністю одиниця, лінію, розмірність якої інша. До фрактального об'єкта незастосовне таке вимірювання. Отже, потрібно визначитись з масштабами і викорис­товувати поняття довжини в такому підході, коли фрактальністю можна знехтувати. Тут діє своєрідний принцип доповняльності.

Мандельброт використовує для ілюстрації відносності вияву фрак- тальності об'єкта до позиції спостерігача приклад з мухою, яка на пе­вній відстані бачить клубок ниток як гладку кулю, наближаючись, помічає шорсткість цієї кулі, тобто науковою мовою - фрактальність. Підлетівши ще ближче, муха як спостерігач знову опиниться в ліній­ній ситуації, розрізнивши гладенькі нитки, а, сівши на клубок, знову "засвідчить" фрактальність вовни.

Щоб зрозуміти, наскільки складнішою є звичайна ситуація спо­стерігача нелінійних процесів, треба зважити на те, що ми стикає­мось із фракталами не лише у спокійному стані берегової лінії або клубка ниток. Найчастіше ж маємо справу з нелінійної динамікою на різних її фазах. Для правильного розуміння нелінійних процесів слід зважати ще й на співвіднесення темпоритмів існування такого динамічного об'єкта й суб'єкта зі спостережувальними можливостя­ми його та його приладів. Так, людству поки що не вистачає часу спостереження, щоб визначитись, чи є озонові діри наслідком його діяльності, чи це незалежний від людини природний процес. А голо­вне, зручну квазікласичну позицію зовнішнього спостерігача, яка практично виражається у спостереженні фізичних чи хімічних про­цесів, а теоретично у відтворенні фазового портрета нелінійного процесу, доводиться змінювати на позицію учасника нелінійного процесу, екологічного або соціального.

Проте наука на багато що спроможна у визначенні стратегії люд­ської діяльності й у нелінійній області. Навіть за неможливості перед­бачення наявність пояснення нелінійних процесів самоорганізації, принаймні їх розрізнення, можуть багато сказати людині про те, на що вона може сподіватися при певному способі дії й чого слід остері­гатися. Стратегія поведінки з огляду на ці різні типи самоорганізації у спробі забезпечити вибір її сприятливого варіанта або уникнути не­сприятливого суттєво різниться для різних типів хаосу й етапів само­організації. Тому дуже важливим є вміння визначати, чи є середови­ще хаотичним і що це за хаос.

Так, розуміння того, на якій стадії самоорганізації перебуває суспі­льство, надзвичайно важливе для вироблення стратегії поведінки в ньому і особливо - для визначення напряму керівних впливів. А оскі­льки сприятливим сценарієм самоорганізації прийнято вважати від­носно стале існування структур, що самоорганізуються, для вироб­лення синергетичної стратегії важливе таке питання: за яких умов можливе стале існування соціальних систем, якщо розглядати їх як самоорганізовані? Адже існують також інші, значно менш сталі та менш сприятливі її варіанти, зокрема самоорганізація в юрбі в моме­нти соціального вибуху або самосуду.

Якщо ситуацію можна інтерпретувати як нелінійну й таку, що роз­гортається за сценарієм входження у хаос, то тут відкриваються мо­жливості утворення складних систем на кшталт фракталів у зоні кон­куренції різних атракторів нелінійної хаотичної динаміки. Слід, утім, пам'ятати, що така динаміка можлива лише для параметрів порядку, у ситуації, що ґрунтується на попередній самоорганізації. Уже наяв­ний кооперативний (когерентний) рух багатьох елементів середовища саме й характеризується параметром порядку. Коли така узгодже­ність зникає, руйнується саме середовище, що зумовлює самооргані­зацію складних систем у динамічному хаосі.

Щоб коректно сформулювати питання стосовно самоорганізації в нелінійних середовищах, слід визначити, про яке середовище йдеть­ся, врахувати ієрархічність рівнів, на яких відбувається самооргані­зація. Це дасть підстави говорити про перехідні процеси на одному рівні без втрати стану гомеостазису на іншому. Тоді можна застосу­вати поняття параметрів порядку й контрольних параметрів і визна­чити можливості впливу на процеси самоорганізації адекватно до ро­зуміння їхньої природи.

Так, видається природним вважати елементами соціального середо­вища окремих людей, а чинниками, що визначають його нелінійність, - наявність у людей свідомості, емоцій, інтересів тощо. Це, безумовно, правильно, якщо говорити про базовий рівень самоорганізації в суспі­льстві, хоч і тут не можна не зважати на культурно-історичну визначе­ність цих свідомостей, емоцій та інтересів. Те, що може спричинити паніку чи обурення в одному натовпі, залишить байдужим інший.

Проте для вищих різновидів самоорганізації елементами середови­ща є сім'ї, племена, партії, держави та інші форми самоорганізації людства. Так, несхожість політичних процесів у західних демократіях і в постсоціалістичному просторі пов'язана з тим, що відбуваються ці процеси в різних середовищах. Самоорганізація політичних партій створює елементи того середовища, в якому можлива у принципі ба­жана політична самоорганізація.

З огляду на таку ієрархічність середовищ, коли існування елементів середовища середнього рівня забезпечується попередньою самоорга­нізацією на мікрорівні й перебіг її відбувається за умов, визначених станом справ на мегарівні, відкривається принципова можливість розрізняти стани таких середовищ.

Фрактальні структури виникають у хаотичному середовищі на межі конкуренції різних атракторів. "Перемога" одного з них - це режим із загостренням, не корисний і для його прихильників. Ба­ланс інтересів, але не їх рівновага створює складну структуру полі­тичного життя. Це розуміли задовго до синергетики фундатори де­мократії та прихильники свободи, коли обстоювали права меншості, з якою не погоджувалися.

У випадку ж самоорганізації на однорідному середовищі, що являє собою статистичний хаос, стійкому стану відповідає як раз перемога одного з атракторів, тому стратегія поведінки має бути інша. Так, само­організація демократичних інститутів у посттоталітарних суспільствах відбувалась успішніше, коли повернення до фашистського або соціаліс­тичного режиму виключалось за рахунок відсторонення відповідних по­літичних сил з політичного процесу, принаймні на деякий час.

У роботах [1; 8; 11] розглянуто застосовність синерегтичних моде­лей у суспільствознавстві: соціології, економіці, демографії. Уже зга­дувалося про використання нелінійних методів у біології та медицині. Швидко розвиваються й відповідні розділи фізики. Скажімо, існує вираз "фрактальна фізика", пов'язаний, зокрема, з вивченням дифузії

у фрактальних системах [29]. Отже, застосування синергетичних тео­рій динамічного хаосу, фрактальної геометрії, теорії катастроф, що мають трансдисциплінарний характер, у моделюванні нелінійної ди­наміки різної природи може врешті-решт приводити до створення теорій в окремих дисциплінах.

Слід, однак, мати на увазі, що фундаментальна теоретична схема теорій самоорганізації не належить окремій дисципліні. Запорука ус­пішного розвитку нелінійної науки в її відкритості, можливості швид­кого обміну досвідом з різних галузей. Сама нелінійна наука являє со­бою відкриту систему, що самоорганізується.