Ахиллес и черепаха

Зенон Элейский (V в. до н.э.) приводит четыре опровержения движе­ния, основанные на возможности бесконечной делимости пространства и времен. Одно из этих опровержений (апорий - безвыходное положение) получило название «Ахиллес и черепаха».

Парадокс допускает две интерпретации. Во-первых, Зенон мог иметь в виду, что Ахиллес должен сначала преодолеть половину расстояния между собой и уползающей черепахой, затем четверть оставшегося рас­

стояния, затем его восьмую часть и так далее до бесконечности. Но если это так, тогда Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху в конечное время. Такое заключение является парадоксальным.

Во-вторых, Зенон мог иметь ввиду, что прежде чем Ахиллес достиг­нет половины пути между собой и черепахой, он должен преодолеть его четверть, а для этого он должен пробежать его восьмую часть и так далее до бесконечности. Но если это так, тогда Ахиллес не сможет даже начать движение в конечное время. Данное заключение, соответствующее апо­рии Зенона «Дихотомия», также парадоксально.

Обе интерпретации допускают обобщение: «Ни одно движение не может быть закончено в конечное время» и «Ни одно движение не может быть начато в конечное время». Нетрудно увидеть, что оба обобщения эквивалентны. Если истинно первое, то всегда истинно второе; а если ис­тинно второе, то необходимо истинно и первое. Значит, каждая из интер­претаций является необходимым следствием другой и они эквивалентны друг другу.

Доказательство Зенона символизирует следующее умозаключение.

1. Движение либо возможно, либо невозможно

2. Если движение возможно, тогда Ахиллес может про­

бежать бесконечное число непрерывно уменьшающих­ся отрезков за конечное время (1)

3. Ахиллес не может пробежать бесконечное число непрерывно уменьшающихся отрезков за конечное время, так как движение не может начаться или, что то же самое, никогда не может закончиться в конечное время

Значит, движение невозможно

Умозаключение (1) общезначимо, т.е. заключение следует из ука­занных посылок. Но оно противоречит обыденному и научному опыту. Значит, причина парадокса в недостоверности по крайней мере одной из его посылок. Первая посылка указывает альтернативы доказательства. Список альтернатив удовлетворяет требование полноты. Значит, первая посылка истинна. Вторая посылка также истинна, так как при допущении возможности движения предел суммы s (1/2 + 1/4 + ... + 1/2"), где n → ∞ и s- конечное расстояние, равен s. Сомнение может вызывать только тре­тья посылка. Основные доводы против истинности этой посылки были высказаны Аристотелем.

Согласно Аристотелю, «...ошибочно рассуждение Зенона, в котором предполагается, что невозможно пройти бесконечное множество предме­тов или коснуться каждого из них в конечное время»^[62], потому что «бес­конечного в количественном отношении нельзя коснуться в конечное время, а бесконечного в отношении деления можно, так как само время бесконечно именно в таком смысле»^[63]. Делимость времени прямо пропор­циональна делимости расстояния. Это очевидно при рассмотрении рав­номерного движения. Ведь в этом случае «все движение будет проделано во столько разных промежутков времени, сколько таких частей (расстоя­ния. - В.С.) будет в целом» и, следовательно, «всякое тело, движущееся с равной скоростью, необходимо проходит конечное расстояние в конечное время»^[64].

Ложность третьей посылки разрушает доказательство Зенона, т.е. лишает умозаключение (1) всякой логической силы.

Пусть sобозначает расстояние, которое Ахиллесу необходимо пробе­жать, чтобы догнать черепаху, t- время, которое ему необходимо на это потратить. Из курса школьной физики известно, что они связаны следу­ющим уравнением:

Допустим, скорость Ахиллеса равна v_A = 10 м/с, скорость черепахи v₄ = 0,1 м/с; скорости обоих бегунов постоянны, и Ахиллес стартует, как только она отползет на 99 м. Значит, s₀ = 99 м. При этих условиях Ахиллес догонит черепаху ровно через 10 с.

Доказательство:

Общее время T, необходимое Ахиллесу, чтобы догнать черепаху, рав­но сумме всех временных отрезков t_n:

Откуда следует после подстановки начальных значений:

Значит, Ахиллес, бегущий с постоянной скоростью 10 м/с, догонит черепаху, уползающую от него с постоянной скоростью 0,1 м/с, ровно через 10 с после того, как преодолеет 100 м. Подставляя в (3) конкретные значения, получаем для первых трех отрезков времени:

Полученное значение является значительным приближением к 10 с, полученным ранее. Соответственно, общее расстояние, которое Ахиллес должен будет преодолеть в указанные временные интервалы, равно сум­ме пространственных отрезков:

что тоже является существенным приближением к расчетному значению 100 м.

Итак, данный парадокс разрешается, только если деление (прохожде­ние) пространства обусловлено делимостью времени. Их отношение дает нам производную, называемую скоростью.

11.2.