Дедуктивное опровержение

Дедуктивное опровержение различают в зависимости от того, что оп­ровергается - тезис, аргументы или демонстрация.

При опровержении тезиса доказывается его лож­ность.

При опровержении аргументов или демонстра­ции обосновывается только недоказанность тези­са, которую нельзя путать с его ложностью

Тезис может быть истинным, даже если аргументы ложные.

Опровержение аргументов и демонстрации обосновывает не лож­ность тезиса, а только его недоказанность. Опровержение аргументов имеет вид следующего умозаключения:

Недоказанность тезиса означает, что мы не можем приписать ему ни значение «истинно», ни значение «ложно». Доказывая ложность аргу­ментов нашего оппонента, мы лишаем его возможности категорически утверждать истинность обсуждаемого тезиса.

Умозаключение (5) показывает, что отношения «следовать с необ­ходимостью» и «доказывать» в общем и целом не являются эквивалент­ными: не все, что следует с необходимостью, доказывается; но обрат­ное всегда верно.

Опровержение демонстрации строится в виде следующего умозак­лючения:

Эффект опровержения демонстрации тот же, что и опровержения ар­гументов - обосновывается лишь недоказанность тезиса.

Итак, для дедуктивной демонстрации принципиальное значение име­ет истинность аргументов. Она необходима как для доказательства, так и для опровержения. Кроме того, важно также, чтобы или тезис, или анти­тезис являлся логическим следствием аргументов. Эти две особенности определяют специфику дедуктивного доказательства и опровержения.

При построении доказательств и опровержений необходимо также учитывать следующие особенности.

1. Для доказательства общего тезиса необходимо и достаточно оп­ровергнуть частный антитезис.

2. Для опровержения общего тезиса необходимо и достаточно до­казать частный антитезис.

3. Для доказательства общего тезиса необходимы только общие аргументы (относящиеся ко всем вещам универсума).

4. Для доказательства частного тезиса необходимо и достаточно установить существование хотя бы одной вещи универсума, обла­дающей свойствами субъекта и предиката (для частноутвердитель­ных суждений) и субъекта и отрицания предиката (для частноотри­цательных суждений).

Остальные рекомендации содержатся в анализе нижеследующих примеров.

Пример 1

Допустим, требуется доказать прямым способом тезис β = «Мы хва­лим обычно лишь для того, чтобы услышать похвалу себе» (Франсуа де Ларошфуко). Приводим тезис к нормальной форме: U = «люди»; А= «люди, которые хотят услышать похвалу себе»; С= «люди, которые хва­лят других»; β = «Все А есть С».

Построить прямое доказательство указанного тезиса, представля­ющего собой общеутвердительное суждение, означает обосновать, что каждая вещь, обладающая признаком А, также обладает и признаком С. Но поскольку связь А и С является неочевидной, требуется доказательс­тво. С чего же его начинать? С поиска аргументов, делающих связь при­знаков А и С очевидной.

Если логический переход от субъекта тезиса А к его предикату С не очевиден, то его разбивают на несколько коротких, но зато более очевид­ных переходов от А к Х, от Х к Y,..., от Zк С (где Х,..., Z- признаки,

отличающиеся как друг от друга, так и от А и С), каждый из которых фор­мулируется в виде отдельного аргумента. Иными словами, каждый ар­гумент - это некоторый ранее доказанный или очевидный в силу каких- то других причин переход от одного признака к другому. Минимальное доказательство требует всего двух аргументов - для обоснования пе­реходов от А к Х и от Х к С. В общем случае число аргументов прямо пропорционально требованию очевидности, т.е.

Общее направление поиска аргументов задается следующим вопро­сом: «Какое свойство Xсвязывает А и С таким образом, что 1) свойство Х необходимо для А; 2) свойство С необходимо для Х?». Если признака Х оказалось недостаточно для построения очевидного доказательства, отыскивается новый признак Yсогласно тому же вопросу: «Какое свойс­тво Yсвязывает Х и С таким образом, что 1) свойство Yнеобходимо для Х; 2) свойство С необходимо для Y?». Поиск аргументов продолжается до тех пор, пока переход от А к С не будет представлен в виде цепоч­ки более коротких и очевидных переходов согласно известной аксиоме силлогизма (*):

В анализируемом примере признаком, промежуточным между А и С и отвечающим указанным требованиям, является признак Х= «Люди, ко­торые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании сво­их реальных или мнимых достоинств». Так как промежуточный признак один, то имеем следующие два аргумента: α₁ = «Все люди, которые хотят услышать похвалу себе, есть люди, которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или мнимых досто­инств»; α₂ = «Все люди, которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или мнимых достоинств, есть люди, которые хвалят других».

Строим и проверяем силлогизм:

Так как аргументы истинны (очевидны) и тезис следует из них с не­обходимостью, то тезис, согласно умозаключению (1), следует считать доказанным прямым способом.

Пример 2

Доказать первым косвенным способом тезис β = «Мы хвалим обыч­но лишь для того, чтобы услышать похвалу себе». Чтобы доказать таким способом тезис, необходимо опровергнуть антитезис -β = «Существует человек, который хочет услышать похвалу себе, но при этом не хвалит других людей».

Для опровержения антитезиса необходимо доказать, что подобных людей существовать не может, т.е. ни одному А не присуще свойство - С= «люди, которые не хвалят других». Это равносильно доказательству, что А и - С несовместимы. Несовместимость в косвенных доказательс­твах становится критерием их успешности.

Для проверки несовместимости А и - С временно допускаем, что ан­титезис истинный, т.е. существует по крайней мере один человек, кото­рый хочет услышать похвалу себе, но при этом не хвалит других людей, и присоединяем его к уже известным аргументам (см. пример 1) α₁и α₂.

Строим сложный силлогизм, где Х= «Люди, которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или мнимых достоинств»:

Из аргументов α₁и α₂следует суждение «Все А есть С», которое про­тиворечит временно принятому антитезису «Некоторые А не есть С». Так как аргументы истинны, то ложным считается антитезис. Из ложности антитезиса, согласно умозаключению (2), следует косвенное доказатель­ство тезиса β = «Все А есть С».

Пример 3

Доказать вторым косвенным способом тезис β = «Мы хвалим обычно лишь для того, чтобы услышать похвалу себе».

При косвенном доказательстве вторым способом антитезис форму­лируется в виде множества взаимно исключающих альтернатив, которые вместе с тезисом исчерпывают все решения поставленной проблемы. Если тезис утверждает, что все люди, которые хотят услышать похвалу себе, хвалят других людей, то его альтернативами будут следующие два антитезиса: -β₁ = «Некоторые люди, которые хотят услышать похвалу себе, порицают других людей»; -β₂ = «Некоторые люди, которые хотят услышать похвалу себе, не хвалят и не порицают других людей».

Таким образом, при косвенном доказательстве вторым способом за­дача сводится к опровержению не общего антитезиса, как при косвенном доказательстве первым способом, а всех его частных случаев.

Приводим -β₁и -β₂к нормальной форме: - С₁= «люди, которые по­рицают других»; - С₂= «люди, которые не хвалят и не порицают других»; -β₁ = «Некоторые А есть - С₁»; -β₂ = «Некоторые А есть - С₂». Для опро­вержения -β₁и -β₂необходимо доказать, что А несовместимо как с - С₁, так и с - С₂ и тем самым с - С. Напомним, что промежуточным призна­ком является Х= «Люди, которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или мнимых достоинств». Имеем следующие аргументы: α₁ = «Все А есть Х» и α₂ = «Все Хесть С».

Строим и проверяем два силлогизма (для -β₁и -β₂последова­тельно):

Из трех взаимно исключающих и совместно исчерпывающих альтер­натив β, -β₁и -β₂последние две оказались опровергнутыми (исклю­

ченными). Следовательно, тезис β, согласно умозаключению (3), можно считать косвенно доказанным.

Пример 4

Построить опровержение тезиса β = «Число 4 простое». Приводим его к нормальной форме: U = «натуральные числа», А= «равные 4», С= «простые», β = «Все А есть С».

Опровергнуть прямым способом тезис β означает обосновать про­тиворечивость (несовместимость) связи признаков А и С. Ищем призна­ки, необходимо связанные с А и С: Х= «делиться только на себя и на 1»; Y = «делиться на себя, на 1 и 2».

Строим и проверяем сложный силлогизм:

Из аргументов α₁, α₂и α₃следует истинность общего суждения «Ни один А не есть С». Из его истинности следует истинность частного суж­дения «Некоторые А не есть С», которое противоречит тезису β и опро­вергает его.

Пример 5

«Вы изволили сочинить, что человек произошел от обезьянских пле­мен мартышек, орангуташек и т.п. Простите меня, старичка, но я с Вами касательно этого пункта не согласен и могу Вам запятую поставить. Ибо если человек, властитель мира, умнейшее из дыхательных существ, про­изошел от глупой и невежественной обезьяны, то у него был бы хвост и дикий голос» (А.П. Чехов. Письмо к ученому соседу).

Рассуждение чеховского героя содержит опровержение, в котором U = «живые существа», А= «люди», В= «произошедшие от обезьян», С= «имеющие хвост и дикий голос». Опровергаемым тезисом является суждение «Все люди произошли от обезьян», т.е. β = «Все А есть В». Первым аргументом является суждение «Все живые существа, произо­

шедшие от обезьян, обязаны иметь хвост и дикий голос», т.е. α₁ = «Все В есть С». Вторым аргументом следует считать суждение «Люди не имеют хвоста и дикого голоса», т.е. α₂ = «Ни одно А не есть С». Второй аргумент в явном виде не присутствует в рассуждении, но подразумевается как са­моочевидный факт.

Опровержение строится как доказательство несовместимости тезиса с аргументами α₁и α₂, т.е. по схеме (4).

Для проверки построим следующее сложное умозаключение:

Из аргументов α₁и α₂следует истинность общего суждения «Ни одно А не есть В» и тем самым истинность частного суждения «Некоторые А не есть В». Из истинности последнего следует опровержение тезиса β.

В отличие от чеховского героя, мы посчитали бы первый аргумент ложным. В этом случае опровержение теряет свою силу, т.е. ложность тезиса остается недоказанной.

Пример 6

Все, что требует

желудок, тело или ум, - все человеку представляет ГУМ.

(В.В. Маяковский)

Приведенный рекламный текст содержит прямое доказательство, в котором U = «магазины», А= «с товарами для желудка, тела и ума», В= «которые стоит посещать», С= «называемые ГУМом». Мы не ошибемся, если в качестве тезиса определим суждение «ГУМ - универмаг, который стоит посетить», т.е. β = «Все С есть В». Первым аргументом является суждение «Магазины, в которых есть товары для желудка, тела и ума, стоит посещать», т.е. α₁ = «Все А есть В». Вторым аргументом, учиты­вая цель рекламы, будет суждение «Только в ГУМе имеются товары для желудка, тела и ума», т.е. α₂ = «Только С есть А». Прямое доказательс­

тво предполагает логическое следование тезиса из истинных аргументов. Для проверки этого построим следующий простой силлогизм:

Силлогизм правильный. Следовательно, тезис β, согласно умозаклю­чению (1), доказан прямым способом.

Пример 7

«Снова завладеть однажды потерянным благом лучше, чем никогда не утрачивать его. Ибо мы лучше ценим его благодаря воспоминанию о том времени, когда были лишены его. Поэтому лучше выздороветь, чем не быть больным»^[36].

Приведенное рассуждение содержит прямое доказательство, в кото­ром U = «люди»; А= «снова завладевшие однажды потерянным благом»; В= «ценящие вернувшееся благо выше, чем благо никогда не терявшееся, благодаря воспоминанию о том времени, когда были лишены его»; С= «выздоровевшие»; D = «ценящие вернувшееся здоровье выше, чем здо­ровье, никогда не терявшееся».

Тезисом является суждение: «Все выздоровевшие люди, ценящие вернувшееся здоровье выше, чем здоровье, никогда не терявшееся», т.е. β = «Все С есть D». Суждение «Все люди, снова завладевшие однажды потерянным благом, есть люди, ценящие вернувшееся благо выше, чем благо, никогда не терявшееся, вследствие воспоминаний о том времени, когда были лишены его» является первым аргументом, т.е. α₁ = «Все А есть В». Суждение «Все выздоровевшие есть люди, снова завладевшие однажды потерянным благом» представляет собой второй аргумент, т.е. α₂ = «Все С есть А». Суждение «Все ценящие вернувшееся благо выше, чем никогда не терявшееся, благодаря воспоминанию о том времени, ког­да были лишены его, есть люди, ценящие вернувшееся здоровье выше, чем здоровье, никогда не терявшееся», представляет третий аргумент, т.е. α₃ = «Все В есть D».

Для проверки следования тезиса из перечисленных аргументов стро­им следующий сложный силлогизм:

Силлогизм правильный. Следовательно, тезис β, согласно умозаклю­чению (1), доказан прямым способом.

Пример 8

«То, - говорит он (стоик Зенон Китионский. - В.С.), - что лишено души и разума, не может породить из себя одушевленное и владеющее разумом. Мир же порождает одушевленное и владеющее разумом. Следо­вательно, мир должен быть одушевленным и владеющим разумом»^[37].

Приведенное рассуждение содержит прямое доказательство тезиса, в котором U = «вещи», А= «лишенные души и разума», В= «способные породить из себя нечто одушевленное и владеющее разумом», С= «явля­ющееся миром». Тезисом выступает суждение «Мир есть одушевленная и владеющая разумом вещь», т.е. β = «Все С есть - А». Первый аргумент - суждение «Ни одна вещь, лишенная души и разума, не есть вещь, спо­собная породить из себя нечто одушевленное и владеющее разумом», т.е. α₁ = «Ни одно А не есть В». Второй аргумент - суждение «Мир порождает одушевленное и владеющее разумом», т.е. α₂ = «Все С есть В». Проверя­ем следование тезиса из названных аргументов:

Так как тезис следует из аргументов и последние, согласно Зенону, истинны, то тезис следует считать доказанным. Но в приведенном до­казательстве бесспорным является только второй аргумент. Истинность первого аргумента сомнительна с научной точки зрения. Поэтому хотя тезис и следует из аргументов, его доказанность остается под вопросом.

Пример 9

«Итак, предположим, что все тела уничтожены. То, что остается, называют абсолютным пространством; при этом все отношения, следу­

ющие из расположения тел и расстояний между телами, исчезли вмес­те с телами. Кроме того, такое пространство является бесконечным, неподвижным, неделимым, не воспринимаемым чувствами, лишенным связей и различий. Другими словами, все его атрибуты отрицательны, или негативны. Таким образом, оказывается, что это есть просто ничто. Единственное несущественное затруднение состоит в том, что оно про­тяженно, а протяженность - положительное качество. Но что это за про­тяженность, я спрашиваю, которая не может быть ни разделена, ни изме­рена, любая часть которой недоступна ни чувственному восприятию, ни воображению?.. Чистый интеллект также ничего не знает об абсолютном пространстве. Эта способность находится в соотношении только с ду­ховными непротяженными вещами, такими как наши мысли, их модусы, страсти, добродетели и т.п. Уберите из абсолютного пространства само название, и от него ничего не останется ни в чувстве, ни в воображении, ни в интеллекте»^[38].

В приведенном рассуждении содержится опровержение введенного И. Ньютоном понятия абсолютного пространства. В этом рассуждении U = «вещи и их отношения друг к другу», А= «существующие», В= «на­блюдаемые, измеримые, познаваемые», С= «образующие абсолютное пространство». Тезисом выступает суждение «Абсолютное пространство существует», β = «Некоторые С есть А». Первый аргумент - суждение «Все существующие вещи есть вещи наблюдаемые, измеряемые, позна­ваемые», α₁ = «Все А есть В». Второй аргумент - суждение «Абсолютное пространство есть вещь, но не познаваемая, не измеряемая, не наблюдае­мая», α₂ = «Все С есть - В». Опровержение строится как доказательство несовместимости тезиса с истинными аргументами. Для проверки пост­роим следующий сложный силлогизм:

Таким образом, Дж. Беркли рассуждал в приведенном отрывке со­гласно умозаключению (4).

Пример 10

«- Общие рассуждения! - продолжал Пигасов. - Смерть моя - эти об­щие рассуждения, обозрения, заключения! Все это основано на так назы­ваемых убеждениях; всякий толкует о своих убеждениях и еще уважения к ним требует, носится с ними... Эх!

И Пигасов потряс кулаком в воздухе. Пиндалевский рассмеялся.

- Прекрасно! - промолвил Рудин. - Стало быть, по-вашему, убежде­ний нет?

- Нет - и не существует.

- Это ваше убеждение?

- Да.

- Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно, на первый слу­чай.

Все в комнате улыбнулись и переглянулись».

(И.С. Тургенев. Рудин)

Приведенный диалог интересен тем, что один из его участников, Пи- гасов, пытаясь обосновать свою точку зрения, приводит противоречивое множество аргументов и тем самым оставляет свой тезис без доказатель­ства. Чтобы увидеть это, формализуем процесс рассуждения. Пусть U = «рассуждения», А= «общие», В= «пустые», С= «основанные на убежде­ниях». Тезис, который Пигасов пытается обосновать, представляет суж­дение «Все общие рассуждения - пустые», β = «Все А есть В».

Убеждения, согласно Пигасову, составляют необходимое условие истинности общих рассуждений. Первым аргументом поэтому являет­ся суждение «Все общие рассуждения есть рассуждения, основанные на убеждениях», α₁ = «Все А есть С». Вторым аргументом является мысль Пигасова о том, что убеждений не существует. Эту мысль выражает суж­дение «Все рассуждения, основанные на убеждениях, есть пустые (т.е. несуществующие) рассуждения», α₂ = «Все С есть В». К этим аргумен­там, в пылу полемики, Пигасов добавил еще один, разрушивший пост­роенную демонстрацию. Таким аргументом стала мысль, что некоторые убеждения существуют. Эта мысль выражается суждением «Некоторые рассуждения, основанные на убеждениях, есть непустые (т.е. существую­щие) рассуждения», α₃ = «Некоторые С есть - В».

Для того чтобы проверить противоречивость выдвинутых аргумен­тов, построим следующий сложный силлогизм:

Итак, аргументы Пигасова образуют противоречие. Как мы знаем, любое суждение является логическим следствием противоречивой систе­мы посылок. Следовательно, тезис Пигасова следует из его аргументов, но ими не доказывается.

Еще раз убеждаемся, что логически следовать из аргументов не озна­чает с необходимостью доказываться этими аргументами.

Пример 11

«Установив такое начало (что мир есть тело в высшей степени со­вершенное, упорядоченное. - В.С.), мы можем непосредственно из него сделать тот вывод, что если тела, составляющие Вселенную, должны по природе своей обладать движением, то невозможно, чтобы движения их были прямолинейными и вообще какими бы то ни было, кроме как круго­выми; основание этого просто и ясно. Ведь то, что движется прямолиней­ным движением, меняет место, и если движение продолжается, то дви­жущееся тело все больше и больше удаляется от своей исходной точки и от всех тех мест, которые оно последовательно прошло; а если такое дви­жение ему естественно присуще, то оно с самого начала не находилось на своем естественном месте, и значит, части Вселенной не расположены в совершенном порядке; однако мы предполагаем, что они подчинены совершенному порядку; значит невозможно допустить, чтобы им как та­ковым по природе было свойственно менять места, т.е., следовательно, двигаться прямолинейно»^[39].

В приведенном рассуждении Галилея объединены вместе прямое и косвенное доказательство естественности кругового движения. Пусть U = «движения», А= «естественные», В= «круговые», С= «подчинен­ные совершенному порядку». Доказываемым тезисом служит суждение «Естественное движение является круговым», т.е. β = «Все А есть В». Первый аргумент - суждение «Естественное движение подчиняется со­вершенному порядку», т.е. α₁ = «Все А есть С». Второй аргумент - суж­дение «Движение, подчиненное совершенному порядку, является кру­говым», т.е. α₂ = «Все С есть В».

Прямое доказательство требует, чтобы тезис следовал из аргумен­тов. Проверим это.

Итак, тезис из аргументов следует и последние истинны. Следова­тельно, истинность тезиса доказана прямым способом.

Косвенное доказательство строится как обоснование невозможности прямолинейного движения, т.е. как обоснование ложности антитезиса.

Антитезисом является суждение «Некоторые естественные движе­ния не являются круговыми», т.е. -β = «Некоторые А не есть В». Для косвенного доказательства требуется несовместимость аргументов с ан­титезисом. Проверим, выполняется ли это условие:

Аргументы несовместимы с антитезисом и истинны. Следовательно, косвенно доказано, что тезис истинный.

Косвенное доказательство в общем и целом является избыточным, когда имеется прямое. Но вместе, как свидетельствует рассуждение Га­лилея, они усиливают психологическое восприятие истинности тезиса. А это иногда не менее важно, чем логически обоснованное доказатель­ство.

5.4.