Дедуктивное доказательство

Пусть β обозначает тезис, -β - антитезис, α - множество аргумен­тов. Тезис и антитезис противоречат друг другу. Значит, при обосновании истинности тезиса возможны две стратегии.

Во-первых, можно доказать, что тезис следует из общепризнанных аргументов. Это называется прямым доказательством.

Во-вторых, можно доказать, что из общепризнанных аргументов сле­дует ложность антитезиса. Из чего, согласно закону исключенного треть­его, заключают об истинности тезиса. Это называется косвенным доказа­тельством.

Рассмотрим оба вида доказательства последовательно.

Прямое доказательство - демонстрация, целью которой является обоснование необходимого сле­дования тезиса из ранее и независимо доказанных аргументов

Прямое доказательство имеет вид следующего умозаключения:

Простейшим примером прямого доказательства является силлогизм, посылки которого истинны. В этом случае посылки выступают в качестве аргументов, заключение силлогизма - в качестве тезиса. Например:

Демонстрация строится с помощью силлогистического дерева или каким-нибудь иным образом.

В тех случаях когда прямое доказательство невозможно или затруд­нительно, используют косвенное.

Косвенное доказательство - умозаключение, це­лью которого является доказательство ложности антитезиса

Ложность антитезиса может быть обоснована двумя способами. Со­гласно первому, из антитезиса -β с помощью истинных аргументов α выводится противоречие. Если это имеет место, тогда появляются осно­вания сделать вывод о ложности антитезиса - β и истинности тезиса β. Косвенное доказательство первым способом имеет вид следующего умо­заключения:

В силлогистике косвенное доказательство первым способом строит­ся следующим образом.

Сформулируем антитезис -β = «Некоторые А не есть С». Построим следующий сложный силлогизм:

Из антитезиса -β = «Некоторые А не есть С», принятого в качестве временного допущения, и аргумента α₂ = «Все В есть С» выводим следс­твие «Некоторые А не есть В». Но это следствие противоречит первому аргументу α₁ = «Все А есть В». Значит, рассматриваемые аргументы не­совместимы с отрицанием тезиса. Так как аргументы α₁и α₂истинны, то антитезис -β = «Некоторые А не есть С» ложен. Из ложности антитезиса заключаем, что тезис β = «Все А есть С» истинный.

Для косвенного доказательства вторым способом антитезис -β де­лится на множество альтернатив (частных случаев антитезиса -β): -β₁, -β₂, ..., -β^, обладающее следующими свойствами. Во-первых, логичес­кая сумма всех альтернатив -β -β₂, ..., -β^должна исчерпывать объем антитезиса -β. Во-вторых, все альтернативы должны взаимно исключать друг друга. В-третьих, тезис β и все его альтернативы -β -β₂, ..., -β^ должны вместе обозначать все возможные решения обсуждаемой пробле­мы (выполнять требование полноты). Косвенное доказательство строится как последовательный процесс исключения с помощью истинных аргу­ментов всех альтернатив тезиса β. Рассматриваемое доказательство имеет вид следующего умозаключения:

Допустим, не известно, какой сегодня день недели. Выдвигаем семь альтернативных гипотез, одна и только одна из которых истинна, - «Се­годня понедельник», или «Сегодня вторник»... или «Сегодня воскресе­нье». Если с помощью различных аргументов удастся опровергнуть пер­вые шесть альтернатив, тогда доказывается, что сегодня воскресенье.

Считается, что прямое доказательство убедительнее косвенного. С этим необходимо согласиться. При прямом доказательстве мы конс­труируем тезис из данных посылок, а при косвенном лишь доказываем невозможность существования антитезиса. Из прямого доказательства всегда следует косвенное, но обратное в общем и целом неверно.

5.3.