ЛОГІЧНИЙ АНАЛІЗ СКЛАДНИХ СУДЖЕНЬ (ВИСЛОВЛЕНЬ)

Ви вже знаєте, що складні судження утворюються з простих шляхом з'єднання їх логічними сполучниками

і що істиннісне значення складних суджень є функцією від значень простих суджень, що входять до їх складу.

Принагідно нагадаємо, що знаходження істиннісного значення складних висловлень складає проблему розв'язковості. Щоб з'ясувати істиннісне значення складного судження, необхідно знати таблиці істинності, в яких відбито значення логічних сполучників(див. зведену таблицю):

Крім цього, практичні заняття передбачають виконання завдань з формалізації різних за жанром фрагментів тексту та визначення логічної валентності складних суджень (висловлень). Формалізуючи той чи інший фрагмент тексту, бажано керуватись наступним приписом: крапку в кінці ре­чення передавати кон'юнкцією, а крапку з комою - диз'юнкцією. Імплікацію вживати там, де є підстава і наслідок (або: засновок і висновок).

Серед методів визначення класу висловлень найпростішими є метод таблиць істинності та метод аналітичних таблиць.

3.2.1. Метод таблиць істинності або метод семантичних таблиць

Нехай нам треба визначити істиннісне значення складного висловлення (А Л В) → A. Для цього спершу виявляємо кількість пропозиційних змінних або аргументів. До складу даного висловлення входять дві пропозиційні змінні - А та В. Кожне з них може мати значення "і" та "х". Число рядків таблиці визначаємо за формулою т = 2ⁿ, де т - число рядків, n - число різних пропозиційних змінних, що входять у формулу, а 2 - число значень ("і", "х"). Отже, число рядків таблиці істинності формули (А Л В) → A рівне 2ⁿ, де n= 2 (А, В), складає: 2²=4 рядки.

Таблиця свідчить, що кількість рядків, залежить від кількості змінних (А, В), що входять у формулу, а набори значень змінних у кожному рядку впорядковані за аналогією двійкової системи числення (число всіх n-значних наборів дорівнює 2ⁿ). Якщо формула включатиме три змінні (А, В, С), наприклад: ((A → В) Л (B → С)) → (А → С), то матимемо 2³=8 рядків; якщо у формулу входитиме 4 змінні, то матимемо 2⁴=16 рядків та відповідні їм набори значень змінних.

Постає питання: як бути, коли формула включатиме заперечувані змінні? Нехай нам треба з'ясувати істиннісне значення формули (((A → B) Л ~B) → ~A), яка включає заперечувані змінні ~А та ~В. У такому випадку чинимо так: спершу задаємо клас логічно можливих відношень (наборів значень) для ствердних висловлень (А, В), а відтак за таблицею заперечення записуємо відповідно значення заперечуваних (~А, ~В). Тільки після цього визначаємо значення усіх підформул за таблицями відповідних сполучників. Порядком встановлення значення формули визначається дужками та головним сполучником.

Зразок відповіді:

Для наочності подаємо схеми впорядкування наборів значень змінних, що входять, наприклад, у формулу

Зауважимо, що тільки отримавши істиннісне значення усієї формули за головним сполучником, ми можемо визначити клас складного висловлення, а саме: якщо останній стовпчик міститиме значення "і" в усіх рядках, то таке висловлення буде логічним законом; якщо в останньому стовпчику подибуватимуться різні значення ("і" та "х"), то таке висловлення буде нейтральним; якщо ж останній стовпчик включатиме лише значення "х", то таке висловлення кваліфікується як логічна суперечність.

Таблиця істинності для висловлення ~(А → (А V В)) свідчить про те, що воно є суперечністю:

Таблиця істинності для висловлення (А → (А Л В)) пере­конує в тому, що дане висловлення є нейтральним, бо містить різні значення ("і" та "х"Ц

3.2.2. Метод аналітичних таблиць

Метод таблиць істинності стає громіздким із збільшенням кількості пропозиційних змінних у формулі, що веде до ускладнення процедури з'ясування істиннісного значення висловлення. Метод аналітичних таблиць спрощує завдання перевірки формул на істиннісне значення.

Аналітичну таблицю будують за допомогою аналітичних правил, для формулювання яких вводяться спеціальні символи: Т - "істина" (від англ. truth) та F - "хиба" (від англ. false). Ці позначення виконують роль індексів. Формула, перед якою стоїть знак Τ або F, називається індексованою. Аналітичні правила включають засновки і висновки. Засновки від висновків відділяються горизонтальною лінією. Символи F_i і F₂ (як знаки метамови) використовують для формулювання аналітичного правила. З технічних міркувань заперечення позначатимемо через ~.

Перш ніж приступити до розв'язання завдань за допомогою аналітичних правил, коротко зупинимось на умовах їх формулювання.

Відомо, що кон'юнкція F_i Л F₂ є істинною тоді і тільки тоді,

Послідовне застосування правил побудови аналітичних таблиць призводить до того, що індекси Τ та F стоятимуть перед окремими пропозиційними змінними. Це означатиме, що аналітична таблиця для F буде побудована.

Кінцева або підсумкова таблиця може бути або замкне­ною, або відкритою. Якщо дана таблиця є замкненою, тобто якщо одна і та сама пропозиційна змінна має індекси Τ і F, аналізоване складне висловлення (F) є логічним законом або тавтологією.

[*]

Замкненість таблиць прийнято позначати зірочкою *

3.2.3. Логічний аналіз відношень між складними судженнями

Відношення між складними судженнями з'ясовуємо за допомогою табличного методу. Нагадаємо, що так само, як і прості судження, складні судження також бувають порівнянними і непорівнянними. Непорівнянними є судження, які не мають

Як свідчить таблиця істинності, судження ~(АЛВ) і (Α УВ) можуть бути одночасно істинними (2 і 3 рядки), але не можуть бути одночасно хибними. Отже, ці судження перебувають у відношенні часткової сумісності. Цей висно­вок ми формулюємо на підставі умови часткової сумісності (часткова сумісність характерна для суджень, які можуть бути одночасно істинними, але не можуть бути одночасно хибними).

Або візьмемо таке завдання:Визначте у якому відношенні перебувають наступні складні висловлення:

1) "Якщо я не піду на лекцію з логіки, то піду з тобою в кіно ";

2) "Якщо я не піду на лекцію з логіки, то я не піду з тобою в кіно".

Спершу формалізуємо дані висловлення, а відтак таб­личним методом з'ясовуємо їх істиннісні значення. Далі порівнюємо їх між собою за істиннісним значенням і ви­являємо відношення між ними: (1) ~А→ В, (2) ~ А^ В.

Порівнюючи таблиці істинності цих суджень, ми пере­конуємось у тому, що істинність підпорядковуючого веде до істинності підпорядкованого, а з хибності підпорядковуючого випливають різні значення підпорядкованого (саме за цієї умови ми закреслюємо 2-й рядок у таблиці істинності для імплікації). Отже, між даними у завданні судженнями має місце відношення підпорядкування, бо з істинності (1), маємо хибність (2). До речі, дане відношення лежить в основі поняття "логічного слідування", яке регулює усі види міркувань.

З'ясовуючи відношення між несумісними судженнями, треба пам'ятати про те, що протилежні судження не можуть бути одночасно істинними, але можуть бути одночасно хиб­ними. Це означає, що з хибності одного з протилежних суд­жень неможливо встановити значення другого - воно може бути як істинним, так і хибним.

Завдання: Знайдіть протилежне судження до даного: "Б. Хмельницький - видатна людина, і варте шани все те, що він зробив" (А Л В).

Виконуючи подібні завдання, як правило, забувають про умову, що лежить в основі протилежності, а тому відповідь подають таким чином: "Невірно, що Б.Хмельницький - видатна людина, і варте уваги все те, що він зробив" ~(АЛВ), тобто заперечують вихідне судження. Така відповідь є помилковою. Покажемо це за допомогою спільної таблиці істинності:

З таблиці видно, що утворене судження є суперечним, а не протилежним до вихідного. Правильною буде така відповідь: "Б. Хмельницький - не є видатною людиною, і не варте шани все те що він зробив" (~А Л ~В). Результат перевіряємо табличним методом:

Таблиця свідчить, що ці судження не можуть бути одно­часно істинними, але можуть бути одночасно хибними.

Пошук суперечних суджень має свою специфіку. Ці суд­ження не можуть бути одночасно ні істинними, ні хибними. Якщо одне з них - істинне, то суперечне йому - хибне, і навпаки. Щоб отримати суперечне судження до вихідного, треба останнє піддати запереченню: так, для А суперечним буде ~А, для А Л В —(А Л В) тощо.

Припустимо, що хтось з ваших опонентів вперто дотри­мується думки про те, що "Б.Хмельницький - видатна людина, і варте шани все те, що він зробив". У вас знайдуться аргументи, щоб спростувати другу частину думки, бо перша частина не підлягає сумніву, хоча спростування потребує уся складна думка. Ви міркуєте тоді так: якщо заперечити кожен член кон'юнкції "Б.Хмельницький не є видатною людиною" (~А) і "не варте шани все те, що він зробив" (~В), то в результаті ми отримаємо протилежне судження, а не суперечне:

На цій підставі ви робите висновок, що даний аргумент не є надійним. Отже, треба сформулювати інше судження: "Б. Хмельницький не є видатна людина, або не варте шани все те, що він зробив " (~A V~β ). Таке судження можна довести, бо наявні аргументи про те, що не все, що зробив Б.Хмельницький, варте шани. Далі будуємо таблицю істинності, за якою і визначаємо тип відношення:

Таблиця переконує нас в тому, що судження ~Α V~B пере­буває у відношенні суперечності до вихідного судження А Л В.

Таким чином, навички логічного аналізу відношень між судженнями дають можливість досить легко й швидко знахо­дити в процесі суперечки або дискусії суперечливі думки до обговорюваних, і в такий спосіб розвивати аргументацію не тільки на користь своїх тверджень, але й критики інших.

3.3.