Мова логіки предикатів

Мова логіки предикатів - це штучна мова, призначена для аналізу логічної структури простих описових висловлювань та їхніх функцій значень істинності. Вона характеризується синтаксисом та семантикою.

Синтаксис логіки предикатів - це розширений варіант синтаксису логіки висловлювань, що містить вихідні символи алфавіту логіки предикатів і правила побудови з них термів і формул логіки предикатів.

Семантика логіки предикатів - це розширений варіант семантики логіки висловлювань, що містить припущення і правила інтерпретації усіх коректно побудованих виразів мови логіки предикатів як істинних або хибних висловлювань.

У семантиці логіки предикатів як розв’язуюча процедура застосовується метод аналітичних таблиць.

Аналітична таблиця в логіці предикатів - це таблиця, яка будується за правилами редукції пропозиційних зв'язок, кванторів та їх заперечень, шляхом доведення від протилежного.

Логіка предикатів, на відміну від логіки висловлювань, не є розв’язуваною логічною системою. Нерозв’язуваність логіки предикатів пов’язана із відсутністю ефективного негативного тесту на загальнозначущість довільної формули логіки предикатів.

Усі знаки алфавіту логіки предикатів поділяються на технічні й нетехнічні. До нетехнічних знаків належать нелогічні й логічні знаки: предметні (індивідні) константи, предметні (індивідні) змінні, функціональні символи, предикатні символи, кванторні символи й символи для позначення логічних сполучників.

Алфавіт логіки предикатів:

I. Нетехнічні знаки:

1. Предметні (індивідні) константи:

a, b, c, a₁, b₁, c₁,...

Ці знаки призначені для позначення власних імен природної мови.

2. Предметні (індивідні) змінні:

x, y, Z, Х1, У1, Z1,.

Предметні змінні призначені для позначення загальних імен природної мови.

3. Функціональні символи:

fⁿ, gⁿ, hⁿ, fⁿ1, gⁿ1, hⁿ1,...

Ці знаки призначені для позначення операцій над n-ками індивідів із певної предметної області. Верхній індекс вказує на місткість предметної константи, а нижній - на порядковий номер.

4. Предикатні символи:

Pⁿ, Qⁿ, Rⁿ, Sⁿ, Pⁿ₁, Qⁿ₁, Rⁿ₁, Sⁿ₁,...

Ці знаки призначені для позначення предикаторів природної мови. Верхній індекс, знову ж таки, вказує на їх місткість, а нижній - на порядковий номер.

5. Кванторні символи:

∀ - символ квантора спільності, з - символ квантора існування.

6. Символи для позначення логічних сполучників. Ці символи відомі з мови логіки висловлювань:

II. Технічні знаки:

( - ліва дужка,

) - права дужка,

, - кома.

Вони слугують у мові логіки предикатів своєрідними знаками пунктуації.

Виражальні можливості мови логіки предикатів виступають засобами її впорядкування, підставами поділу логіки предикатів на види. Відповідно до них виокремлюють логіку предикатів першого порядку, другого, третього чи будь-якого іншого.

У логіці предикатів першого порядку квантори діють лише на множині предметних (індивідних) змінних. Логіки предикатів вищих порядків дозволяють кванторам діяти на множинах та підмножинах пропозиційних, предикатних або функціональних змінних. У цьому переліку логіка предикатів першого порядку відіграє особливу роль, оскільки в ній виражається вся аксіоматика теорії множин. Тому при подальшому викладі буде вживатися термін «логіка предикатів» замість терміна «логіка предикатів першого порядку».

Визначення правильно побудованих виразів в логіці предикатів.

У мові логіки предикатів є два види правильно побудованих виразів (п.п.в.) - це терми та формули.

Визначення терма:

1. Будь-яка предметна константа і предметна змінна є (простий) терм.