Мова логіки висловлювань

Мова логіки висловлювань - це штучна мова, призначена для аналізу логічної структури та функцій значень істинності складних описових висловлювань. Вона характеризується син­таксисом й семантикою.

Синтаксис логіки висловлювань - це алфавіт та правила, що визначають, які знаки входять до списку символів алфаві­ту логіки висловлювань та які скінченні послідовності знаків виступають правильно побудованими виразами логіки ви - словлювань.

Він задає незалежні від інтерпретації визначення об’єктів мови логіки висловлювань, досліджує структуру цих об’єктів, проблему розпізнавання об’єктів різних типів та їхніх характеристик. Синтак­сично правильно побудовані об’єкти можуть в подальшому тлу­мачитися та перетворюватися у відповідності із правилами інтер­претації формул логіки висловлювань.

Семантика логіки висловлювань - це припущення і прави­ла інтерпретації усіх правильно побудованих виразів мови ло­гіки висловлювань як істинних або хибних висловлювань.

Вони визначають функцію, яка задає значення істинності фор­мул в інтерпретації.

Семантика логіки висловлювань базується на таких при­пущеннях:

1) значення істинності складного виразу залежить лише від значень істинності його складників, а не від їхнього смислу;

2) незнанням можна знехтувати або розглядати його як різно­вид знання;

3) властивості предметів незмінні, правила не мають винятків;

4) є лише два логічні значення - «істина» та «хиба».

До правил інтерпретації логіки висловлювань відносяться:

1) правила інтерпретації пропозиційних змінних та

2) правила інтерпретації пропозиційних зв’язок.

Правила інтерпретації пропозиційних змінних полягають у тому, що кожна пропозиційна змінна може мати одне із двох значень: або «істину» («і»), або «хибу» («х»), але не те й інше одночасно.

Правилами інтерпретації пропозиційних зв’язок є табличні ви­значення логічних сполучників.

Таблична побудова логіки висловлювань здійснюється за до­помогою таблиць істинності та аналітичних таблиць.

Таблиці істинності в логіці висловлювань - це вид таблиць, які будуються за правилами інтерпретації пропозиційних зв'язок та їх заперечень.

Аналітичні таблиці в логіці висловлювань - це вид таб­лиць, які будуються за правилами редукції пропозиційних зв'язок та їх заперечень, шляхом доведення від протилежного.

Семантичне завдання, що полягає у відшуканні процедури, котра дає змогу визначити, до якого із трьох типів формул (тотож­но-істинних, тотожно-хибних або виконуваних) належить будь - яка формула логіки висловлювань, чи логіки предикатів як її роз­ширеного варіанту, називається семантичною проблемою роз­в'язання. А процедуру, що дає змогу скінченним числом простих дій вирішувати проблему розв’язання, називають розв'язуючою процедурою.

Логіка висловлювань є розв’язуваною логічною системою. Це означає, що існує ефективна розв’язуюча процедура, яка дає змогу скінченою кількістю кроків визначати, чи є та чи інша формула ло­гіки висловлювань її законом, чи ні.

Побудова для деякої досліджуваної формули логіки висло­влювань відповідної їй таблиці істинності або аналітичної таб­лиці є розв'язуюча процедура семантичної проблеми розв'язан­ня для формул логіки висловлювань.

Розмежування синтаксису і семантики в мові логіки висловлю­вань, ретельне формулювання її синтаксичних і семантичних пра­вил унеможливлюють логічні помилки та винятки.

Алфавіт логіки висловлювань - це список знакових засобів, які застосовуються при побудові формул логіки висловлювань.

Знакові засоби логіки висловлювань поділяють на головні та допоміжні. У свою чергу, головні знаки поділяють на логічні знаки (або знаки логічних сполучників, або знаки логічних постійних, або знаки пропозиційних зв’язок, або знаки пропозиційних конс­тант) та нелогічні знаки (або знаки пропозиційних змінних, або знаки пропозиційних букв, або знаки змінних описових висловлю­вань). Допоміжними знаками називають технічні знаки.

Знакові засоби логіки висловлювань:

I. Головні знаки:

1. Знаки логічних сполучників:

— знак заперечення (читається «не», «ні», «неправда, що...»);

л - знак кон’юнкції (читається «і», «та»);

V - знак слабкої диз’юнкції (читається «або», «чи»);

у - знак сильної диз’юнкції (читається «або..., або...», «чи..., чи...»);

→ - знак імплікації (читається «якщо..., тоді...»);

р - знак логічного випливання, який нагадує за своїм логічним значенням імплікацію;

θ - знак еквіваленції (читається «тоді і тільки тоді, коли. »);

? - знак логічної рівносильності, який нагадує за своїм логіч­ним значенням еквіваленцію.

Ці знаки призначені для позначення граматичних сполучників природної мови та деяких знаків пунктуації.

2. Знаки пропозиційних змінних:

p, q, r, s, P1, qι, rι, Si,... тощо.

Ці знаки призначені для позначення простих описових вислов­лювань природної мови.

II. Допоміжні знаки:

( - ліва дужка;

) - права дужка;

, - кома.

Перелічені знаки задають алфавіт логіки висловлювань. Ніяких інших знаків у мові логіки висловлювань немає.

Будь-яку послідовність знаків алфавіту логіки висловлювань називають виразом мови логіки висловлювань. Деякі із цих вир а­зів є правильно побудованими, а деякі - ні. У мові логіки вислов­лювань наявний один тип правильно побудованих виразів - фор­мули.

Формули логіки висловлювань є скінченними послідовно­стями знаків алфавіту логіки висловлювань, які будуються за визначеними правилами й утворюють закінчені правильні ви­рази мови логіки висловлювань.

Визначення формули логіки висловлювань складається із кіль­кох пунктів, що відповідають структурі формули логіки висловлю­вань. Визначення вказує насамперед не на те, як будувати форму­ли, а на те, як відрізнити формулу від неформули. У визначенні формули логіки висловлювань використовують метабукви чи мета- змінні (великі латинські букви А і В), які належать не до мови логі­ки висловлювань, а до її метамови.

Метамовою логіки висловлювань називають мову, засоба­ми якої аналізують мову логіки висловлювань та виражають результати цього аналізу.

До формул логіки висловлювань належать:

1. Прості вирази, що відповідають пропозиційним змінним.

2. Складні вирази:

2а) якщо А є формулою, тоді (~А) також є формулою;

2б) якщо А є формулою, тоді (AлB), (AvB), (AvB), (A→B), (A→B) також є формулами.

Складні вирази, що містять метабукви, - це не формули, а схеми формул певного виду. Так, вираз A л B є схемою формул p л q, p л (q v r), (p v q) л (p→r) та інших подібних. Далі для зручно­сті будемо вживати вираз «формула» замість виразу «схема фор­мули».

У логіці висловлювань замість будь-якої метазмінної у фор­мулі можна підставляти будь-яку формулу всюди, де ця мета- змінна трапляється в цій формулі. Зазначену можливість нази­вають правилом підстановки.

Інших засобів побудови правильних виразів у логіці висловлю­вань немає. Ці засоби називають правилами утворення формул логіки висловлювань.

За синтаксичними ознаками формули логіки висловлювань по­діляють на прості й складні.

Формула, яка є пропозиційною змінною, називається прос­тою, а формула, яка містить пропозиційні зв'язки, - складною.

Формула, яка входить до складу деякої формули, назива­ється її підформулою.

Підформули А і В у формулі (A л B) називаються її кон'юнк- тивними членами, або кон'юнктами, а у формулі (AvB) - її диз'юнктивними членами, або диз'юнктами. У формулі (A→B) підформула А називається її підставою, або антецедентом, а під- формула В - її наслідком, або консеквентом.

Щоб визначити, за якою схемою побудована формула логіки висловлювань (за схемою кон’юнкції, диз’юнкції чи іншою), необ­хідно виокремити її головний логічний сполучник (або головну ло­гічну константу, головний логічний знак).

Головний логічний сполучник в логіці висловлювань - це логічний сполучник, який при побудові формули логіки ви­словлювань застосовується останнім.

Знайдемо головну логічну константу формули ~pv q→pл~q.

Кожний логічний сполучник у формулі логіки висловлювань має визначену область дії.

Область дії логічного сполучника у формулі логіки вислов­лювань утворюють усі підформули тієї формули логіки вислов­лювань, які він зв'язує.

Так, область дії знака заперечення у формулі ~А складає під­формула А, у формулі ~ (A л B) - підформула (A л B). У формулі (A→(A v B)) область дії знака слабкої диз’юнкції утворюють фор­мули A та B, область дії знака імплікації - формули A та (A v B). Область дії головного логічного сполучника складають усі під­формули певної формули логіки висловлювань.

За відсутності дужок логічні операції над формулами логіки висловлювань виконують у певній послідовності. При цьому вра­ховують ступінь сили пропозиційної зв’язки. Відповідно до нього спочатку застосовують логічну операцію, яка вказана більш силь­ною, а потім - менш сильною пропозиційною зв’язкою.

За ступенем сили пропозиційної зв'язки логічні операції над формулами логіки висловлювань розподіляють у такій по­слідовності: заперечення, кон'юнкція, диз'юнкція, імплікація, еквіваленція. У цій послідовності найсильнішою пропозиційною зв’язкою є заперечення, найслабшою - еквіваленція.

У логіці висловлювань існують домовленості, які називаються правилами розташування та опускання дужок.

Правила розташування дужок вказують на порядок вико­нання логічних операцій над формулами логіки висловлювань та дозволяють змінювати його. Так, у формулі AθB λ C→B за допомогою дужок вказується порядок виконання логічних опера­цій: Aθ ((B λ C) →B). Цей запис показує, що першу логічну опера­цію здійснюють над кон’юнкцією (B λ C), другу - над імплікацією ((B λ C) →B), третю — над еквіваленцією (Aθ ((B λ C) →B)).

Правила опускання дужок дозволяють спростити запис формул й надати їм більш компактного вигляду.

У логіці висловлювань за домовленістю знак кон’юнкції інколи не виражають у явному вигляді. Тому вирази A λ B, (A λ B) v C мо­жуть бути записані як AB, AB v C.

Головним синтаксичним завданням логіки висловлювань є фор­малізація описових висловлювань природної мови.

Формалізація в логіці висловлювань - це переклад описо­вих висловлювань природної мови на штучну мову логіки ви­словлювань.

Запишемо складне описове висловлювання природної мови «Якщо вода нагрівається, тоді вона випаровується» у вигляді формули. Замінимо просте описове висловлювання «Вода нагрі­вається» на змінну p, а просте описове висловлювання «Вода ви­паровується» — на змінну q. Обидва прості описові висловлю­вання зв’язані між собою імплікацією. Формула цього складного описового висловлювання така: p→q. Вона читається: «Якщо p, тоді q».

5.