Основи теорії висловлювань і суджень

У логіці розрізняють теорію суджень традиційної логіки і тео­рію висловлювань сучасної логіки.

Теорія суджень у традиційній логіці - це теорія, яка вивчає судження, їх склад, властивості, види та відношення між ними.

Теорія висловлювань у логіці висловлювань - це теорія, яка вивчає висловлювання, їх складові, властивості, значення, види і відношення між ними.

Враховуючи те, що логіка вважається єдиною наукою, яка вив­чає різні аспекти міркувань людей, ці теорії можна розглядати як частини загальної теорії висловлювань і суджень.

Теорія висловлювань і суджень - це теорія, яка вивчає ви­словлювання як мовні знаки і судження як логічні форми та абстрактні об'єкти.

Онтологічні підстави теорії висловлювань і суджень описує теорія множин, синтаксис природної мови і функціональний аналіз мовних виразів. На цих підставах побудована і розвивається теорія висловлювань і суджень.

Теорія множин - це математична теорія, яка вивчає влас­тивості множин і проблему нескінченості.

До головних понять теорії множин зараховують поняття: «множина», «частина множини», «елементи множини», «відно­шення належності», «скінчена множина», «нескінчена множина», «універсальна множина», «порожня множина» та «нечітка мно­жина».

Множина - це будь-яка сукупність, зібрання, набір, клас, ансамбль визначених і розрізнюваних між собою об'єктів, що мають спільні властивості та розглядаються і уявляються як єдине ціле.

У сучасній логіці множину називають множиною предметів, інтерпретаційною множиною, предметною областю, областю ін­дивідів, універсумом міркування чи універсом. Множини познача­ються великими буквами латинського алфавіту - А, В, С,...

Множина в логіці репрезентує обсяг терміна і графічно зобра­жується колом:

Обсягом терміна вважається увесь простір, який окреслений лінією, знаходиться всередині кола.

Прикладами множин можуть бути: сукупність цифр десятко­вої системи, зібрання книг у бібліотеці, набір деталей механізму, кодекс законів, група студентів тощо.

Частина множини - це така множина, кожен елемент якої є елементом іншої, ширшої за обсягом, множини, а вона сама - її підмножиною.

Прикладами підмножин можуть бути: множина квадратів як підмножина ромбів, множина комет як підмножина небесних тіл, множина ссавців як підмножина тварин тощо.

Елементи множини - це предмети, що належать до певної множини.

Вони позначаються малими буквами латинського алфавіту - а, b, c,...

Прикладами елементів множини можуть бути: одиниця як еле­мент множини натуральних чисел, сторінка як елемент множини сторінок книги, місто Київ як елемент множини столичних міст.

Відношення належності - це умова існування зв'язку між множиною та її елементом, за якою елемент належить до мно­жини, якщо є носієм ознаки, на підставі якої ця множина утво­рена.

Воно позначається знаком «Е». Факт належності елемента а до множини А символічно записується так: «а Е А». А факт неналеж- ності елемента а до множини А символічно виражається таким чи­ном: «а ∉ А».

Скінчена множина - це множина, яка містить кінцеве чис­ло елементів.

Прикладами скінчених множин можуть бути: множина при­родних супутників Землі, множина цифр двійкової системи, мно­жина арифметичних дій, множина планет Сонячної системи.

Нескінчена множина - це множина, яка має незлічене чис­ло елементів.

Прикладами нескінчених множин можуть бути: множина чи­сел, множина зірок, множина піщинок тощо.

Універсальна множина - це множина предметів досліджу­ваної сфери реальності, яка складається з усіх можливих мно­жин та підмножин як її елементів.

Позначається універсальна множина латинською буквою «U», а графічно зображується множиною точок у середині прямокутника:

Прикладами універсальних множин можуть бути: числа в арифметиці, елементи в хімії, тварини в зоології, суспільства в соціології.

Порожня множина - це множина, яка не містить жодного елемента.

Вона позначається символом «0».

Прикладами порожніх множин можуть бути: множина три­кутників, що мають круглі кути, множина круглих квадратів, множина білих квадратів на білому тлі.

Порожню множину умовно відносять до скінчених або чітких множин.

Нечітка множина - це множина із розпливчастим відно­шенням належності.

Прикладами нечітких множин можуть бути: множина здоро­вих людей, множина дуже високих людей, множина правильних рішень, множина темно-зелених кольорів.

Синтаксис природної мови - це розділ граматики, який вивчає правила побудови і вживання словосполучень, речень та текстів.

До центральних понять синтаксису природної мови належать поняття: «речення», «розповідне речення», «твердження», «розпо­відне двоскладне речення», «підмет», «присудок», «група підмета», «група присудка», «запитальнеречення» та «спонукальнеречення».

Речення - це словесний вираз окремої і відносно закінченої думки.

Слова «Ранок», «Весна», «Відійдіть!» і групи слів «Листя зе­лене», «Котра година?», «Зачиніть вікно!» є реченнями.

Розповідне речення - це речення, яке щось повідомляє.

Речення «Світає», «Дощить», «Камінь твердий», «Сніг білий», «Орел летить» є розповідними.

Твердження - це зміст розповідного речення.

Твердження поділяються на:

1) стверджувальні та

2) заперечні.

Стверджувальне твердження - це розповідне речення, в якому стверджується якийсь факт дійсності.

Заперечне твердження - це розповідне речення, в якому за­перечується якась ознака чи явище дійсності.

Розповідні речення «Дівчина гарна», «Юнак високий», «Тюль­пани не жовті», «Ніч не місячна» є твердженнями.

Розповідне двоскладне речення - це розповідне речення, яке складається з граматичного центру, вираженого підметом і присудком, або їхніми групами.

Підмет - граматично незалежний головний член речення, що називає носія ознаки.

Носіями ознаки можуть бути: істота, предмет, явище, по­няття.

Присудок - це граматично залежний від підмета головний член речення, що називає ознаку, яка притаманна її носієві.

Ознаками предмета чи поняття можуть бути: дія, стан, якість, властивість тощо.

Група підмета - це підмет із залежними від нього другоря­дними членами речення.

Група присудка - це присудок із залежними від нього дру­горядними членами речення.

Група підмета і група присудка є граматичними множинами, а самі підмет і присудок елементами відповідних граматичних множин.

Розповідне речення «День сонячний» є двоскладним і містить підмет - «день» та присудок «сонячний». А розповідне речення «Весь вчорашній день був сонячним» містить групу підмета - «весь вчорашній день» та групу присудка «був сонячним».

Граматична будова розповідного двоскладного речення у пев­них випадках збігається з логічною структурою судження. За таких умов розповідне двоскладне речення виконує роль матеріального носія судження. У складі судження група підмета виражена обся­гом суб’єкта, або семантичним суб’єктом, і називається логічним підметом, а група присудка - обсягом предиката, або семантичним предикатом, і має назву логічного присудку.

Логічний підмет - це вираз, який позначає предмет су­дження.

Логічний присудок - це вираз, який позначає те, що ствер­джується про предмет судження.

Для того щоб збагнути думку, виражену в розповідному дво­складному реченні, необхідно зрозуміти судження, яке міститься в його словесній оболонці. Критерієм присутності у реченні судження є наявність у ньому стверджувального або заперечного твердження.

Судження - це твердження, яке може бути істинним або хи­бним.

Твердження «Яблука смачні», «Сьогодні середа», «Сонячно і спекотно», «Вітер не холодний», «Небо не захмарене» є суджен­нями.

До складу судження входять чотири терміни. Два з них зарахо­вують до класу нелогічних термінів, а два - до класу логічних тер­мінів. Нелогічними термінами у судженні є суб’єкт і предикат, ло­гічними термінами - зв’язка і квантор.

Суб'єкт у традиційній логіці - це нелогічний термін, який вказує на те, про що йдеться, повідомляється у судженні.

Його символічно позначають латинською буквою «S».

Предикат у традиційній логіці - це нелогічний термін, який вказує на те, що саме повідомляється про суб'єкт, стверджується або заперечується з його приводу, які ознаки йому приписуються.

Символічно предикат позначають латинською буквою «Р».

У традиційній логіці розрізняють однозначні, двозначні та ба­гатозначні предикати.

Однозначний предикат зв'язаний з одним суб'єктом. Двоз­начні предикати володіють двома суб'єктами. Багатозначні предикати мають більше двох суб'єктів.

Судження «Огірок зелений» містить однозначний предикат, су­дження «Огірок і помідор - овочі» - двозначний предикат, а суджен­ня «Яблуко, груша і слива є фруктами» - тризначний предикат.

Суб’єкт є елементом обсягу суб’єкта як логічної множини.

Обсяг суб'єкта у традиційній логіці - це репрезентований в судженні теоретико-множинний смисл групи підмета.

Предикат є елементом обсягу предиката як логічної множини.

Обсяг предиката у традиційній логіці - це репрезентований в судженні теоретико-множинний смисл групи присудка.

Зв'язка - це логічний термін, який у структурі судження займає місце між суб'єктом і предикатом та через ствердження або заперечення вказує на існування відношення між ними.

Зв’язка буває двох видів:

1) стверджувальна та

2) заперечна.

Стверджувальна зв'язка - це зв'язка, яка через стверджу­вання вказує на існування відношення між суб'єктом і преди­катом.

Вона виражається словом «є» та рівнозначними з ним словами.

Заперечна зв'язка - це зв'язка, яка через заперечення вка­зує на відсутність відношення між суб'єктом і предикатом.

Вона виражається словосполученням «не є» та рівнозначними з ним словосполученнями.

У судженні зв’язка може бути виражена явно або неявно. Явно виражена зв’язка у природній мові фіксується словами: «є», «на­лежить», «відноситься», «зараховується» або словосполученнями «не є», «не належить», «не відноситься», «не зараховується». А неявно виражена зв’язка фіксується тире або звичайним узгоджен­ням слів та визначається за змістом судження.

Схематично судження як тричастинне ціле записується у ви­гляді такої формули:

Якщо зв’язок суб’єкта і предиката в судженні відповідає дійс­ності, тоді судження оцінюється як істинне. У протилежному випа­дку воно оцінюється як хибне. У судженні «Цукор солодкий» зв’язок між суб’єктом і предикатом відповідає дійсності, тому це судження оцінюється як істинне. У судженні «Сіль солодка» зв’язок між суб’єктом і предикатом не відповідає дійсності, тому воно оцінюється як хибне.

Квантор у традиційній логіці - це логічний термін, який у структурі судження займає місце перед суб'єктом та вказує на те, яка кількість елементів його обсягу належить або не нале­жить обсягу предиката.

Розрізняють два види кванторів:

1) квантор спільності та

2) квантор існування.

Квантор спільності у традиційній логіці - це логічний тер­мін, який вказує на те, що усі елементи обсягу суб'єкта нале­жать або не належать обсягу предиката.

Його інші назви - загальний квантор або універсальний кван­тор.

У природній мові він виражається словами: «кожен», «жо­ден», «ніхто», «усі», «будь-який» або рівнозначними словами.

Квантор існування у традиційній логіці - це логічний тер­мін, який вказує на те, що частина елементів обсягу суб'єкта належить або не належить обсягу предиката.

Його інші назви - частковий квантор або екзистенціальний квантор.

У природній мові він виражається словами: «деякі», «окремі», «частина», «існує», «більшість», «меншість» або рівнозначними словами.

Розповідне двоскладне речення, яке явно виражає компо­ненти судження за схемою «квантор - суб'єкт - зв'язка - пре­дикат», називається нормальною формою судження.

У традиційній силогістиці нормальна форма судження вираже­на формулами: «Усі S є P», «Жодне S не є P», «Деякі S є P», «Деякі S не є P».

Судження можуть бути простими і складними.

Простим називається судження, яке складається з одного суб'єкта і одного предиката.

Складним називається таке судження, яке складається з кількох простих суджень і має у своєму складі декілька суб'єктів або предикатів. Просте судження також називають кате­горичним, а складне судження - некатегоричним.

Розповідні речення «Трава зелена», «Мед солодкий», «Вода не тверда» - прості судження, а розповідні речення «Місяць оберта­ється навколо Землі та навколо Сонця», «Йде дощ або сніг», «Як­що є дим, то є вогонь» - складними судженнями.

У традиційній логіці прості судження поділяють на судження про властивості (або атрибутивні судження) та судження про відно­шення (або релятивні судження). Відповідно до такого поділу тради­ційна логіка постає атрибутивною логікою або релятивною логікою.

Атрибутивна логіка - це розділ традиційної логіки, який вивчає властивості атрибутивних суджень та їх відношення у структурі міркувань.

Атрибутивним називається просте судження предикат яко­го представляє таку ознаку як властивість. У структуру атрибу­тивного судження входять лише два поняття - один суб’єкт та один предикат, роль якого відіграє властивість. Наприклад, «Цукерки - солодкі», «Страуси є птахами», «Франція є республікою».

Релятивна логіка - це розділ традиційної логіки, який ви­вчає властивості релятивних суджень та їх відношення у стру­ктурі міркувань.

Релятивним називається просте судження предикат якого представляє таку ознаку як відношення між предметами. У структуру релятивного судження входять декілька понять - два або більше суб’єктів, і предикат, роль якого відіграє відношення. На­приклад, «Платон приятель Аристотеля», «Ромео кохає Джуль- єтту», «Парижрозташований між Римом і Лондоном».

Релятивні судження шляхом синтаксичних реконструкцій мо­жна трансформувати в атрибутивні. Так, релятивне судження «Одеса менша за Київ» трансформується в атрибутивне судження «Одесу зараховують до міст, які менші за Київ».

Більш точно судження чи судження суб’єктно-предикатної структури називають предикативним судженням.

Предикативне судження - це судження, в якому суб'єкту приписуються предикати.

Просте предикативне судження - це судження, в якому суб'єкту приписується один предикат.

Складне предикативне судження - це судження, в якому суб'єкту приписуються кілька предикатів.

У синтаксисі природної мови значна увага приділяється запи­тальним і спонукальним реченням.

Запитальне речення - це речення, що містить запитання, яке вимагає відповіді від співрозмовника.

Речення «Що це?» «Де дорога?», «Чи йде дощ?», «Який завтра день тижня?» є запитальними.

Спонукальне речення - це речення, що виражає волевияв­лення.

Речення «Тихіше!», «Сідайте!», «Принеси книжку!», «Подай­те води!», «Вам потрібно подумати!» є спонукальними.

У комунікативному плані речення кваліфікують як висловлю­вання.

Висловлювання - це речення, яке виражає певний смисл.

Відповідно до типів речення, розрізняють описові, запитальні та нормативні висловлювання.

Описове висловлювання - це граматично правильно побу­доване розповідне речення, яке виражає судження.

Його головними нелогічними термінами є терм і предикатор.

Терм - це словесний вираз, який називає окремі предмети. Го­ловна логічна функція терма - виконувати роль логічного підмета у судженні. Предикатор - це словесний вираз, який представляє властивості або відношення, але не називає їх. Головна логічна фу­нкція предикатора - виконувати роль логічного присудка у судженні.

Описове висловлювання має предметне і смислове значення.

Предметним значенням описового висловлювання є два логічні об'єкти - логічні значення «істина», та «хиба».

При цьому вважають, що усі істинні описові висловлювання позначають істину, а усі хибні - хибу.

Смисловим значенням описового висловлювання є інфор­мація, думка, яка в ньому виражена.

Тому смисл описового висловлювання можна визначити як су­дження, виражене в ньому.

Описові висловлювання бувають простими і складними.

Простим називається таке описове висловлювання, яке не містить логічних сполучників.

Складним називається описове висловлювання, яке міс­тить логічні сполучники та складається з кількох простих опи­сових висловлювань.

Прості описові висловлювання також називають елементарни­ми, атомарними висловлюваннями або атомами, складні описові висловлювання - складеними, молекулярними висловлюваннями або молекулами.

Логічний сполучник - це логічний термін, який позначає логічну операцію, головна функція якої полягає в тому, що з її допомогою із простих описових висловлювань утворюють складні, з описових висловлювань певного ступеня складності - описові висловлювання вищого ступеня складності.

Логічні сполучники мають своїми аналогами відповідні грама­тичні сполучники, або знаки пунктуації, логічні терміни - грамати­чні терміни. У традиційній логіці логічні сполучники аналізуються як граматичні терміни, а в сучасній логіці - як логічні терміни.

Розповідні речення «Вечоріє»», «Людина іде»», «Дерева високі»» є простими описовими висловлюваннями, а розповідні речення «Блиснула блискавка і загримів грім»», «Якщо приходить весна, то­ді квітнуть сади»» - складними.

Запитальне висловлювання - це граматично правильно побудоване запитальне речення, яке виражає бажання запиту­вача одержати певну інформацію від відповідача через спону­кання його до такої мовної дії, як повідомлення.

Аналіз запитання передбачає необхідність з’ясування його структури і контексту. Складовими структури запитання є опера­тор запитання і передумова запитання.

Оператор запитання - це частина запитання, яка виражена запитальним словом із запитальним знаком.

Передумова запитання - це невизначене висловлювання, що містить вихідне знання, яке потрібно уточнити чи допов­нити.

Передумова запитання може бути як істинною, так і хибною. Якщо передумова запитання хибна, то правильної відповіді на таке запитання не існує.

У запитанні «Чи існувала Атлантида?» передумовою запитан­ня є невизначене висловлювання «Атлантида існувала», операто­ром запитання - слово «чи» із запитальним знаком.

Контекст запитання - це місце, час, аудиторія, її настрій та інші умови, за яких відбувається комунікація.

Так, контекст запитання «Чи маєте Ви годинник?», яке став­лять перехожому на вулиці, може означати бажання дізнатися про час. Те ж саме запитання, але у подарунковому магазині буде озна­чати зовсім інше.

Запитання можуть бути простими і складними.

Просте запитання - це запитальне речення, яке містить лише одне запитання.

Запитальні речення «Ти йдеш додому?», «Коли був створений перший комп ’ютер?», «Де знаходилася Троя?» містять прості запи­тання.

Складне запитання - це запитальне речення, яке містить кілька простих запитань, з'єднаних логічними сполучниками.

Запитальні речення «Хто і коли відкрив Америку?», «Чи справ­ді сучасні комп’ютери обчислюють і проектують?», «Ви любите відпочивати в горах чи на морі?», «Потрібно їхати прямо чи пове­рнути направо?», «У цьому лісі дерева листяні і хвойні чи лише ли­стяні?», «Якщо Ви знаєте матеріал, тоді чого мовчите?» містять складні запитання.

Запитання оцінюють або як «логічно коректні», або як «логічно некоректні».

Логічно коректним називається запитання, на яке можна дати істинну чи хибну відповідь, на логічно некоректне запи­тання таку відповідь дати неможливо.

Запитання «Яка відстань від Землі до Сонця?» є логічно коре­ктним, а запитання «Хто був імператором США?» - логічно неко­ректним.

Нормативне висловлювання - це граматично правильно по­будоване спонукальне речення, яке виражає правило поведінки.

Спонукальні речення «Стоп/», «Будьте уважні!», «Не чіпай­те!», «Бережіть природу!», «Заборонено їхати на червоне світ­ло!» є нормативними висловлюваннями.

Серед нормативних висловлювань виокремлюють висловлю­вання про право та висловлювання про обов’язок.

Висловлювання про право - це нормативне висловлюван­ня, яке містить нормативні слова «дозволено», «заборонено», «правомірно» та рівнозначні з ними і повідомляє про наявність або відсутність якого-небудь права.

Прикладами таких висловлювань можуть бути спонукальні речення «Дозволено купувати квартири!», «Заборонено читати чужі листи!».

Висловлювання про обов'язок - це нормативне висловлю­вання, яке містить нормативні слова «обов'язково», «необхід­но», «повинен» та рівнозначні з ними і повідомляє про наяв­ність або відсутність якого-небудь обов'язку.

Прикладами таких висловлювань можуть бути спонукальні речення «Обов 'язково дотримуватися законодавства!», «Необхід­но бути чесним!».

Залишається невирішеною проблема застосування до нормати­вних висловлювань термінів «істинно» та «хибно». Одна точка зо­ру полягає в тому, що нормативні висловлювання не є ані істинни­ми, ані хибними, але є виконуваними або невиконуваними. Істин­ність тут тлумачиться як окремий випадок виконуваності, хиба - як окремий випадок невиконуваності. За іншою точкою зору, норма­тивні висловлювання можуть мати істиннісний статус, зокрема, у тому разі, коли постає проблема правильності виразу в них відпо­відних норм.

Прибічники першої точки зору спираються на принцип Юма, відповідно до якого з описового висловлювання не можна вивести нормативне висловлювання, бо неможливий логічний перехід від тверджень про факти зі словом «є» до тверджень про норми зі сло­вами «має бути».

Функціональний аналіз мовних виразів - це математичний і логічний аналіз імен як іменних функцій та висловлювань як пропозиційних функцій. Він базується на теорії множин, оскільки функція є теоретико-множинною конструкцією, відповідністю між двома множинами, відображенням однієї множини в іншій множи­ні. При функціональному аналізі мовних виразів головна увага звер­тається на вживання або функціонування імен і висловлювань у мір­куванні та завдяки цьому виявляється його логічна форма.

До головних понять функціонального аналізу мовних виразів зараховують поняття: «функція», «аргумент функції», «значення функції», «місткість функції», «області можливих аргументів фу­нкції», «область визначення функції», «область значення функції», «іменна функція», «пропозиційна функція» та «інтерпретативна функція».

Функція - це правило, що задає таку відповідність між змінними х та у, за якою кожному значенню х відповідає єдине значення у.

Прикладами функціональних відношень можуть бути такі ви­словлювання: «Кожна людина має батька», «Кожна держава має столицю».

Функція складена із двох функтивів - аргументу функції і зна­чення функції.

Аргумент функції - це незалежна змінна х.

Значення функції - це залежна змінна у.

Залежність між аргументом і значенням функції записується формулою у = f(x).

Місткість функції - це кількість предметів або число аргу- ментних місць, з якими функція співвідносить елемент із мно­жини значень.

Так, функція sin - одномісна, бо вона ставить у відповідність одному куту число, а функція сума - двомісна, оскільки ставить у відповідність парі чисел число.

Області можливих аргументів функції - це кількість мно­жин, визначена місткістю функції, з яких беруться предмети на аргументні місця функції.

У функції sin - одна область можливих аргументів: множина кутів. У функції сума дві області можливих аргументів: перша - множина чисел і друга - множина чисел.

Область визначення функції - це множина предметів, яка утворюється з областей можливих аргументів.

Для одномісних функцій вона збігається з областю можливих аргументів. Для багатомісних функцій область визначення форму­ється з областей можливих аргументів шляхом поєднання кожного елемента однієї області можливих аргументів із кожним елемен­том іншої області можливих аргументів. У результаті цього утво­рюється множина впорядкованих n-ок предметів: пар, трійок, че­твірок тощо для, відповідно, двомісних, тримісних і чотириміс­них функцій.

Область значення функції - це множина, до якої належить значення функції.

Для функції sin область значення - множина чисел від 0 до 1. Для функції дарує - множина висловлювань, що позначають істину або хибу. Тому областю значення цієї функції можна вважати про­сто множину, складену з двох логічних об’єктів: істини та хиби.

Залежно від того, що являють собою область визначення і об­ласть значення функції, розрізняють три види функцій:

1) предметно-предметні;

2) предметно-істиннісні та

3) істиннісно-істиннісні.

Предметно-предметна функція - це функція, яка, виходячи з того, що обидві її області - область визначення і область зна­чення - складені з предметів, зіставляє з одними предметами або їх сукупностями інші предмети.

Так, сторонам трикутника вона ставить у відповідність пери­метри, батькам - синів, державам - столиці.

У логіці предикатів предметно-предметна функція називається іменною функцією.

Іменна функція - це вираз, який при заміні змінних постій­ними перетворюється у позначення предмета.

Вирази на зразок «столиця х», «учений у», «письменник z» є іменними функціями. Замінивши змінні х, у та z певними іменами, що позначають названі предмети міркувань, одержимо імена пред­метів, наприклад, «столиця Київ», «учений Архімед», «письменник Чарльз Діккенс».

Ім'я - це нелогічний термін, що виражений словом чи сло­восполученням, значенням якого є предмети: один предмет або будь-який предмет із класу предметів.

Залежно від предметного значення імена поділяються на:

1) власні та

2) загальні.

Власні імена - це імена, які позначають (індивідуальні) предмети.

Прикладами власних імен можуть бути вирази: «8», «сума 3 і 5», «Дніпро», «автор “Енеїди”».

Загальні імена - це імена, які позначають певний предмет із множини предметів.

Прикладами загальних імен можуть бути вирази: «число», «книга», «місто», «найбільша європейська держава», «гірська си­стема в Азії».

Залежно від смислового значення імена поділяються на прості та складні.

Прості імена - це імена, які не мають власного смислу, а лише приписаний, ззовні заданий і тому не містять жодної ін­формації про позначувані предмети.

Прикладами простих імен можуть бути вирази: «Іван», «Ма­рія», «Дніпро», «число», «книга».

Складні імена - це імена, до складу яких входять інші іме­на, і тому вони мають власний смисл та повідомляють про свої предметні значення якусь інформацію.

Прикладами складних імен можуть бути вирази: «сума 3 і 5», «найбільша європейська держава», «гірська система в Азії».

Іменні функції в логіці предикатів виражені складними іменами.

Предметно-істиннісна функція - це функція, яка, виходячи з того, що областю її визначення є множина предметів, а облас­тю значення - множина істиннісних значень, зіставляє із пев­ними предметами або їх сукупностями значення істинності - «істину» або «хибу».

Прикладами предметно-істиннісних функцій можуть бути ви­рази: «х - планета», «у - місто», «у батько х» тощо.

У логіці предикатів предметно-істиннісна функція називається пропозиційною функцією.

Пропозиційна функція - це вираз, який містить змінну і перетворюється в істинне або хибне описове висловлювання при підстановці замість змінної імені предмета із певної пред­метної області.

Вирази на зразок «х - геніальний фізик», «у - видатний укра­їнський поет», «z - місто з відомим музеєм “Лувр ”» є пропози- ційними фунціями. Замінивши змінні х, у та z відповідними іме­нами, одержимо істинні описові висловлювання, наприклад, «Альберт Ейнштейн - геніальний фізик», «Тарас Шевченко - ви­датний український поет», «Париж - місто з відомим музеєм “Лувр”».

При інтерпретації виразів в логіці предикатів враховують від­мінності між предметними постійними, вираженими власними іме­нами, і предметними змінними, зафіксованими загальними імена­ми. Приписування їм значень здійснюється таким чином, що при фіксованій інтерпретації предметних постійних допускається варі­ювання значень предметних змінних. Таке приписування значень проводиться за допомогою інтерпретативної функції.

Інтерпретативна функція в логіці предикатів - це функція, роль якої полягає у зіставленні кожній предметній постійній певного предмета, який заданий на області інтерпретації.

Причому предметним постійним різного виду повинні зістав­лятися предмети різних типів. Так, за допомогою інтерпретативної функції предметній постійній «видатний український поет» у ви­разі «х - видатний український поет» можуть зіставлятися предме­ти «Тарас Шевченко» та «Іван Франко».

У логіці предикатів розрізняють два види пропозиційних функцій:

1) предикати та

2) квантори.

Предикат в логіці предикатів - це пропозиційна функція, яка зіставляє власні імена предметів із множиною логічних значень, що утворена з двох елементів - істини та хиби.

Символічно його можна записати формулами P(x), Q(y), R(z) тощо, де х, у, z - предметні змінні, а P, Q, R - імена предикатів: предикатори чи предикатні константи. При підстановці на місце предметних змінних х, у, z предметних постійних a, b, с, предикати P(a), Q(b), R(c) набувають істиннісних значень.

Так, предикат «Білий (х)» можна перетворити у істинне просте описове висловлювання, замінивши його предметну змінну конк­ретними значеннями. Якщо взяти х = «сніг», чи х = «цукор», чи х = «папір», де знак «=» - метамовна рівність, скорочення для слів «є», «належить», то одержимо істинні прості описові висловлювання: «Сніг білий», «Цукор білий», «Папір білий».

Предикати в логіці предикатів поділяються на два види:

1) одномісні та

2) багатомісні.

Одномісний предикат - це нелогічний термін, який позна­чає властивість аргумента або елемента певної множини.

Він позначається символом P(x) і йому подібними, де х - пред­метна змінна, Р - предикатна постійна.

Його інколи називають одноаргументним або унарним преди­катом.

Прикладами одномісних предикатів можуть бути вирази: «чи­сло», «високий», «лекція», «бути корисним».

Багатомісний предикат - це нелогічний термін, який поз­начає відношення між аргументами або елементами певної множини.

Він позначається символами R(x,y), R(x,y,z) і їм подібними, де x, y, z - предмети думки, що перебувають у певних відношеннях, R - предикатор.

Його інколи називають багатоаргументним або поліарним пре­дикатом.

Прикладами багатомісних предикатів можуть бути вирази: «захоплюється», «учитель», «бути сином», які виражають бінарні предикати; «повідомляє», «знаходиться між», які виражають тер- нарні предикати тощо.

Квантор в логіці предикатів - це пропозиційна функція, яка зіставляє предикат із класом предметів, вказуючи на його належність до універсуму міркування чи універсу.

У логіці предикатів, як і в традиційній логіці, виокремлюють два види кванторів:

1) квантор спільності та

2) квантор існування.

Квантор спільності в логіці предикатів - це пропозиційна функція, яка зіставляє предикат з усім класом предметів, вка­зуючи на те, що він належить усьому універсу.

Позначається він символом ∀ (х), що означає «для кожного х».

Квантор існування в логіці предикатів - це пропозиційна функція, яка зіставляє предикат із частиною класу предметів, вказуючи на те, що він належить тільки певній частині уні­версу.

Позначається він символом з (х), що означає «деякі х», «існує х».

Квантор в логіці предикатів вживається одночасно зі змінною та змушує її пробігати весь універс або його частину. Він застосо­вується до формули зі змінною та утворює істинне чи хибне описо­ве висловлювання, яке не залежить від цієї змінної.

Істиннісно-істиннісна функція - це функція, яка, виходя­чи з того, що обидві її області - область визначення і область значення - складені з істиннісних значень, зіставляє істинні- сні значення аргументів функції з істиннісними значеннями функції.

Так, якщо істинним є аргумент функції заперечення «Сього­дні середа», то хибним буде значення функції заперечення «Не­правда, що сьогодні середа».

У логіці висловлювань істиннісно-істиннісна функція назива­ється пропозиційною функцією. Логіка висловлювань розглядає лише один вид пропозиційних функцій - логічні сполучники.

Логічний сполучник - це пропозиційна функція, яка зіста­вляє значення істинності складного описового висловлювання із значеннями істинності простих описових висловлювань, які його складають.

Якщо істинним є складне описове висловлювання «Груша ве­лика і смачна», тоді істинними є і прості описові висловлювання «Груша велика» та «Груша смачна», з яких воно утворене.

Усі види пропозиційних функцій мають однакові значення - висловлювання, що виражають судження, але їхні аргументи різні. Аргументом для предиката як пропозиційної функції є терм, аргу­ментом для квантора як пропозиційної функції є предикат, аргу­ментами для логічних сполучників як пропозиційних функцій є їх­ні складники.

2.