Вивчення висловлювань засобами логіки висловлювань та їх виклад мовою традиційної логіки

Логіка висловлювань є теорією складних описових висловлю­вань. Вона вивчає структуру і функції значень істинності складних описових висловлювань. Внутрішня структура простих описових висловлювань в рамках логіки висловлювань не розглядається.

Логіка висловлювань досліджує такі проблеми:

1) як із атомарних висловлювань утворюються молекулярні та

2) як залежить значення істинності молекули від значень іс­тинності атомів, що її складають.

Аналіз складних описових висловлювань в логіці вислов­лювань базується на двох припущеннях:

1) припущенні бівалентності та

2) припущенні функціональності.

Відповідно до припущення бівалентності, кожне описове висловлювання або істинне, або хибне.

Його інша назва - принцип двозначності.

Відповідно до припущення функціональності, значення іс­тинності будь-якого описового висловлювання однозначно ви­значається значенням істинності простих описових висловлю­вань, з яких воно складене.

Значення істинності складних описових висловлювань залежить від значень істинності простих описових висловлювань, з яких вони складені, та від характеру логічного зв’язку, який їх поєднує.

Виокремлюють шість видів логічного зв'язку:

1) одне поряд з іншим - єднальний зв’язок;

2) хоча б одне з двох - слабкий розділовий зв’язок;

3) тільки одне з двох - сильний розділовий зв’язок;

4) одне є достатньою умовою для іншого: якщо є перше, тоді обов’язково є друге - умовний зв’язок;

5) одне є необхідною і достатньою умовою для іншого: якщо є перше, тоді є друге, і якщо немає першого, тоді немає другого - рі­вносильний зв’язок;

6) одне замість іншого - зв’язок через заперечення.

Звідси шість типів складних описових висловлювань:

1) кон’юнктивне;

2) слабке диз’юнктивне;

3) сильне диз’юнктивне;

4) імплікативне;

5) еквівалентне;

6) заперечне.

Кон'юнктивне висловлювання - це складне описове висло­влювання, в якому повідомляється про наявність двох або бі­льше фактичних ситуацій.

Приклади: «Лимон зелений і кислий», «Студенти складають заліки та іспити».

Слабке диз’юнктивне висловлювання - це складне описове висловлювання, в якому повідомляється про наявність хоча б однієї з кількох фактичних ситуацій.

Приклади: «Він - шахіст або музикант», «Сьогодні він піде на футбол або волейбол».

Сильне диз’юнктивне висловлювання - це складне описове висловлювання, в якому повідомляється про наявність тільки однієї із кількох фактичних ситуацій.

Приклади: «Сьогодні середа або четвер», «Він народився у травні або червні».

Імплікативне висловлювання - це складне описове висло­влювання, в якому повідомляється про те, що наявність однієї фактичної ситуації обумовлює наявність іншої.

Приклади: «Якщо троянда цвіте, то згодом зів’яне», «Якщо надворі мороз, тоді вода в ставку замерзає».

Еквівалентне висловлювання - це складне описове висло­влювання, в якому повідомляється про взаємну обумовленість двох фактичних ситуацій.

Приклади: «Якщо і тільки якщо сонце зійде над горизонтом, тоді настане ранок», «Туман з’являється тоді і тільки тоді, коли відносна вологість повітря перевищує 100%».

Заперечне висловлювання - це складне описове висловлю­вання, в якому повідомляється про наявність однієї фактичної ситуації замість іншої.

Приклади: «Неправда, що йде дощ», «Неправда, що після су­боти настає п’ятниця».

Значення істинності складних описових висловлювань визна­чають шляхом побудови таблиць істинності. Для цього необхідно визначити точний смисл логічних сполучників, які з’єднують прос­ті описові висловлювання у складному. Цей смисл задається таб­личним визначенням логічних сполучників як функцій значень іс­тинності.

У таблицях істинності для кон’юнкції, слабкої диз’юнкції, сильної диз’юнкції, імплікації та еквіваленції перший стовпчик - перший аргумент, другий стовпчик - другий аргумент, третій стовпчик - значення функції. У таблиці істинності для запер е- чення перший стовпчик - аргумент функції, другий стовпчик - значення функції.

Табличне визначення функцій значень істинності логічних сполучників в логіці висловлювань:

Кон’юнкція - це логічний сполучник, який є істинним ли­ше у тому випадку, коли усі його складники є істинними. В усіх інших випадках цей логічний сполучник є хибним.

Таблиця істинності для кон’юнкції:

Таблиця істинності для сильної диз’юнкції:

Формулі AyB у природній мові, окрім «або А, або В», можуть також відповідати вирази «чи А, чи В», «А або В, але не обидва ра­зом», «А, крім випадку, якщо В», «іноді А, В».

Імплікація - це логічний сполучник, який буде хибним лише в одному випадку, коли перше описове висловлювання - підстава, антецедент - є істинним, а друге - наслідок, кон- секвент - хибним. В усіх інших випадках імплікація є істин­ною.

Таблиця істинності для імплікації:

Розрізняють матеріальну і формальну імплікацію.

Матеріальна імплікація - це вид імплікації, в якій між ан­тецедентом та консеквентом немає змістовного зв'язку.

Висловлювання «Якщо на Сонці є життя, тоді двічі по два дорівнює чотири», «Якщо Дніпро - озеро, тоді Київ - столичне мі­сто» є прикладами парадоксів матеріальної імплікації.

Формальна імплікація - це вид імплікації, який фіксує змі­стовний зв'язок між антецедентом та консеквентом.

Висловлювання «Якщо настає день, тоді стає світло», «Якщо натрій метал, тоді він пластичний» є прикладами формальної ім­плікації.

Імплікація може вказувати на причинно-наслідкове відношен­ня між явищами та умовний зв’язок між думками. Вона може ви­ражати й відношення логічного випливання, яке існує у міркуван­нях людей.

У структурі міркування підстава чи антецедент імплікації ви­конує роль засновку або засновків (залежно від їх кількості), а на­слідок чи консеквент імплікації - роль висновку. Якщо засновки міркування подати у вигляді формули А, а його висновок - у ви­гляді формули В, тоді можна стверджувати, що з формули А логіч­но випливає формула В, коли імплікація A→B є законом логіки ви­словлювань.

Еквіваленція - це логічний сполучник, який буде істинним лише у тих випадках, коли логічні значення його складників збігаються. Цей логічний сполучник є хибним, коли логічні значення його складників не співпадають.

Таблиці істинності для еквіваленції:

Формулі AθB у природній мові можуть відповідати такі вира­зи: «А, якщо і тільки якщо В», «Якщо А, тоді В, і навпаки», «А, якщо В, і В, якщо А», «Для А необхідно і достатньо В», «А еквіва­лентно В».

Заперечення - це логічний сполучник, який перетворює іс­тинне описове висловлювання на хибне, а хибне - на істинне.

Таблиця істинності для заперечення:

Результатом запереченя кон’юнкції є диз’юнкція, в якій її складники є запереченнями складників кон’юнкції. Внаслідок заперечення кон’юнкції «Математики вивчають логіку і філософи

чущою), якщо вона істинна при будь-яких наборах значень істин­ності своїх атомарних підформул, у всіх своїх інтерпретаціях.

Формула називається логічно хибною (або тотожно- хибною, або логічним протиріччям, або невиконуваною, або незагальнозначущою), якщо не існує жодного набору значень істинності її атомарних підформул, жодної інтерпретації, в якій вона була б істинною.

Формула називається логічно нейтральною (або виконува­ною, або правдоподібною, або невизначеною), якщо існує хоча б одна інтерпретація, в якій вона істинна, й хоча б одна інтер - претація, в якій вона хибна. Це означає, що такі формули не мо­жуть бути абсолютно логічно істинними або абсолютно логічно хибними. Вони лише відносно істинні та відносно хибні.

Наведені ряди термінів (логічна істина - логічна хиба - логічно нейтральна формула і логічний закон - логічне протиріччя - вико­нуване висловлювання) є рівнозначними та взаємозамінюваними.

Логіка висловлювань і традиційна логіка є порівнюваними теорі­ями. Якщо логіка висловлювань є теорією складних описових ви­словлювань, то традиційна логіка при зіставленні з нею одержує ста­тус теорії складних предикативних суджень. Водночас між ними іс­нують і певні розбіжності. Логіка висловлювань не бере до уваги внутрішню структуру простих описових висловлювань, з яких скла­дені складні описові висловлювання. Традиційна логіка, навпаки, зо­середжує увагу на суб’єктно-предикатній структурі простих преди­кативних суджень, з яких утворені складні предикативні судження.

У традиційній логіці складним описовим висловлюванням від­повідають складні предикативні судження. Із кон’юнктивним ви­словлюванням зіставляється сполучне судження, слабким диз’юнк­тивним висловлюванням - сполучно-розділове судження, сильним диз’юнктивним висловлюванням - виключаючо-розділове суджен­ня, імплікативним висловлюванням - умовне судження, еквіва­лентними висловлюванням - рівнозначне судження, заперечним висловлюванням - заперечне судження.

Охарактеризуємо кожен із видів складних предикативних су­джень.

Сполучне судження - це складне предикативне судження, в якому суб'єкту приписуються кілька предикатів, зв'язаних граматичним сполучником «і» чи рівнозначними йому.

Приклад: «Неправда, що сьогодні дощить (~А) ? Неправда, що сьогодні (S) [є] дощить (P)».

Із наведених перетворень очевидно, що логіка висловлювань розглядає прості описові висловлювання, які виражають прості су­дження як єдине ціле, без поділу на структурні елементи.

3.