Основные понятия и допущения логики предикатов

Если попытаться с помощью логики высказываний доказать коррек­тное умозаключение «Каждый человек любит самого себя (А). Я - че­ловек (В). Следовательно, я люблю самого себя (С)», то общезначимого вывода (А&В) С не получится.

Логика предикатов - логика, созданная для анализа умозаключений, в которых истинность заключения зависит не только от истинности посылок, но также и от их внутренней логической структуры

Для анализа внутренней структуры высказываний в логике преди­катов дополнительно к основным понятиям ЛВ были введены понятия «универсум», «имя собственное», «предметная константа», «предметная переменная», «предикат», «терм», «предметная функция», «квантор». Кроме того, использование ЛП требует принятия особых допущений.

Как и в традиционной логике, в логике предикатов все вычисления привязаны к понятию «универсум».

Универсум Uлогики предикатов - класс вещей с за­данными свойствами и отношениями

Универсум задает предметную область интерпретации анализиру­емого рассуждения, позволяет вычислить его логическое значение. Од­ним из мотивов возврата к универсуму стала необходимость ограничения предмета рассуждения определенными смысловыми границами. Если та­кой границы не задавать, то кванторные выражения (кванторы, или знаки количества в традиционной логике) вида «для всех», «ни для одного» и «для некоторых» не получают однозначной интерпретации и могут при­водить к двусмысленностям.

Чтобы обсуждать вещи универсума, необходимо для каждой из них иметь имя собственное - имя, которое обозначает эту и только эту вещь.

Имя собственное в логике предикатов - термин, обозначающий отдельную вещь универсума

Логика предикатов, как и традиционная логика, связана с допущени­ем невозможности существования пустых имен, т.е. таких терминов, ко­торым в рассматриваемом универсуме ничего не соответствует (которые не обозначают ни одной вещи универсума).

Допущение непустоты универсума. Каждому име­ни собственному должна соответствовать некоторая вещь универсума

В логике предикатов не важно, каким именем обозначается та или иная вещь, важно, какая вещь обозначается. Поэтому если два и более различных имени обозначают одну и ту же вещь, то независимо от разли­чия своих интенсионалов (смыслов) они считаются экстенсионально вза­имозаменяемыми. Например, «автор “Евгения Онегина”» и «А.С. Пуш­кин» - экстенсионально взаимозаменяемые имена, так как обозначают одного и того же человека. В противном случае значение истинности вы­сказывания будет зависеть от малейшего изменения смысла контекста, в котором оно употребляется.

Допущение экстенсиональности. Если два раз­личных имени обозначают одну и ту же вещь, они считаются взаимозаменяемыми и обладают одним и тем же значением истинности

Как и в логике высказываний, в логике предикатов сохраняется допу­щение бивалентности.

Допущение бивалентности. Каждое простое вы­сказывание ЛП либо истинно, либо ложно

Из-за необходимости учитывать внутреннюю структуру высказыва­ний атомарные формулы ЛП значительно отличаются по своей структу­ре от атомарных формул ЛВ. Напомним, что в ЛВ атомарной формулой считается знак (прописная буква латинского алфавита), обозначающий простое высказывание.

Допустим, задан некоторый универсум U.Относительно каждой его вещи ее имя собственное может быть известно или неизвестно. Если имя собственное вещи известно, то она обозначается одной из строчных на­чальных букв латинского алфавита a, b, c...и называется предметной кон­стантой.

Различие между предметными константами и переменными поясняет следующий пример. Допустим, необходимо формализовать утверждение, что некоторая вещь из универсума Uобладает свойством Р. Это можно сделать двумя способами: либо как Ра, если а - известное имя собствен­ное вещи, либо как Рх, если имя собственное вещи не известно. Выраже­ние Ра читается: «Данная вещь а из универсума Uобладает свойством Р». Выражение Рх читается «Произвольная вещь х из универсума Uобладает свойством Р». Фундаментальное различие между обоими случаями со­стоит в том, что выражения вида Ра, РЪ... можно оценивать как истинные или ложные, а выражения вида Рх, Ру... нельзя.

Пусть U = «пищевые продукты», Р= «сладкий», а= «сахар», b = «соль». Тогда выражение Ра= «Сахар сладкий» истинно, а выражение РЪ = «Соль сладкая» ложно. Сказать же, что Рх= «Произвольный пищевой продукт сладкий» истинно или ложно, бессмысленно, потому что не из­вестно, о каком именно пищевом продукте идет речь. Знак х обозначает любую съедобную вещь или, как говорят, «пробегает» по всем вещам рассматриваемого универсума. Значит, чтобы выражение ЛП, содержа­щее вхождения предметных переменных, можно было интерпретиро­

вать как истинное или ложное высказывание, их необходимо заменить соответствующими им предметными константами.

Допустим, необходимо формализовать утверждение, что некоторая вещь находится в определенном отношении к другой вещи. Здесь также различаются указанные выше два случая.

Традиционно предикатом называется мысль, обозначающая либо свойство, которым обладает или не обладает данная вещь, либо отно­шение, в котором находится или не находится рассматриваемая вещь к другим вещам. В ЛП предикаты интерпретируются как логические функ­ции, отображающие имена собственные как свои аргументы в множество значений истинности. Если в высказывании «Сахар сладкий» заменить константу «сахар» предметной переменной, то результатом замены ста­нет функция «х сладкий». Подстановка в данную функцию вместо х раз­личных имен собственных будет порождать истинные или ложные выска­зывания в качестве ее значений. Если исключить случай, когда предикат имеет нулевое множество аргументов, предикатом в собственном смысле слова можно назвать любое высказывание, содержащее по крайней мере одно вхождение предметной переменной. Пусть, как и прежде, Г и F обозначают значения истинности.

Предикат - логическая функция, отображающая собственные имена вещей (предметные константы) в множество логических значений {T, F}

Выражения вида P¹Xпринято называть одноместными (одноаргу­ментными) предикатами. Их отличительная особенность заключается в том, что они обозначают свойства вещей. Выражения вида P²xyназыва­ют двухместными (двухаргументными) предикатами. Их особенностью является то, что они обозначают бинарные отношения. В общем, выра­жения вида Pⁿпринято называть n-местными предикатами, обозначаю­щими n-местные отношения, n ≥ 0. В случае P⁰предикатная буква обоз­начает простое высказывание ЛВ, которое по допущению бивалентности либо истинно, либо ложно.

Верхними индексами для обозначения местности предиката можно и не пользоваться, так как число мест предиката легко определяется по числу предметных переменных, которыми он управляет. Например, P³ означает, что после предикатной буквы Pдолжно стоять три предметных переменных - Pxyz.В дальнейшем используется именно данный вариант символизации предикатов.

Если необходимо формализовать операцию, отображающую множес­тво предметных констант в это же множество по определенному зако­ну, тогда используют соответствующую этой операции предметную (т.е. нелогическую) n-местную функцию. Известные арифметические опера­ции - сложение, вычитание, умножение и деление представляют собой частные случаи таких функций. Двухместная функция сложения f (a, b), определенная на множестве натуральных чисел, ставит в соответствие паре определенных натуральных чисел aи bновое число с из этого же множества в качестве результата их суммы: a + b = с. Например, f (1, 2) = 3, f (f (1, 2), f (1, 2)) = 3 + 3 = 6. Другие примеры предметных функций: g (b) = мать b, g (g (b)) = мать матери b = бабушка b, g (g (g (b))) = мать бабушки, b = прабабушка b. Функция Jⁿпри n = 0 обозначает предметную константу.

Предметные константы и предметные переменные принято объеди­нятьобщим именем - простой терм (от англ. term).Понятие терма обоб­щает понятия субъекта в традиционной логике. К числу сложных термов относятся n-местные функциональные знаки, n ≥ 0, сопровождаемые n- предметными константами или переменными в качестве простых тер­мов.

Объединение термов с предикатной буквой порождает атомарную формулу ЛП. Основным правилом в этом процессе является следующее: n-местной предикатной букве должно соответствовать n термов. Та­ким образом, выражение P³не является атомарной формулой ЛП, так как предикатный символ не сопровождается тремя термами, а выражение вида РаЬх является.

Некоторые формулы ЛП с вхождениями предметных переменных могут быть квантифицированы. Кванторы в ЛП играют такую же роль, как и знаки количества - «все», «ни один», «некоторые» в традиционной логике. Они определяют количественные границы свойств и отношений, обозначаемых предикатами.

Пусть универсум состоит из трех вещей, каждая из которых имеет свое собственное имя, - U = {a, b, c}. Если необходимо сказать, что все вещи данного универсума обладают свойством Р, то это можно сделать двумя способами. Во-первых, можно построить конъюнкцию: (Ра & РЪ & Рс), которая истинна, если и только если истинны все ее конъюнкты. Во-вторых, можно использовать специальное сокращение, называемое квантором общности и ставящееся перед той формулой, Рх в данном случае, количественную характеристику которой оно определяет: (х) Рх. Формула Рх, перед которой поставлен квантор общности, (х) Рх, читается: «Каждый х обладает свойством Р», «Для всех х имеет место свойство Р». Формула - (х) Рх читается «Неверно, что каждый х обладает свойством Р». Формула (х) - Рх читается «Ни один х не обладает свойством Р».

Если необходимо сказать, что некоторые вещи рассматриваемого универсума обладают свойством Р, то это можно сделать также двумя способами. Во-первых, можно построить дизъюнкцию (Раѵ РЪѵ Рс), ко­торая истинна, если и только если истинен по крайней мере один ее дизъ­юнкт. Во-вторых, можно использовать специальное сокращение, назы­ваемое квантором существования и ставящееся перед тем выражением, количественную характеристику которого оно определяет: (Ех) Рх. Фор­мула Рх, перед которой поставлен квантор существования, (Ех) Рх, чита­ется «Существует такой х, который обладает свойством Р», «По крайней мере для одного х имеет место Р». Формула - (Ех) Рх читается «Неверно, что существует такой х, который обладает свойством Р». Формула (Ех) - Рх читается «Некоторые х не обладают свойством Р».

7.2.