Основные модусы правильных умозаключений логики высказываний

Все умозаключения ЛВ принято подразделять на условные и разде­лительные. Каждый из указанных классов имеет свои разновидности, или

модусы. Если модус умозаключения правильный, значит, соответствую­щая ему формула представляет собой логическую истину (закон логики, тавтологию).

Условные умозаключения

Условно-категорическим умозаключением называют умозаключение, одна из посылок которого представляет собой категорическое высказыва­ние, а другая - условное (импликативное) высказывание. Условно-кате­горические умозаключения делятся на две разновидности: modus ponens (утверждающий способ рассуждения) и modus tollens(отрицающий спо­соб рассуждения).

В утверждающем модусе доказывается истинность первого антеце­дента условной связи, для того чтобы доказать истинность ее последнего консеквента (следствия). В отрицающем модусе, наоборот, доказывается ложность последнего консеквента условной связи, с тем чтобы доказать ложность ее первого антецедента.

Формула утверждающего модуса условно-категорического умозак­лючения:

Пример

Если сегодня понедельник, будет лекция по логике. Но сегодня дейст­вительно понедельник. Значит, сегодня будет лекция по логике.

Формула отрицающего модуса условно-категорического умозаклю­чения:

Пример

Если число три четное, оно должно делиться на два без остатка. Но число три не делится на два без остатка.

Разделительные умозаключения

Разделительно-категорическим умозаключением называют умозак­лючение, одна из посылок которого представляет собой категорическое высказывание, а другая - разделительное высказывание. Разделительно­категорические умозаключения принято делить на две разновидности: modus ponendo tollens(утверждающе-отрицающий способ рассуждения) и modus tollendo ponens(отрицающе-утверждающий способ рассужде­ния).

В утверждающе-отрицающем модусе доказывается истинность од­ной из альтернатив, для того чтобы опровергнуть все остальные. В отри- цающе-утверждающем модусе, наоборот, доказывается ложность некото­рых альтернатив, с тем чтобы доказать истинность всех остальных.

Формула утверждающе-отрицающего модуса разделительно-кате­горического умозаключения:

Пример

Подброшенная монета выпадет либо гербом, либо цифрой. Она вы­пала гербом. Значит, она не выпала цифрой.

Формула отрицающе-утверждающего модуса разделительно-кате­горического умозаключения:

Пример

Отсюда можно выйти либо через дверь, либо через окно. Но дверь заперта снаружи. Значит, отсюда можно выйти только через окно.

Условно-разделительные умозаключения

Условно-разделительным умозаключением называют умозаключе­ние, посылки которого состоят из нескольких условных и одного разде­лительного высказывания. Подобные умозаключения используют тогда, когда предстоит сделать выбор из нескольких вариантов действий, спо­собов решения задач и т.п. В зависимости от числа дизъюнктов (альтер­натив) разделительной посылки различают дилеммы (две альтернативы),

полилеммы (число альтернатив более двух). Для простоты изложения ограничимся здесь дилеммами. Последние принято делить на простые и сложные, конструктивные и деструктивные.

Формула простой конструктивной дилеммы:

Пример

Если изучать логику, требуется время и терпение.

Формула сложной конструктивной дилеммы:

Пример

Если плыть по реке, нужны лодки. Если ехать по шоссе, требуются велосипеды. Необходимо плыть по реке или ехать по шоссе. Значит, тре­буются лодки или велосипеды.

Формула простой деструктивной дилеммы:

Пример

Если сегодня понедельник, то будет лекция по логике. Если сегодня понедельник, то будут занятия по английскому языку. Но сегодня не будет логики или не будет занятий по английскому языку. Значит, сегодня не понедельник.

Формула сложной деструктивной дилеммы:

Пример

Если книга интересна, то она читается быстро. Если книга полезна, то она читается постоянно. Но книга не читается быстро или не читается постоянно. Значит, книга неинтересна или не полезна.

Правило дедукции (введение импликации)

Если тезис имеет импликативную форму видато для его

обоснования достаточно доказать, что его консеквент (высказывание В) выводим из конъюнкции множества аргументов α и его антецедента (вы­сказывания А). Умозаключение, позволяющее это сделать, называется правилом дедукции.

Формула правила дедукции:

Пример

Если из того что это число кратно 2 и 15 (α) и делится на 10 (А), доказуемо, что это число делится на 6 (В), тогда утверждение, что если это число делится на 10, то оно делится на 6доказуемо только из

того, что это число кратно 2 и 15 (α).

Рассуждение от противного

Для обоснования выводимости вида α I- β часто допускают лож­ность тезиса β, т.е. истинность формулы -β, и проверяют, совместимо ли -β с множеством аргументов α. Если оказывается, что формула -β не­совместима с аргументами α (конъюнкция α и -β противоречива), тогда делают вывод об истинности указанной выводимости. Такое рассужде­ние лежит в основе косвенного вывода (косвенного доказательства).

Формула рассуждения от противного:

Пример

Чтобы доказать, что если сегодня понедельник, то завтра вторник, можно рассуждать так. Допустим, завтра не вторник. Но это допущение

несовместимо с истинным утверждением, что сегодня понедельник. Зна­чит, завтра действительно вторник (если сегодня понедельник).

Приведение к абсурду

Если требуется опровергнуть тезис β, тогда подбираются такие ис­тинные аргументы α, с помощью которых можно вывести из конъюнкции (α &β) противоречие. Если это удается, тогда тезис β считается опровер­гнутым (относительно приведенных аргументов α).

Формула приведения к абсурду:

Пример

Если необходимо доказать, что сегодня не вторник, допускаем вре­менно, что на самом деле сегодня вторник. Из этого допущения и мно­жества аргументов, из которых следует, что вчера было воскресенье, вы­водим противоречие - сегодня понедельник и сегодня вторник. Значит, принятое допущение неверно, а верно его отрицание - сегодня не втор­ник.

Разбор случаев

Если из допущения А выводимо следствие С, из допущения (случая) В выводимо следствие С, тогда истинно, что следствие С выводимо из дизъюнкции допущений (А ѵ В). Сказанное означает, что доказательство выводимости тезиса С из сложного аргумента (А ѵ В) можно свести к доказательству его выводимости из отдельных дизъюнктов - А и В, что и называется доказательством посредством разбора случаев.

Формула разбора случаев:

Пример

Если сегодня понедельник, то завтра не четверг. Если сегодня втор­ник, завтра не четверг. Значит, если сегодня понедельник или вторник, то завтра не четверг.

Контрольные вопросы и задания

1. Формализуйте в терминах логики высказываний следующие вы­ражения:

а) Только в среду или четверг мы освободились и принялись за работу;

б) Выбираем ли мы одну ценовую политику или другую, ни уро­вень занятости, ни качество потребления существенно не изменится;

в) Есть только бытие, а небытия нет и не может быть;

г) Если не будут увеличены налоги, то количество свободных де­нег будет расти, если, конечно, не возрастут цены;

д) Наш уровень жизни возрастет, только если инфляция вновь не сделает скачок вверх.

2. Найдите нетривиальные следствия:

а) Кто украл варенье? Известно, что могли украсть Мартовский Заяц или Болванщик; Мартовский Заяц утверждает, что он не крал; Бол- ванщик заявил, что украл один из них, но не он; Соня - что по крайней мере один из них (Мартовский Заяц или Болванщик) говорит правду, но не оба. Известно также, что Соня и Мартовский Заяц не могли одновре­менно говорить правду;

б) Кто украл муку? Известно, что муку могли украсть Мартовс­кий Заяц, Болванщик или Соня; Мартовский Заяц заявил, что муку украл Болванщик. Известно также, что муку украл лишь один и что именно он дал правдивые показания;

в) Кто украл перец? Известно, что перец могли украсть Мартов­ский Заяц, Болванщик или Соня. Крадущие перец никогда не говорят правду. Мартовский Заяц заявил, что Болванщик невиновен. Болванщик заявил, что Соня невиновна;

г) Кто же украл перец? Под подозрение попали Грифон, Черепаха Квази и Омар. Грифон заявил, что Черепаха Квази невиновен, а Черепаха Квази утверждал, что виновен Омар. Известно, что ни один невиновный не лгал и ни один виновный не говорил правды;

д) Кто украл сахар? Сахар был обнаружен в доме Герцогини, и, как показало расследование, украла его либо Герцогиня, либо ее кухар­ка, но не обе вместе.

е) Кто украл соль? Кражу могли совершить Гусеница, Ящер­ка Билль или Чеширский Кот. Гусеница заявила, что соль съел Ящерка Билль. Последний подтвердил это. Чеширский Кот заявил, что он никогда не ел соль. По крайней мере один из них лгал и один говорил правду;

ж) Кто украл сковороду? В число подозреваемых попали Лягу­шонок, Лакей-Лещ и Валет Червей. Лягушонок заявил, что украл Лакей- Лещ. Лакей-Лещ это отрицал. Валет Червей сознался, что он украл. Не более чем один подсудимый лгал;

з) Кто украл поваренную книгу? Могли украсть кухарка, Герцо­гиня или Чеширский Кот. Герцогиня заявила, что украл Чеширский Кот. Последний с этим согласился. Кухарка отрицала, что она украла поварен­ную книгу. Лгал тот, кто украл поваренную книгу, и по крайней мере один из остальных обвиняемых говорил правду;

и) Кто украл поваренную книгу второй раз? Подозрение пало на Герцогиню, кухарку и Чеширского Кота. Были сделаны те же заявления, что и в прошлый раз (см. предыдущий пример). Лгал тот, кто украл пова­ренную книгу. Два других обвиняемых либо оба солгали, либо оба сказа­ли правду;

к) Кто украл молоко, масло и яйца? Украсть могли Мартовский Заяц, Болванщик и Соня. Мартовский Заяц заявил, что масло украл Бол- ванщик. Болванщик утверждал, что яйца украла Соня. Соня созналась, что она украла молоко. Кто украл масло, говорил правду. Тот, кто украл яйца, лгал. Кто что украл?

л) Кто украл крендели? Виновен либо Грифон, либо Черепаха Квази. Герцогиня заявила, что Грифон не крал крендели, на что кухарка возразила, что Грифону случалось красть другие вещи. Чеширский Кот утверждал, что Черепаха Квази никогда ничего не крал. Гусеница на это заметила, что Чеширскому Коту случалось красть вещи. Мартовский Заяц заявил, что кухарка и Чеширский Кот говорят правду. Соня заявила, что кухарка и Гусеница говорят правду. Болванщик утверждал, что Чешир­ский Кот, или Гусеница, или оба говорят правду. Валет Червей заявил, что кухарка и Болванщик оба говорят правду. Белый Кролик добавил, что Ящерка Билль говорит правду, а Валет Червей лжет. Ящерка Билль, со своей стороны, заявил, что либо Мартовский Заяц, либо Соня говорят правду, а может быть и оба. По поводу всех этих заявлений Алиса замети­ла, что Белый Кролик и Гусеница дали показания, которые либо истинны, либо оба ложны. Замечание Алисы оказалось правдивым³.

3. В качестве примеров на нахождение нетривиальных допущений решите следующие задачи:

а) В комнате с узником две двери: «дверь свободы» и «дверь смер­ти» - и двое стражников, один из которых всегда говорит правду, а другой ложь. Какой следует задать вопрос, чтобы стать свободным?

³Примеры заимствованы из кн.: Смаллиан Р.М. Алиса в стране смекалки. М., 1987. С. 17-29.

б) Узник находится в комнате с двумя дверьми, как и прежде, но с одним слугой. Этот слуга либо всегда говорит правду, либо всегда лжет, либо иногда говорит правду, либо иногда лжет. Он никогда не высказыва­ется противоречиво: каждое его утверждение однозначно либо истинно, либо ложно. Какой следует задать вопрос, чтобы стать свободным?

4. Докажите прямым или косвенным способом следующие умоза­ключения:

5. Задача Эйнштейна. Есть 5 домов, каждый из которых разного цве­та. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга на­циональности. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит оди­наковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Также известно следующее:

• англичанин живет в красном доме;

• швед держит собаку;

• датчанин пьет чай;

• зеленый дом стоит слева от белого;

• жилец зеленого дома пьет кофе;

• человек, который курит Pall Mall, держит птицу;

• жилец среднего дома пьет молоко;

• жилец желтого дома курит Dunhill;

• норвежец живет в первом доме;

• курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку;

• человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill;

• курильщик сигарет Winfield пьет пиво;

• норвежец живет около голубого дома;

• немец курит Rothmans;

• курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду.

Доказать прямым и косвенным способом, что рыба принадлежит немцу.