Складні судження

Складними судженнями називають ті, які складаються з двох або більше простих суджень, що поєднані між собою логічними сполучниками.

Прості судження поєднуються між собою за допомогою логічних сполучників: кон'юнкції (їй відповідає в мові сполучник z), диз'юнкції (або в сполучно-роз’єднувальному значенні; хоча б одне з двох), строгої диз'юнкції (або в значенні або одне, або інше), імплікації (якщо то), еквіваленцїї (якщо, і тільки якщо).

Позначимо прості судження, які входять до складу складних, великими буквами латинського алфавіту: А, В, C, D тощо.

Для позначення логічних сполучників скористаємося спеціальними знаками. Ми будемо використовувати одну із систем цих знаків, але в дужках подаємо й інші, які найчастіше зустрічаються в літературі:

& (А) - кон’юнкція, сполучник «і».

V - диз’юнкція, сполучник «або».

V ( V, VV) - строга диз’юнкція, сполучники «або...або»

ZD (=>,→) - імплікація, сполучник «якщо».

~ (?,÷÷,) - еквіваленція, «якщо і тільки якщо».

^^^, (, причому цей символ, на відміну від інших, ставиться над буквою) - заперечення

Складні судження, утворені за допомогою кон'юнкції, називають поєднувальними, ті, які утворені за допомогою диз’юнкції - розділовими, а судження, утворені за допомогою імплікації та еквіваленції, називаються умовними.

Наведемо приклад. Скажімо, вчителька географії в школі запропонувала учням такі завдання:

Перше завдання полягає в тому, щоб вибрати рядки, в яких перше і друге міста є містами Сполучених Штатів Америки:

Друге завдання полягає в тому, щоб з тих же пар міст вибрати ті, в яких одне або інше місто було би містом Сполучених Штатів.

В кожному з рядків названо по два міста.

1) Чікаго, Сіетл;

2) Атланта, Житомир;

3) Воронеж, Піттсбург;

4) Жмеринка, Берлін.

Звичайно, що в першому випадку учні вибрали би тільки першу пару міст, а в другому вони підкреслять варіанти 1), 2), 3).

Пари міст залишалися такими ж, але відповіді були різні. Причина в тому, що в питаннях вживалися два різних сполучники: в першому випадку «і», в другому «або».

Побудуємо таблички значень логічних сполучників для кожного з цих прикладів:

Для кон’юнкції (сполучник «і») ці значення будуть такі:

Отже, кон’юнктивне складне судження буде істинним тільки в одному випадку - коли обидва простих судження, які входять до його складу, будуть істинним. В нашому прикладі це значило, що і одне місто, і інше мали бути містами США. Тому правильним був тільки перший варіант: Чікаго, Сіетл. Всі інші варіанти цій вимозі не відповідали, отже були хибними.

Зовсім інша річ виходить, коли питання було сформульоване за допомогою сполучника «або». Тепер правильними будуть будь-які варіанти відповідей, за винятком одного - четвертого, в якому жодне з названих міст не є містом США.

Таким чином, розділове судження в нашому прикладі виявляється істинним, якщо хоча б одна з альтернатив (частини розділового судження називаються альтернативами) буде істинною. Відповідно, хибним буде тільки те диз’юнктивне судження, в якому всі альтернативи хибні.

Але це стосується тільки одного типу диз’юнктивних суджень. А сполучник «або» має не одне, а два значення.

Візьмемо два приклади:

1. Марії подобається Іван або Степан.

2. Марія виходить заміж за Івана або за Степана.

В цих, на перший погляд, подібних судженнях значення сполучника «або» будуть суттєво відрізнятися. Марії цілком може подобатися Іван, або Степан, або обидва одночасно. А от виходити заміж вона може тільки за одного з них.

В першому прикладі ми маємо справу з нестрогою диз’юнкцією. Сполучник «або» тут має розділово-поєднувальне значення. Розділове судження, утворене за допомогою нестрого!' диз’юнкції, буде істинним в будь-якому випадку, крім того, коли обидві альтернативи хибні (див.

В другому прикладі, в якому мова йшла про заміжжя, сполучник «або» має строго розділове значення. Складне судження, утворене за допомогою такого сполучника, буде істинним тільки тоді, коли альтернативи, які входять до його складу, будуть мати різне значення. Якщо обидві альтернативи істинні, то розділове судження, утворене за допомогою строгої диз’юнкції, буде хибним:

Умовне (імплікативне) судження виражає зв’язок між причиною та наслідком. Та частина умовного судження, в якій йдеться про причину, називається основою або антецедентом. Частина судження, яка виражає наслідок, що витікає з вказаної в судженні причини, називається консеквентом, або ж просто наслідком.

Якщо і основа, і наслідок умовного судження істинні, то таке судження теж буде істинним. Якщо основа істинна, а наслідок хибний, то таке умовне судження буде хибним, бо з істини має випливати істина. Якщо і основа, і наслідок хибні, то таке умовне судження буде істинним, оскільки з хиби і має випливати хиба.

Дуже цікавим є випадок, коли основа імплікативного судження хибна, а наслідок істинний. Якщо підійти формально, то таке судження має бути визнаним хибним, адже з хиби має слідувати хиба, а тут з хиби слідує істина. Некоректним є таке судження і з точки зору закону виключеного третього: не можуть бути одночасно істинними два судження, якщо в одному з них із хиби випливає хиба, а в іншому - істина. Але незважаючи на все це, умовне судження, в якому основа хибна, а наслідок істинний, все ж вважається істинним. Формальна логіка в цьому випадку змушена визнати, що дійсним критерієм істинності чи хибності суджень є тільки практика. На практиці ж люди, одержавши істинний висновок, не зважають на те, чи були істинними ті судження, з яких він випливає. Дуже показовим в цьому плані є історія з винайденням повітряної кулі. її винахідники, брати Монгольф’є, за переказом, мислили наступним чином:

- Духи, говорили вони, - легші за повітря, оскільки завжди піднімаються вгору.

Таким чином, в формальній логіці з хиби може випливати що завгодно

- як хиба, так і істина.

Судження, утворене за допомогою еквіваленції, відрізняється від імплікативного тим, що коли його основа хибна, а наслідок істинний, то судження теж вважається хибним. Це зумовлено тим, що в еквівалентному судженні не тільки наслідок випливає з основи, а й навпаки, основа має випливати зі свого власного наслідку. Наприклад: якщо ця фігура є прямокутним ромбом, то це квадрат. Звичайно, що таке судження можна повернути наступним чином: якщо ця фігура - квадрат, то вона є прямокутним ромбом.

Зверніть увагу, що у випадку імплікації цього зробити не можна. Наприклад. Якщо йде дощ, то асфальт мокрий. Ми не можемо казати: якщо асфальт мокрий, то йде дощ. Адже асфальт може бути мокрий з інших

причин.

Зведемо всі розглянуті значення логічних сполучників в одну

довідкову таблицю.

За допомогою табличної побудови логіки висловлювань, навіть не знаючи змісту суджень, можна визначати, чи є те або інше судження логічним законом, тобто чи буде воно істинним чи хибним.

Візьмемо приклад складного судження і спробуємо за допомогою таблиці визначити, чи буде воно логічним законом:

(A ⊃B) V -(C&D).

Буквами у нас позначені прості судження. Ми не знаємо змісту простих суджень, які входять до складу нашої формули, але із закону виключеного третього нам відомо, що будь-яке судження в рамках традиційної логіки може мати тільки два значення - істина або хиба. В перших двох стовпчиках переберемо всі можливі варіанти поєднання значень простих суджень. Можливі варіанти: коли обидва судження істинні, коли судження А істинне, а В - хибне, коли А хибне, В - істинне, і коли обидва судження хибні. Перебір можливих варіантів поєднання значень суджень для кожної нової пари суджень повинен здійснюватися в тому ж самому порядку, який було обрано в першому випадку. Далі будемо здійснювати дії аналогічно тому, як це робиться в арифметиці, - спочатку дія в дужках, потім - дія між дужками. Значення сполучників будемо брати з довідкової таблиці. Результати дій в дужках для зручності будемо позначати арабськими цифрами.

В останньому стовпчику ми отримали істинні значення в усіх рядочках.

Треба зауважити, що викладений метод визначення істинності складних суджень є недосконалим. Він є дуже зручним, але не дає стопроцентного результату, за виключенням тих випадків, коли хоча б в одному з рядків ми отримаємо хибу. Тоді ми можемо говорити, що це судження не є логічним законом. Отже, ним можна користуватися тільки для попереднього аналізу складних суджень. Для того ж, щоб точно визначити, чи є те чи інше складне судження логічним законом (мається на увазі випадок, коли попередня перевірка за допомогою таблиці в чотири рядки дала тільки істину), потрібно перебрати можливі варіанти збігу значень простих суджень не попарно, а для всіх простих суджень, які входять до складу формули, зразу.

виглядала би так:

Як бачимо, повна перевірка істинності даного складного судження показала, що насправді воно не є логічним законом. Логічним законом воно було би тільки тоді, коли б в останньому стовпчику всі значення були істинними.

Візьмемо ще один приклад:

- ((AoB) V -(C&D)) о (CθB)

Перевіримо результати за допомогою таблиці, в якій будуть враховані

всі можливі варіанти збігу значень простих суджень:

В даному випадку перевірка підтвердила результати скороченого методу. Значить, це судження є логічним законом.

Вказані методи легко застосовувати, якщо до складу складного судження входить не більше чотирьох простих. Якщо ж простих суджень в складному більше, перебір всіх можливих варіантів збігу їх значень стає або дуже складною, або ж практично неможливою справою.

Тоді можна скористатися наступним методом: не будемо перебирати всі можливі варіанти збігу значень, а постараємося зразу знайти той варіант, коли збіг значень дає хибу.

Візьмемо для прикладу судження

Для того, щоб знайти рядок зі значенням «хиба» для цього судження, почнемо розглядати судження з останньої дії, якою в даному випадку є імплікація. Відомо, що імплікація дає «хибу» у випадку, коли основа істинна, а наслідок хибний.

Відповідно, тепер нам треба знайти, коли диз'юнкція дає істину, а імплікація - хибу. Це буде тоді, коли обидві альтернативи істинні (ми візьмемо цей варіант, хоча можливі ще два - коли істинна хоча б одна з альтернатив), а в імплікації антецедент істинний, а консеквент - хибний.

Залишилося визначити значення для А, В, C, D, тобто коли імплікація і кон'юнкція будуть істинними. Нас задовольнить варіант, коли всі прості судження будуть істинними. Значення для імплікації просто перенесемо з попередньої дії.

Таким чином ми отримали той рядок таблиці, який нас цікавив і який свідчить про те, що це складне судження не є логічним законом. Якщо б рядка з результатом «хиба» нам не вдалося знайти, то це свідчило б про те, що судження є логічним законом. Звичайно, що тоді треба було б перевірити це судження іншими способами, скажімо, аксіоматичним, щоб не припуститися помилки.

Треба зауважити, що саме цей розділ логіки, який вивчає операції над складними судженнями, покладений в основу сучасного комп'ютерного програмування. Широко використовуються результати і методи цього розділу логіки і в теорії автоматів - науці, яка складає теоретичну базу конструювання обчислювальної техніки.

Запитання для самоконтролю

Скільки предикатів в простому судженні? Чи може бути 13 термінів у складному судженні? Що таке судження з відношеннями? Що таке просте категоричне судження? Чому одиничні судження у загальній класифікації прирівнюються до загальних? Яка формула частковозаперечувального судження?

Завдання для закріплення матеріалу

1) Складіть загальну класифікаційну таблицю суджень.

2) Якщо відомо, що перше судження у парі істинне, то яким буде значення другого судження?

• Всі тутешні хлопці вміють стріляти з рогатки. Деякі тутешні хлопці не вміють стріляти з рогатки.

• Деякі рептилії мають крила. Деякі рептилії не мають крил.

• Жодна з цих троянд не є червоною. Всі ці троянди червоні.

3) Назвіть терміни та визначте їх розподіленість:

• Жодна хмаринка не принесла з собою дощ.

• Тільки студенти КПІ знають, що таке «Поляна».

• Всі студенти, які нещодавно здали вступні іспити, приступили до навчання.

• Деякі студенти отримали почесні грамоти.

4) Наведіть приклад судження з:

• кон’юнкцією та складною диз’юнкцією;

• простою диз’юнкцією та імплікацією;

• еквіваленцією та кон’юнкцією.

5) Складіть таблицю істинності для судження: ((A v В) → (C&D)).

6.