Традиційна логіка як силогістика

У традиційній логіці досліджуються не тільки молекулярні де­дуктивні виводи або дедуктивні виводи із складних суджень, але й атомарні дедуктивні виводи або дедуктивні виводи із простих за­сновків.

Силогістика без порожніх термінів у сучасній логіці - це теорія числень загальних імен, які не є порожніми термінами. Її інша назва - формалізована силогістика.

Силогістика без порожніх термінів у традиційній логіці - це теорія дедуктивних виводів із простих засновків, що не містять порожніх термінів. Її інша назва - традиційна силогістика.

Вона базується на результаті поділу простих суджень суб’єктно-предикатної структури за кількістю і якістю одночасно. Результат поділу - загальностверджувальні, частковостверджува- льні, загальнозаперечні та частковозаперечні типи суджень суб’єктно-предикатної чи силогістичної структури складають за­сновки і висновок силогістичного виводу.

Силогістичний вивід - це дедуктивний вивід, у якому від­ношення логічного випливання має вигляд розподіленості тер­мінів.

За кількістю засновків силогістичні виводи поділяються на безпосередні та опосередковані.

Силогістичний вивід, в якому висновок отримується з од­ного простого судження суб'єктно-предикатної структури на підставі розподіленості двох його термінів - суб'єкта і предика­та, називається безпосереднім.

До безпосередніх виводів зараховують виводи за логічним ква­дратом, перетворення, обернення і протиставлення.

Силогістичний вивід, в якому висновок отримується з двох чи більше простих суджень суб'єктно-предикатної структури на підставі розподіленості трьох термінів - меншого, більшого і середнього, називається опосередкованим.

До опосередкованих виводів зараховують простий силогізм, складний силогізм, скорочений силогізм і складноскорочений силогізм.

Традиційна силогістика будується без врахування або з ураху­ванням внутрішньої структури силогістичних термінів, за допомо­гою простих або складних термінів. Звідси поділ традиційної сило­гістики на два види:

1) позитивну силогістику та

2) негативну силогістику.

Позитивна силогістика - це традиційна силогістика із про­стими термінами.

У позитивній силогістиці не враховується внутрішня структура силогістичних термінів. Тому кожний силогістичний термін в по­зитивній силогістиці розглядається і тлумачиться як простий вираз, що не розкладається на складові частини.

Негативна силогістика - це традиційна силогістика із складними термінами.

У негативній силогістиці враховується внутрішня структура деяких силогістичних термінів. Тому в негативній силогістиці за­стосовуються як прості, так і складні терміни. Складні терміни утворюються із простих шляхом їх заперечення. Для цього викори­стовують оператор термінного заперечення, який символічно поз­начається рискою. У негативній силогістиці поряд із простими тер­мінами простих суджень суб’єктно-предикатної структури типу S чи P, з’являються нові, складні терміни типу -S чи -P, що чита­ються «не-S» та «не-Р».

Розглянемо силогістичні виводи засобами позитивної силогіс­тики. Безпосередні виводи позитивної силогістики:

Виводи за логічним квадратом - це дедуктивні виводи на підставі штучної наочної схеми, яка визначає функціонально- істиннісні залежності між простими предикативними суджен­нями типу 8аВ, 8еВ, 8іВ та 8оВ.

Вони будуються за такими правилами:

1. Правила вертикалі:

Приклади:

2. Правила діагоналі:

Приклади:

Приклади:

Обернення - це дедуктивний вивід, в якому у висновку мі­няють місцями суб'єкт та предикат засновку; його якість при цьому залишається незмінною, а кількість інколи може зміню­ватися.

Безпосередні виводи негативної силогістики:

Перетворення - це дедуктивний вивід, в якому у висновку змінюється якість засновку та характер його предиката: ствер­джувальний засновок змінюється на заперечний, предикат, ви­ражений простим терміном, на протилежний йому, складний, та навпаки.

Протиставлення предикату - це дедуктивний вивід, в яко­му висновок будується послідовним застосуванням до засновку спочатку перетворення, а потім до отриманого результату - обернення.

206

Протиставлення суб'єкту - це дедуктивний вивід, в якому ви­сновок будується послідовним застосуванням до засновку спочат­ку обернення, а потім до отриманого результату - перетворення.

Безпосередні силогістичні виводи дають змогу:

1) одержати нову інформацію (вивідне знання) на підставі мі­німальної кількості вихідних знань - одного предикативного су­дження;

2) виявити ті знання, які містяться у предикативному судженні неявно;

3) уточнити співвідношення обсягів суб’єкта та предиката;

4) чітко усвідомити, яка інформація є у предикативному су­дженні, а якої немає;

5) тонко вловити нюанси думок.

Опосередковані виводи позитивної силогістики:

Простий силогізм - це дедуктивний вивід, складений з двох простих засновків і висновку, що містять два крайніх і середній терміни, де простий висновок про відношення між крайніми термінами отримують на підставі відношення крайніх термінів до середнього терміна у двох простих засновках. Засновки і ви­сновок простого силогізму представлені судженнями виду А, Е, І, О, а його терміни виражені загальними іменами. Тому простий си­логізм у сучасній логіці називають численням загальних імен.

Суб’єкти і предикати засновків та висновку простого силогізму називають силогістичними термінами. Серед них розрізняють менший, більший та середній терміни.

Меншим терміном силогізму є суб'єкт висновку. Він позна­чається латинською буквою S.

Більшим терміном силогізму є предикат висновку. Позна­чається він латинською буквою P.

Більший та менший терміни називають крайніми термінами.

Середнім терміном силогізму є термін, який входить в оби­два засновки, але відсутній у висновку. Позначається він латин­ською буквою М.

Відповідно до назв крайніх термінів розрізняють більший і мен­ший засновки. Засновок, що включає менший термін, називають меншим засновком, а засновок, який включає більший термін, - більшим засновком. Менший і більший терміни є відмінними тер­мінами засновків, а середній термін - їх спільним терміном.

Більший та менший засновки можуть займати в силогізмі як перше, так і друге місце. Але розрізняють їх не за місцем у силогі­змі, а за термінами, які вони включають в себе.

Структуру простого силогізму можна записати мовою логіки висловлювань у вигляді імплікації, де антецедентом буде кон’юнкція засновків (A, B), а консеквентом - висновок (C):

Такий запис дає змогу на підставі відношення логічного ви­пливання більш точно виразити логічний зв’язок між засновками і висновком простого силогізму.

Якщо розглядати схему простого силогізму залежно від розта­шування середнього терміна, то можливі чотири його фігури.

Фігура силогізму - це множина простих силогізмів, які ма­ють одну й ту ж структуру, що визначається місцем середнього терміна у засновках.

Першою називають таку фігуру силогізму, в якій середній термін займає місце суб'єкта в більшому засновку та місце пре­диката - в меншому.

Приклад:

Другою називають таку фігуру силогізму, в якій середній термін займає місце предиката в обох засновках.

Схема другої фігури:

Приклад:

Третьою називають таку фігуру силогізму, в якій середній термін займає місце суб'єкта в обох засновках.

Схема третьої фігури:

Приклад:

Четвертою називають таку фігуру силогізму, в якій серед­ній термін займає місце предиката в більшому засновку та міс­це суб'єкта - в меншому.

Схема четвертої фігури:

Кожна фігура силогізму має свої модуси. Модуси - це види фігур силогізму, що відрізняються за якістю й кількістю своїх засновків та висновків. Модуси силогізму позначаються трьома символами, кожен з яких відповідає одному із суджень силогізму виду A, Е, І, О.

Таблиця правильних модусів:

Силогістика є аксіоматичною системою. Її аксіомами вважа­ються чотири модуси першої фігури силогізму, яка називається до­сконалою. Будь-який із модусів другої, третьої і четвертої фігури може бути зведеним до модусів першої фігури. Важливу роль при цьому відіграють правила безпосередніх силогістичних виводів. У такий спосіб обґрунтовується правильність простого силогізму, побудованого за схемою другої, третьої чи четвертої фігури.

При побудові простого силогізму дотримуються певних пра­вил, які поділяються на:

1) загальні правила силогізму та

2) особливі правила фігур.

Загальні правила силогізму - це правила, які застосовуються до будь-якої фігури простого силогізму.

Правила термінів:

1. У простому силогізмі повинно бути тільки три терміни.

2. Середній термін має бути розподіленим принаймні в одному із засновків.

3. Термін, не розподілений у засновку, не може бути розподіле­ний у висновку.

Правила засновків:

1. Із двох заперечних засновків висновок неможливий.

2. Із двох часткових засновків висновок неможливий.

3. Якщо один із засновків заперечний, то й висновок буде запе­речним.

4. Якщо один із засновків частковий, то й висновок буде част­ковим.

Особливі правила фігур - це правила, які застосовуються лише до окремих фігур простого силогізму.

Перша фігура:

1. Більший засновок - загальний (А, Е).

2. Менший засновок - стверджувальний (А, І).

Друга фігура:

1. Більший засновок - загальний (А, Е).

2. Один із засновків - заперечний (Е, О).

Третя фігура:

1. Менший засновок - стверджувальний (А, І).

2. Висновок - частковий (І, О).

Четверта фігура:

1. Якщо більший засновок - стверджувальний (А, І), менший - загальний (А, Е).

2. Якщо один засновків - заперечний (Е), більший - загальний (А, Е).

Опосередковані виводи негативної силогістики. У негатив­ній силогістиці можна робити висновок із двох заперечних заснов­ків. У ній можливі такі правильні модуси простого силогізму із складними термінами:

Приклад:

Або:

Приклад:

У позитивній силогістиці також розглядаються скорочені, складні і складноскорочені силогізми. У практиці міркування, за­звичай, послуговуються не повними силогізмами, у яких чітко про­стежується два засновки та висновок, що з них випливає, а силогі­змами у скороченому вигляді.

Простий силогізм, у якому не виражено, але враховано один із засновків або висновок, називається скороченим сило­гізмом, або ентимемою.

Існує три види ентимем:

1) без явного вираженого більшого засновку;

2) без явного вираженого меншого засновку та

3) без явно вираженого висновку.

Найширше вживаною є ентимема без явно вираженого більшо­го засновку. Це пояснюється тим, що більший засновок виражає загальновідоме і, як передбачається, зрозуміле усім знання.

Розглянемо повний силогізм та виведемо з нього три ентимеми.

Повний силогізм:

Ентимема без явно вираженого більшого засновку:

Ентимема без явно вираженого меншого засновку:

Ентимема без явно вираженого висновку:

Простий силогізм, в якому обидва засновки є ентимемами, називається епіхейремою.

Схема епіхейреми:

У практиці міркування люди рідко обмежуються одним прос­тим силогізмом. Як правило, вони будують складні силогізми.

Складний силогізм або полісилогізм - це два або декілька простих силогізмів, зв'язаних між собою таким чином, що ви­сновок одного із них є засновком наступного.

Силогізм, що надає підставу для засновку наступного сило­гізму, називають просилогізмом, а силогізм, в якому засновок постає висновком попереднього силогізму, - епісилогізмом.

Розрізняють прогресивні та регресивні полісилогізми.

Якщо висновок просилогізму стає більшим засновком епі- силогізму, полісилогізм називають прогресивним.

Схема прогресивного полісипогізму

Приклад:

Якщо висновок попереднього силогізму стає меншим за­сновком наступного, полісилогізм називається регресивним.

Схема регресивного полісилогізму:

Приклад:

У реальних процесах міркування полісилогізми майже не ви­користовуються, оскільки вони надто громіздкі. Необхідність в них виникає тоді, коли потрібно перевірити певний висновок. Як пра­вило, полісилогізми застосовують у скороченій формі, у вигляді складноскорочених силогізмів.

Складноскорочений силогізм або сорит - це полісилогізм, в якому явно не виражений засновок епісилогізму, який є висно­вком просилогізму.

Розрізняють прогресивний сорит та регресивний.

Прогресивний сорит отримують шляхом вилучення біль­шого засновку епісилогізму, який являє собою висновок про­силогізму.

Схема прогресивного сориту:

Приклад:

Регресивний сорит отримують шляхом вилучення меншого засновку епісилогізму, який є висновком просилогізму.

Схема регресивного сориту:

Приклад:

4. Виводи традиційної логіки в логіці предикатів. Логіка предикатів як числення

Аналіз силогістичних виводів традиційної логіки, в яких вра­ховується суб’єктно-предикатна структура простих суджень, су­часними методами проводиться в логіці предикатів. При проведен­ні аналізу силогістичних виводів, по-перше, береться до уваги те, що термін «предикат» у традиційній логіці та логіці предикатів має різний теоретичний статус. Предикат у традиційній логіці є граматичною категорією, логічним присудком в семантичному ро­зумінні, а в логіці предикатів - логічною функцією.

По-друге, до уваги береться те, що у традиційній логіці при­пущення непорожнечі універсуму міркування не має винятків і то­му предикат у судженні не є порожнім терміном. А в логіці преди­катів припущення непорожнечі універсуму міркування має винят­ки. Логіка предикатів інколи припускає нульмістні предикати, ін­шими словами, такі предикати, обсяг яких не містить жодного еле-

мента і, таким чином, є порожньою множиною. Тому не будь-який вираз логіки предикатів, що репрезентує силогістичний вивід тра­диційної логіки буде загальнозначущим.

Перевірка правильності виводів традиційної логіки у логіці предикатів здійснюється за допомогою методу аналітичних таб­лиць так само, як і в логіці висловлювань. Але, на відміну від логі­ки висловлювань, метод аналітичних таблиць в логіці предикатів є напіврозв’язуючою процедурою: аналітична таблиця в логіці пре­дикатів може не замкнутися через нескінчений процес підстановки термів замість вільних змінних. Але незамикання аналітичної таб­лиці в логіці предикатів не завжди є показником незагальнозначу- щості формули чи неправильності виводу.

Засобами логіки предикатів можна перевіряти правильність виводів традиційної силогістики. Для цього потрібно записати си­логістичний вивід мовою логіки предикатів і побудувати аналітич­ну таблицю для досліджуваної формули з метою обґрунтування ві­дношення випливання висновку із засновків. Якщо випливання об­ґрунтовано, силогістичний вивід правильний. Якщо ж випливання не обґрунтовується, оскільки вивід не вдається правильно побуду­вати, то це не є однозначним показником неправильності виводу, беручи до уваги те, що вивід може бути непобудований через брак винахідливості, однак при достатньому логічному досвіді можна з великою мірою переконливості вважати такий силогістичний вивід неправильним.

Перевіримо правильність простого силогізму традиційної си­логістики:

Запишемо мовою логіки предикатів наведений силогізм. Поз­начимо властивості «бути ссавцем», «смертність», «бути люди­ною» предикатними константами F, G, H. Перепишемо засновки і висновок досліджуваного силогізму у вигляді формул логіки пре­дикатів:

Вони читаються так: «Кожний індивід, якщо він ссавець, тоді він смертний», «Кожний індивід, якщо він людина, тоді він сса­вець», «Кожний індивід, якщо він людина, тоді він смертний».

У результаті отримуємо замкнену аналітичну таблицю. Отже, досліджуваний силогізм є правильним виводом традиційної силогі­стики.

У логіці предикатів не тільки досліджуються атомарні дедуктив­ні виводи або силогістичні виводи традиційної логіки, але й буду­ються власні атомарні дедуктивні виводи або відповідні логічні чис­лення. Так само, як і в логіці висловлювань, в логіці предикатів розг­лядаються два головних типи числення: аксіоматичне і натуральне.

Аксіоматичне числення логіки предикатів - це така логіч­на теорія, яка є розширенням аксіоматичного числення логіки висловлювань і містить в собі аксіоми числення, правила вве­дення і усунення логічних сполучників та кванторні правила.

Натуральне числення логіки предикатів - це така логічна теорія, яка є розширенням натурального числення логіки ви­словлювань і включає в себе правила виведення для логічних сполучників та кванторні правила.

Враховуючи переваги натурального числення висловлювань, розглянемо натуральне числення предикатів. Поняття виводу і до­ведення у натуральному численні предикатів залишаються, по суті, такими ж, як і в натуральному численні висловлювань, але з пев­ними застереженнями, а саме: жодна предметна змінна не обмежу­ється абсолютно більше одного разу і не обмежує сама себе.

Вивід у логіці предикатів називається завершеним, якщо жодна абсолютно обмежена змінна не зустрічається вільно ні в невключе- них припущеннях, ні у висновку. Тільки при здійсненні завершено­го виводу гарантується, що між засновками і висновком є відно­шення логічного випливання. Для завершення виводу такі змінні зв’язуються квантором існування, або вивід завершується тим, що всі такі припущення виключаються за правилом введення імпліка­ції або правилом введення заперечення.

Виводи в численні предикатів будуються так само, як у нату­ральному численні висловлювань. При виборі припущень керують­ся тими ж рекомендаціями, що і в натуральному численні вислов­лювань: якщо потрібно вивести формулу у вигляді імплікації, при­пускають її антецедент, якщо формулу іншого виду, то беруть в якості припущення її заперечення, або, за умови, коли сама ця фор­мула має головним знаком заперечення, припускають її без запере­чення. Якщо потрібно вивести формулу, головним знаком якої є квантор, тоді можна брати припущення, керуючись тими ж мірку­ваннями, не звертаючи увагу на квантори.

До складу натурального числення предикатів входять правила виведення для логічних сполучників та кванторні правила. Оскіль­ки правила виведення для логічних сполучників були проаналізо­вані в рамках логіки висловлювань, в рамках логіки предикатів аналізуються тільки кванторні правила.

Буквально це правило означає, що якщо усі предмети якоїсь предметної області або універсуму міркування мають певну ознаку, тоді будь-який довільний або визначений предмет цієї предметної області має цю ознаку.

Правило введення квантова спільності (В ∀):

Це правило визначає, що властивість, притаманна будь- якому предмету певної предметної області, належить також усім предметам цієї предметної області, але лише за умови, що знання про цю властивість отримується на підставі аналізу цих предметів, попередньо ототожнених й узагальнених між собою за певними параметрами. Інакше кажучи, якщо в процесі виве­дення отримуємо твердження про те, що довільний предмет із яко­їсь предметної області має певну ознаку, тоді можна стверджувати, що усі предмети цієї предметної області мають цю ознаку.

З цього правила випливає, що якщо будь-який довільно взя­тий або визначений предмет має якусь ознаку, тоді це означає, що існує принаймні один предмет, який має цю ознаку.

Приклади:

Правило усунення квантора існування (У з):

З цього правила випливає, що з істинності часткового вислов­лювання типу з x A(x) можна зробити висновок про істинність одиничного висловлювання типу A(a), яке є результатом під­становки постійної a замість змінної х.

Однак справа ускладнюється, якщо у засновках або припущен­нях є декілька висловлювань із кванторами існування. Наприклад, якщо поряд із описовим висловлюванням «Існує х, що х студент економічного факультету» має місце таке описове висловлювання: «Існує х, що х студент юридичного факультету» - тоді неможли­во замість змінної х правильно підставити постійну. Зазначена об­ставина вимагає певного обмеження до правила У з. Це обмеження формулюється наступним чином: якщо у процесі виведення до­водиться застосовувати правило У з n разів, тоді необхідно n разів вводити нову постійну (ім'я), яка відрізняється від усіх раніше введених постійних (імен).