ГЕОМЕТРІЯ ЕБКЛІДА

Почнемо з найстарішої математичної теорії, для якої зберег­лося її текстове подання, — геометрії Евкліда, яка й зараз слугує своєрідним каноном для викладання будь-яких наукових теорій⁵.

Якщо виходити із традиційних уявлень, то геометрична сис­тема математичного знання вважається одним із класичних зраз­ків дедуктивної теорії, тобто теорії в сенсі стандартного підхо­ду, прийнятому в науці та філософії науки. Отже, мається на ува­зі, що вся геометрія Евкліда зводиться до системи визначень гео­метричних об’єктів та їх властивостей; аксіом (постулатів), тобто тверджень про властивості та відношення геометричних об’єктів, істинність яких вважається очевидною; правил висновку, тобто правил перетворення аксіом і виведених з них допоміжних лем та теорем (пропозицій), які мають бути істинними твердженнями. Це дає підстави для реконструкції (моделювання) геометрії Евклі­да як дедуктивної системи⁶.

Нагадаємо деякі з компонентів, які містяться в теорії Евкліда.

1. Точка є те, що не має частин.

2. Лінія — довжина без ширини.

3. Кінці лінії — точки.

4. Прямою лінією є та, яка однаково розташована відносно то­чок над нею.

5. Поверхня є те, що має тільки довжину й ширину.

6. Кінці поверхні — лінії.

7. Пласкою поверхнею є така, яка однаково розташована від­носно до прямих на ній.

23. Паралельні прямі — це такі прямі, які, знаходячись в одній площині та необмежено продовжені в обидві сторони, ні з того, ні з іншого «боку» не зустрічаються між собою.

Постулати.

Припустімо:

1. Від будь-якої точки до будь-якої точки провести пряму лінію.

2. І обмежену пряму в неперервний спосіб продо­вжувати по прямій.

3. І з будь-якого центра та будь-яким розхилом описане коло.

4. І всі прямі кути рівні між собою.

5. І якщо пряма, яка падає на дві прямі, утворює внутрішні, розташовані по один бік кути, які є меншими, ніж два прямих, то продовжені необмежено ці дві прямі зустрінуться з того боку, де кути менші, ніж два прямі.

Аксіоми.

1. Рівні одному і тому ж рівні й між собою.

2. І якщо до рівних додати рівні, то й цілі будуть рівними.

3. І якщо від рівних відняти рівні, то й залишки будуть рівними.

4. І якщо до нерівних додати рівні, то й цілі не будуть рівними. Пропозиція.

На даній обмеженій прямій побудувати рівнобічний три­кутник⁷.

Зазначимо, що в цій теорії є значно більше таких засадничих компонентів, на які зазвичай не звертають уваги. Але без них не­можливо існування (формування) згаданих вище елементів, тому що перші виступають як «матеріал» для побудови других.

Насправді, геометрії Евкліда (в сучасних позначеннях) при­таманна специфічна для неї мова найменування й опису таких її основних елементів, як точка, пряма, відрізок, площина, відстань між точками, фігури тощо, а також їх властивостей та відношень. Наприклад, точки позначаються великими латинськими літера­ми (А, В, С,...); прямі — малими латинськими літерами (а, Ь, с,...); кути та площини — малими грецькими літерами (а, р, у,...); кути також позначають особливою комбінацією символу А та лі­тер АОВ, де О позначає вершину кута, а ОА та ОВ — сторони кута.

Деякі імена фігур запозичені з грецької мови. В ній, напри­клад, термін «трапеція» був іменем певного виду столу з нахилени­ми ніжками. Цікаво, що первісне слово «трапеза» перекладається з давньогрецької не тільки як «страва», а й як «стіл». А в сучасній грецькій мові «трапеза» означає ще й «банк», що легко зрозуміти з точки зору етимології.

Крім того, в геометрії суттєво використовуються мовні засо­би іншої древньої системи математичного знання — арифмети­ки. Нагадаємо, що для найменування деяких геометричних фі­гур застосовується мова теорії цілих чисел (трикутник, октаедр, п'ятикутник тощо), тоді як для найменування кількісних зна­чень властивостей та відношень фігур — мова теорії дійсних чи­сел (значення лінійних розмірів, відстані, площини, об’єму гео­метричних фігур тощо).

Хоча вибір імен є доволі важливим під час початкового ви­вчення шкільної геометрії, але на вищому рівні її розвитку, який пов’язується з аксіоматизацією, вибір імен може бути довільним без шкоди для наукового змісту. Головне, щоб елементи, які по­значаються такими іменами, мали ті властивості та знаходилися в тих відношеннях, які зафіксовані аксіомами геометрії. Як висло­вився німецький математик Давид Гільберт, один з засновників та пропагандистів аксіоматичної побудови систем математичного знання: «треба, щоб такі слова, як «точка», «пряма», «площина», в усіх пропозиціях геометрії можна було б замінити, наприклад, словами «стіл», «стілець», «пивна кружка»⁸.

Легко бачити, що в геометрії існують численні та різноманіт­ні моделі геометричних об’єктів. Такі моделі зображуються за до­помогою креслень або рисунків (багато таких рисунків іноді з ху­дожньою витонченістю містить книга⁹), а останнім часом це ро­биться за допомогою комп’ютерної техніки¹⁰.

На прикладі геометрії стає особливо очевидною єдність її мов­них та модельних компонентів (елементів). Правда, тут слід ура­хувати, що зазвичай говорять не про модельні компоненти гео­метрії, а про пов’язану з нею просторову уяву, маючи на увазі під цим почуттєві образи (тобто моделі) реальності, яку створила геометрія та які в ній використовуються.

У тісному зв’язку цих компонентів геометричної науки бага­то хто навіть вбачає своєрідність геометрії, що виокремлює її з інших систем наукового знання. Вона полягає в «безперервному, органічному поєднанні живої уяви з суворою логікою. У своїй сутності й основі геометрія і є просторовою уявою, пронизаною та організована суворою логікою. В ній завжди присутні ці два нерозривно пов’язаних елемента: наочна картина і точне форму­лювання та строгий логічний висновок. Там, де бракує однієї з цих сторін, немає й справжньої геометрії»¹¹.

Зауважимо, що геометрична уява або візуальна (зорова) інту­їція не є щось притаманне кожній людині від народження. Вона формується та поглиблюється в результаті засвоєння геометрії як системи математичного знання в школі, коледжі, в університеті, під час дослідницької, інженерної, конструкторської, дизайнер­ської, мистецької тощо праці. Засвоївши ріманову геометрію або багатовимірну геометрію, студент університету опановує більш розвинуту геометричну інтуїцію, ніж випускник школи.

Сама назва геометрії свідчить про те, що вона зародилася як система знання з розв’язання задач, націлених на розподіл та ви­мірювання земельних ділянок. Тому не дивно, що будь-який спо­сіб викладання геометрії, починаючи з Початків Евкліда, містить велику кількість задач, асоційованих із находженням властивос­тей геометричних фігур, їх порівнянням, перетворенням, а також різних алгоритмів, процедур, методів їх розв’язання.

Геометричні задачі поділяються на три класи¹²: задачі на по­будову¹³, задачі на доказ і задачі на обчислення. Кожному класу відповідають свої, особливі методи їх розв’язання. Серед задач на побудову найбільш відомі три знамениті задачі стародавності: по­двоєння об’єму куба, трисекція кута й квадратури кола.

З першою з них пов’язана цікава давньогрецька легенда, яка збереглася в багатьох варіантах. Отже, в Афінах лютувала жорсто­ка епідемія чуми. Всі спроби мешканців впоратися з нею вияви­лися марними.

Ця задача подвоєння куба сторіччями цікавила математиків. Однак численні спроби, обмежуючись циркулем і лінійкою, зна­йти її розв’язок, виявилися безуспішними. Та все-таки від них була певна користь, оскільки в ході цих спроб було висунуто ба­гато цікавих конструктивних ідей. Неможливість загального рі­шення цієї задачі за допомогою виключно циркуля й лінійки до­вів через багато років (в 1837 році) французький математик П’єр Лоран Ванцель.

Іншими важливими елементами систем геометричного знання є гіпотези. Найзнаменитішою з тих, які належать до евклідової геометрії як системи знання, було припущення про виводимість п’ятого постулату Евкліда з попередніх чотирьох.

Нагадаємо одне з його сучас­них формулювань. «Якщо пряма падає на дві прямі й утворює вну­трішні односторонні кути, в сумі менші двох прямих (кути ВАС и ВСА на рис. 3.1), то за необмеже­ного продовження цих двох пря­мих вони перетнуться з того боку, де кути менші двох прямих». Цей постулат важко назвати очевидним — він є достатньо складним як за формою, так і по суті, оскільки в ньому йдеться про власти­вості нескінчених прямих, стосовно яких наша інтуїція нічого не спроможна підказати»¹⁴.

Далі цитована вище Енциклопедія додає наступні міркування: «Необхідність цього постулату для побудови геометрії не видаєть­ся беззаперечною: сам Евклід доводить низку теорем, не спира­ючись на V постулат, і абсолютно неясно, чому до цієї низки не можуть бути включені всі без винятку теореми евклідової геоме­трії.

Тільки в XIX столітті вдалося довести незалежність п’ятого постулату від інших постулатів. Відбулося це шляхом конкретної побудови низки неевклідових геометрій, в яких цей постулат не виконується, а самі такі геометрії тим не менш є несуперечливи- ми¹⁶. Таким чином була спростована гіпотеза про можливість його виведення з інших постулатів.

До найвідоміших оцінок, пов’язаних з евклідовою геометрією, належать істинність, доведеність і рівносильність її тверджень; очевидність і несуперечливість її аксіом; повнота системи аксі­ом; можливість розв’язання задач певного типу; універсальність, ефективність, конструктивність і придатність методів; точність геометричних побудов, їх реалізація наперед визначеними інстру­ментами тощо.

У геометрії Евкліда можна знайти найрізноманітніші операції й процедури. Це й правила доведення геометричних тверджень, і методи побудови різних геометричних фігур, і операції симетрії, паралельного переносу, подоби тощо.

Явне виокремлення компонентів, які фактично містяться в цій системі геометричного знання, дає змогу усвідомленіше ста­витися до історії виникнення останньої, а також зрозуміти при­чини існування різних підходів до її побудови, текстового подан­ня та викладання.

Як відомо, у стародавності в різних країнах існували свої уяв­лення про геометрію¹⁷, ¹⁸. Так, у Древньому Вавилоні геометрія розглядалася з точки зору задач, які вона мала розв’язувати, та методів їх розв’язання, тоді як у Древній Греції найбільший роз­виток одержала саме дедуктивна організація геометрії. Індійська математика робила основний наголос у геометрії на моделях, тому що для неї найважливішим способом аргументації було звертан­ня до креслень, тобто до наочних моделей геометричних об’єктів.

У наш час також запропоновано багато підходів до побудо­ви геометрії Евкліда. їх можна класифікувати на підставі того, які елементи вони беруть як вихідні.

Традиційний підхід самого Евкліда та його численних послі­довників, у тому числі й таких відомих, як Давид Гільберт¹⁹, ста­вив у центр геометрії такі важливі для її дедуктивного упорядку­вання елементи як визначення, аксіоми, правила виведення та теореми. При цьому особлива увага зверталася на формулюван­ня деяких вихідних тверджень (аксіом) про базисні властивості й співвідношення геометричних об’єктів, на підґрунті яких прагну­тимуть вивести твердження (теореми) про інші властивості й спів­відношення.

Разом з тим існує і інший напрямок у побудові геометрії, який бере початок ще в математиці Древнього Єгипту й Вавилона. Він знайшов сучасне відображення у відомій Ерлангенській програмі Фелікса Клейна¹⁰, яка головну роль відводить операціям над гео­метричними структурами, коли перші зберігають деякі властивос­ті других. Нагадаємо, що відповідно до цієї програми геометрія задається групою допустимих в ній інваріантних (собітотожних) перетворень геометричних структур. Із геометрією Евкліда асо­ціюється інваріантна група перетворень, яка містить сукупність усіх поворотів, паралельних перенесень і перетворень подоби цих структур. Таким чином, у центрі цього підходу перебуває вивчен­ня таких перетворень, які залишають інваріантними деякі власти­вості геометричних об’єктів.

У сучасній літературі представлений і більш формальний під­хід до геометрії, для якого центральними елементами вважають­ся числові моделі. У ньому предметною галуззю геометрії вва­жається довільна множина, елементи якої називаються точками. «1) Геометрія розгортається в деякому просторі, який складаєть­ся з точок Р, (2,... 2). Згідно з методом аналітичної геометрії в цьому просторі можна ввести декартові координати. Введення де- картових координат в просторі означає, що кожній точці просто­ру поставлений у відповідність набір дійсних чисел х¹,..., х^п, які називають координатами простору (тобто кожна точка простору, що розглядається, моделюється певним набором дійсних чисел — ОГ, ВК). При цьому мають виконуватися наступні властивості: а) різним точкам простору відповідають різні набори координат; це означає, що дві точки Р и 2 з координатами (х¹,..., х^п), (у¹,..., у^п) збігаються в тому й тільки в тому випадку, якщо X^і = у^і, і = 1, 2,..., п; б) навпаки, кожному набору (х¹,.., х^п), де X^і — будь-які дійсні числа, має відповідати якась точка Р простору, що вивчається»²¹.

Отже, порівнюючи різні варіанти побудови та виклади гео­метрії, можна зробити наступний висновок: «нинішня шкільна, тобто давньогрецька, математика вивчала різні метричні власти­вості найпростіших геометричних фігур. Основні задачі, які вона розв’язувала, — знаходження співвідношень між довжинами та кутами трикутників і багатокутників. Крім того, на базі цього були обчислені площі поверхонь і об’єми деяких тіл. Централь­ні поняття шкільної геометрії, на підставі яких вона будувала­ся, — це довжина відрізку прямої (або кривої для випадку кола), а також кут між двома лініями (прямими або кривими), які пере­тинаються.

Із наведеного випливає, що в межах сучасного розуміння шкільної геометрії головним об’єктом є відстань між двома точ­ками, тобто деяка модель елементарного геометричного об’єк­та — пари геометричних точок у вигляді певного числа, що трак­тується як відстань між точками»²². Таким чином, у цьому підхо­ді основний наголос робиться на числових моделях геометричних структур.

Ми дуже радимо читачеві взяти будь-який виклад знайомої йому системи математичного знання та перевірити, чи є в ній ті сорти елементів, про які йшлося вище в нашому загальному роз­гляді систем знань та при аналізі геометрії як прикладу. Йдеть­ся про символи, мови, моделі, основні та виведені положення або твердження, завдання, методи та оцінки. Більш підготовлений чи­тач може ознайомиться з виокремленням в одному з варіантів тео­рії чисел п’яти її підсистем²³.

3.3.