КОНКРЕТНІСТЬ ІСТИНИ: ВАЖЛИВІСТЬ ДОРЕЧНИХ АПРОКСИМАЦІЙ

З цією фізико-математичною проблемою зіткнулися й інші теоретики, які почали вивчати плазму без зіткнень²⁶ після Власо­ва, визнаючи його пріоритет у постановці самоузгодженої задачі для плазми без зіткнень та отриманні дисперсійного рівняння для повздовжніх плазмових коливань.

Ландау показав, що хоча закон дисперсії, знайдений Власо­вым із дійсної частини діелектричної проникності, був в принци­пі правильним, але хвилі, які розповсюджуються в плазмі, прак­тично завжди згасають, а коефіцієнти згасання залежать від тем­ператури (парними та складнішими зіткненнями Ландау нехтував так само, як і Власов!). Отже, уявну частину функції ю(к) необхід­но враховувати. На підставі цих результатів Ландау стверджував (а його співавтори погоджувались), що «ніякого дисперсійного рів­няння [в статті Власова] не існує»³¹.

Ясна річ, що останнє твердження є занадто суворим. Дійсна частина формул Ландау та Власова для прикладом справедливості точки зору Філіпа Андерсона про те, «що більше означає інше», бо в межах застосовності класичної фізики вини­кає макроскопічний об’єкт із химерними властивостями, що сут­тєво відрізняється від речовини в звичайних станах та нетриві­ально «сконструйований» природою із стандартних компонентів.

Але Власов залишився в межах суто теоретичного підходу та іс­нування кульових блискавок не пояснив. Знову ж-таки, прогля­даючи ці книги, читач може подумати, що час зупинився й він знайомиться не з дослідженнями другої половини XX століття, а принаймні з працями, створеними на його початку. При цьому ерудиція автора здається дуже вибірковою. Скажімо, відсутність жодного посилання на Джеймса Джинса, що є дуже дивним з огляду на близькість підходів. А може саме тому посилання й від­сутні? Про причини ми вже ніколи не дізнаємось.

У цьому зв’язку характерними є слова Миколи Боголюбова в передмові до книги⁵⁸. Він написав, що рецензенти (їх прізвища відсутні, що не відповідає традиційній практиці радянського кни­говидання в царині фізики) зробили багато зауважень щодо мето­ду, результатів і висновків. Із деякими, за його словами, автор по­годжувався, але зробити корективи не встиг. На відміну від 1946 року скандалу не відбулося, але гіркий осад залишається, про що йтиметься нижче.

Для повноти картини слід указати на інший випадок у тео­рії твердого тіла, а саме, у фізиці чистих металів, коли рівнян­ня теорії пружності слід розглядати з урахуванням внеску від ко­лективізованих електронів металів. На електрони діють коливан­ня кристалічної ґратниці через запроваджений Джоном Барді- ним та Вільямом ШоклР⁹ так званий деформаційний потенціал⁶⁰, а електронний газ впливає на іони ґратниці. Попутно виника­ють макроскопічні електромагнітні поля, зумовлені нерівноваж- ною складовою в функції розподілу електронів по імпульсах, так що необхідно включити в систему рівнянь і рівняння Максвел­ла для поля⁶¹ (теорію, яка розроблена на основі вказаної систе­ми рівнянь, зазвичай називають теорією Сіліна⁶²—КонторовичаД). Виникає принаймні формально аналогія з рівняннями Власова, проте у нього в першому наближенні важкі іони плазми залиша­ються в спокої. В теорії Сіліна—Конторовича є купа пояснень та передбачень, і вона становить типовий приклад модельної сис­теми, яка добре описує складні явища, спрощуючи їх на підставі стислого модельного уявлення про об’єкт, що описується.

В усіх розглянутих вище випадках класичної або квантової плазми вона була квазінейтральною. Оскільки маса має лише один знак і між масивними тілами діє закон притягання Ньюто­на, то рівняння Джинса мають демонструвати розв’язки, зовсім відмінні від рівнянь Власова. Навіть об’єкти дослідження в них різні. Дійсно, розглядати гравітаційну взаємодію між сантиметро­вими порошинками або метровими каменюками було би безглуз­дим, оскільки навіть невеличкий зовнішній налиплий заряд чи так званий «поверхневий диполь», який завжди існує на поверх­ні твердого тіла⁶⁴, зумовлюють сильнішу взаємодію між складови­ми системи, ніж всесвітнє тяжіння. Тому Джинс розглядав вели­чезні зорі, розкидані у Всесвіті, як точкові об’єкти⁶⁵. Ці зорі ви­конували у нього роль молекул Больцмана-Максвелла або плазмо­вих електронів Власова.

У результаті тонких міркувань, виходячи з рівнянь гідроди­наміки⁶⁶, які можна отримати огрубінням⁶⁷ кінетичного підходу Больцмана, Джинс теоретично відкрив нестійкість (яка відтоді но­сить його ім’я) однорідного середовища з гравітаційною взаємо­дією між елементарними складовими відносно фрагментації, тоб­то утворення грудок речовини, її скупчень, із яких, згідно з його думкою, мають згодом формуватися галактики та зорі⁶⁸. З точ­ки зору історії науки надзвичайно цікавим є факт, що насправ­ді гіпотезу (безпосередньо не підкріплену математикою!) про не­стійкість однорідного розподілу речовини внаслідок самогравіта- ції вперше висловив великий Ньютон⁶⁹ в славнозвісному листу­ванні зі священиком, ученим і поетом Річардом Бентлі ⁷⁰. Проте першу конструктивну математичну теорію розвинув саме Джинс. Зазначимо, що в цій космогонічній проблемі виникнення струк­тур теж слід було би аналізувати на підставі загальної теорії від­носності Айнштайна, що й було зроблено Євгеном Ліфшицем¹¹, але для малих швидкостей розвитку просторово обмеженої системи ньютонівська теорія може слугувати непоганим наближенням для розв’язку багатьох задач.

Специфіка нашого нарису не передбачає глибокого занурення в математику. Тому, викладаючи окремі результати Джинса, спирати­мемось головним чином на лише найпростіші якісні міркування⁷².

Отже, в своєму підході Джинс виходив із моделі однорідно­го газового середовища густини р₀, зв’язаного гравітаційними си­лами, яке протидіє спробам гравітації стиснути його в будь-якій точці, оскільки виникає додатковий тиск. Різниця тиску Р всере­дині стиснутого об’єму з радіусом Б, який хоче розширити стис­нутий об’єм, та (меншого за Р) тиску оточення Р' є рушійним чинником спротиву. В розрахунку на одиницю об’єму пружна сила спротиву на його межі з нестиснутим простором становить Р_р = АР/Б = (Р - Р')/Б.

З іншого боку на одиницю об’єму сферичного ущільнення ра­діусу Б діє сила тяжіння:

Тут М — маса ущільнення, О — гравітаційна стала, р₀ — густина газу в ущільненні до процесу стиснення (така ж густина прита­манна газу поза ущільненням), Ар — додаткове збільшення густи­ни в ущільненні. Підставимо в наведену формулу замість маси М її вираз через модифіковану густину:

Тоді з точністю до першого порядку малості отримаємо наступ­ний результат:

Перший доданок у формулі відповідає гальмівній силі, яка од­наково пручається космологічному розширенню всього Всесві­ту⁷³, тобто як речовини всередині ущільнення, так і поза ним.

Навпаки, для великих Л домінують уже гравітаційні сили Л_в. Якщо такі великі скупчення речовини виникли (про джерело по­дібних флуктуацій завчасно писати не будемо), то вони зростають надалі, тобто спостерігається позитивний зворотний зв’язок. Це й є славнозвісна нестабільність Джинса. Для того щоб знайти гра­ничне (критичне) значення неоднорідності, треба прирівняти аб­солютні значення сил притягання та відштовхування. В результа­ті, отримуємо критичний розмір Джинса: припущення, що під час розповсюдження хвилі в середовищі не встигає встановитися рівновага. Інакше замість адіабатичної тре­ба підставити⁷⁴ ізотермічну швидкість звуку, яка має той самий порядок величини⁷⁵.

Отже, якщо виникне флуктуація густини з розміром В < В, то сили внутрішнього тиску переважать, і флуктуація розсмокчить- ся. Якщо ж радіус флуктуації В буде більшим за В,, то ущільнен­ня буде зростати. Певна річ, що лінійна теорія (а ми підсвідомо подумки знаходились саме в лінійному режимі) не може перед­бачити, як саме будуть зростати флуктуації, як утворюватимуть­ся скупчення галактик, галактики, зорі, планети та інші космічні об’єкти. Для цього треба розвинути нелінійну теорію. А ми досі робили тільки оцінки. Теорія є чимось більш складним і багато­рівневим, хоча якісні оцінки займають у ній гідне місце. Проте й результатів вона дає значно більше, ніж елементарні оцінки. Зва­жимо також на те, що оцінки, наведені вище, були зроблені піс­ля створення теорії Джинсом («дотепність на сходах»).

де V— оператор Гамільтона¹⁸, р = р₀ + Ар — повна густина речови­ни (рівноважна плюс збурення).

Його результат на порозі нестійкості збігається з наведеною вище оцінкою. Але, на жаль, під час розв’язання задачі автор був непослідовним, оскільки в початковому однорідному стані р₀ і по­чатковий тиск Р₀ є сталими, а середня швидкість газу (або ріди­ни) в ущільненні г₀ дорівнює нулю. Тоді з рівняння Ейлера випли­ває, що й V9 = 0, а це суперечить рівнянню Пуассона. Дійсно, в його правій частині стоїть джерело потенціалу р = р₀, отже, й гра­вітаційний потенціал є ненульовим. Така непослідовність Джин­са призвела до того, що науковці, які потім розглядали його тео­рію, називали її «шахрайством Джинса» (Jeans swindle)¹⁹. Таким чином, геніальний здогад Ньютона (XVII століття!) перетворився на теорію, створену на основі досить химерної моделі флуктуацій­ного скупчення речовини, оточеного тією ж речовиною та здат­ного на відокремлення й трансформацію. Відтак подібні моделі й відповідні теорії стали нормою в астрофізиці, оскільки експери­менти в цій галузі науки ставити неможливо за визначенням. Але моделі працюють!

Прецінь, насправді ніякого шахрайства в Джинса не було. Він просто інтуїтивно відкинув несуттєве та отримав правильний ре­зультат, який потім і підтвердили ті вчені, які результат покращи­ли та узагальнили. Більше того, «високий суд» нащадків Джин­са повністю виправдав. Наведемо одне з виправдань повністю⁸⁰: «Однак, як ми побачимо в цьому документі [мається на увазі стат­тя, з якої взята ця цитата — ОГ, ВК], таке «формальне виправдан­ня відкидання незбуреного гравітаційного поля» легко отримуєть­ся. Якщо стисло, то труднощі долаються розглядом проблеми в динаміці, бо для визначення рівноваги важливі сили, а не потен­ціали. Як ми покажемо, можна встановити деяку розумну межу з чітко визначеними гравітаційними силами Ньютона, які зника­ють, коли густина маси р₀ є сталою. Ці зникаючі сили рівноваги не випливають з ньютонівського потенціалу, який задовольняє відо­ме рівняння Пуассона для р₀. Проте в цьому ж граничному випад­ку рівняння Пуассона дійсно описує зв’язок між збуреною густи­ною й збуреним ньютонівським потенціалом, що робить безглуз­дим будь-яку потребу постулювати це в ad hoc спосіб». Згадаймо, що й наведена вище проста оцінка довжини Джинса без звертан-

Ч А С Т И Н А V I. Історико-філософський аналіз...

ня до бодай якоїсь формальної схеми як раз базувалася на аналі­зі сил, а не потенціалів (енергій), а тому відразу приводила до на­лежного результату.

Нестійкість Джинса може вигулькнути й у іншому варіанті теорії, а саме, в газі без зіткнень (кінетичний формалізм Больц- мана—Джинса—Власова⁸¹). Припущення про відсутність зіткнень є особливо привабливим з огляду на величезний відсоток темної матерії у Всесвіті⁸². Розрахунки, виконані на основі кінетичного рівняння плюс того самого рівняння Пуассона для гравітаційно­го потенціалу, яке було показано вище, дають для радіуса Джин­са такий самий результат⁸³ з точністю до заміни швидкості зву­ку в' на певну усереднену швидкість молекул (тобто зір у нашому нився (зважте, що ми щойно порівняли два протилежні випадки: домінуючу роль зіткнень та їх повну відсутність!).

Ясна річ, що теоретики не обмежились аналізом нестабіль­ності статичного Всесвіту, оскільки Айнштайном у 1915 році була створена велична загальна теорія відносності⁸⁴, тобто теорія гра­вітації, яка узагальнила, а де треба і підправила не менш велич­ну теорію всесвітнього тяжіння Ньютона. З теорії Айнштайна ви­пливає нова релятивістська космологія, де з’являється можливість нестаціонарного Всесвіту. Проте цікаво, що можна навіть зали­шитися в межах ньютонівського світу⁸⁵, але залучивши до нього розширення простору за певним законом, узгодженим із спосте­реженнями⁸⁶. Виявляється, що тоді формула Джинса теж залиша­ється справедливою.

6.4.