РОЛЬ НАЗВ У МАТЕМАТИЦІ ЯК УТВОРЕННІ ЧИСТОГО РОЗУМУ

Жити в суспільстві та бути незалежним від нього неможливо

(Арістотель та Ленін)

Автори вже майже забули, з якими труднощами вони стикали­ся при вивченні елементарної математики в школі та під час за­своєння різних розділів так званої вищої математики на фізич­ному факультеті Київського університету (1964—1969 роки).

Далі автори в своїй науковій діяльності (1971 — досі) застосо­вували математичні реалії (з точки зору професійних математиків на недостатньо строгому рівні³⁴⁴), які не мають прямої фізичної або візуальної інтерпретації, тобто безпосереднього прямого від­ношення до сформованих у тих же авторів уявлень про форми ди­ференціації матерії та відповідні явища на кшталт надпровідності (ОГ) та форми диференціації наукового знання й пізнання (ВК), але які були конче потрібні для їх наукової праці. Тому вони скеп­тично ставилися до відомого визначення математики Фрідріхом Енгельсом. Він, як добре було відомо всім радянським математи­кам та фахівцям з її філософських питань, стверджував, що «чис­та математика має своїм об’єктом просторові форми та кількіс­ні відношення дійсного світу»³⁴⁵. Автори, певна річ, були знайомі з цим широко розповсюдженим формулюванням, але не крити­кували його, хоча їм під час навчання в університеті були відомі об’єкти вивчення математики, які, поза сумнівом, не вкладалися в прокрустове ложе енгельсівського трактування.

«Виправданням» їхньої невиправданої мовчанки можна вва­жати те, що за радянських часів згадане трактування було де- факто офіційною та єдино можливою точкою зору на математику, її природу та відношення до нематематичних світів. Певною мі­рою воно навіть залишало певній простір для власної математич­ної та філософської думки. Відомо, що математики творчо вико­ристовували тоді цю можливість, про що свідчить доволі високий рівень математики в СРСР³⁴⁶. Були також деякі, обмежені прав­лячою ідеологією можливості й для розвитку філософії математи­ки. Так, трактуючи ці форми та відношення як онтичний базис філософських категорій в їхньому діалектико-матеріалістичному розумінні, певні автори намагалися пояснити універсальність фі­лософського та математичного мислення³⁴⁷. Зокрема, стверджува­лось, що перше осмислює категорії якісно, тоді як друге — кіль­кісно. Зрозуміло, що зараз, спираючись на розроблені уявлення про будову будь-яких систем знання, подібна праця на тему від­ношення математики та філософії мала б бути зовсім іншою³⁴⁸.

Варто додати, що, чесно кажучи, принаймні в університеті та в подальшій науковій роботі автори даного тексту не переймали­ся питаннями про онтичний статус потрібних їм математичних реалій (про які писав Енгельс), розглядаючи їх переважно як зна­ряддя для розв’язання проблем кількісного моделювання фізич­них явищ (ОГ) та якісного моделювання понять і наукових теорій (ВК). Зауважимо, що й їх викладачі з математики та автори книг із математики, які самотужки засвоювали ОГ та ВК, майже не тор­калися питань онтичного статусу математичних реалій. Матема­тичні дисципліни викладалися навіть фізикам-теоретикам сугубо як ефективний, але формальний інструмент для розв’язку фізич­них завдань. Ситуація покращилася з послабленням ідеологічно­го тиску в останнє десятиліття радянської влади, коли стали пе­рекладатися праці західних математиків та фахівців з історії й фі­лософії математики, погляди яких були альтернативними радян­ському канону, що бездумно спирався на застарілу енгельсівську точку зору³⁴⁹.

Зараз багато інформації про різні філософські позиції щодо математики можна знайти в західній літературі, яка доступна в Інтернеті. Введення в пошукову стрічку Google словосполучення «philosophy of mathematics» відгукується більше, ніж двома міль-

4.28. Роль назв у математиці як утворенні чистого розуму йонами посилань. Навіть побіжний критичний аналіз наявних то­чок зору потребує окремого ретельного аналізу, реалізація якого виходить за межі даного розділу. Проте автори визнають, що їх аналіз проблематики назв математичних реалій здійснювався під впливом цієї літератури, з якою вони ознайомилися та яку нама­галися осмислити в світлі виокремлення називних підсистем сис­тем математичного знання.

Таким чином, не будучи професійними математиками, ми не бажаємо глибоко занурюватися в онтичні та методологічні мате­матичні «війни», але будемо намагатися оперувати тим матеріа­лом, щодо важливості та необхідності якого серед математиків іс­нує єдність. Мається на увазі, що які б різні погляди на математи­ку, її природу та специфіку не розділяли математиків, які б про­тилежні філософські позиції вони не займали щодо існування ма­тематичних реалій, першим та необхідним кроком у формуванні уявлень про ці реалії є їхнє іменування, тобто надання їм певних назв. Важливість назв математичних реалій дала Анрі Пуанкаре³⁵⁰ підстави для його визначення математики, як «мистецтва давати ту ж саму назву різним речам»³⁵¹.

Перш, ніж зробити подальші конкретні кроки, слід визначити специфіку нашого підходу, яка полягає у розгляді ролі та функцій назв математичних реалій як елементів називних підсистем сис­тем математичного знання. Цим реаліям, ясна річ, відповідають певні предметні галузі (рис. 4.19).

Рис. 4.19. Взаємозв’язки назв внутрішніх складників системи математичного знання та математичних реалій

4.28.1. Зауваження щодо використаних назв

Згідно з метою даного розділу якимось чином потрібно стисло назвати той продукт, який створюють і вивчають математики.

ні: «ідеї», «поняття», «форми», «концепти», «конструкції», «кон- структи», «об’єкти», «структури», «множини» тощо. На тлі цього різноманіття є безліч назв, які йменують окремі частини загально­го математичного об’єкта. Це такі назви, як «числа», «геометрич­ні фігури», «математичний аналіз», «рівняння», «функції», «про­стори», «числення», «алгебри», «групи», «кільця», «категорії» тощо.

Надалі використовуватимемо загальну назву «математичні реалії» для позначення того, що вивчають математики та що є тією платформою, користуючись якою вони створюють нове знан­ня. Мотивацією такого вибору можна вважати дві причини. По- перше, для математиків вони є реальними предметами пізнання, які створені їх розумом та які постійно змінюються в процесі по­дальшого їхнього уточнення та пізнання. По-друге, математич­ні реалії вивчають саме математики. Певні математичні реалії є складниками предметної галузі відповідної системи математично­го знання. В цьому сенсі такі системи є предметно-специфічними (domain-specific). Так, різного типу числа є складниками предмет­них галузей різних версій теорії чисел, а одновимірні, двовимір­ні та тривимірні геометричні фігури належать до предметної га­лузі геометрії, яка була викладена ще в Початках Евкліда. Зазви­чай припускається, що в першому наближенні у предметній га­лузі має сенс виокремити математичні реалії самі по собі (per se). В такому ж наближенні в предметну галузь атомної фізики вхо­дять лише атоми самі по собі. Тим не менш у подальшому аналізі з’ясовується, що нічого змістовного неможливо сказати про окре­му математичну реалію без залучення її атрибутів, зокрема врахо­вуючи її відношення до інших однотипних реалій.

Але якщо від назв математичних реалій перейти до самих реа­лій, то, як правило, про них доречно висувати твердження, вра­ховуючи відношення між ними. Наприклад, багато чого можна додати про конкретне натуральне число, проаналізувавши його як елемент множини натуральних чисел, а про певний трикут­ник — як елемент множини всіх трикутників.

4.28.2. Чи завжди мають рацію висловлювання видатних математиків про їх науку?

Представники природничих наук вивчають зовнішні матері­альні реалії й перевіряють експериментальним шляхом тверджен­ня про них, отримані за допомогою систем природничого знан­ня. Поза сумнівом, їх думки про творчі процеси дослідження цих реалій є цікавими з точки зору психології, культурології, історії, викладання науки і виховання молодих науковців. Певна річ, що напрочуд цікавими та вельми важливими є й міркування видатних математиків про їхню професійну діяльність та математику взага­лі^{352, 353}. Але такі міркування, на жаль, практично не торкаються проблеми математичних реалій, які вони досліджують.

Відмінність тверджень математиків та природознавців про предмети їх дослідження³⁵⁴ полягає в тому, що внаслідок невизна­ченості онтичного статусу того, що вивчають математики, їх дум­ки про математичну творчість є більш різноманітними та менш визначеними (парадокс, бо математика справедливо претендує на найбільшу точність серед усіх видів людської діяльності!), ніж у природознавців. Треба підкреслити, що там, де математики пе­реходять до математичного трактування задач природничих наук (здебільшого фізики) або інженерних застосувань, вони чітко за­значають предмет дослідження та модельний характер математич­ного підходу до опису цього предмета³⁵⁵. Проте тоді вони звер­тають із «шляхетного» шляху математики на манівці приклад­них проблем, де їх чекає успіх та неабияка слава, але за рахунок утрати «чистоти риз». У цьому зв’язку необхідно заперечити дум­ці³⁵⁶, висловленій відомим російським викладачем фізики Віле- ном Бронфманом у його чудовій книзі: «З іншого боку, найбільш абстрактні, загальні властивості часопростору вивчає математика. Математиками розроблено потужний апарат, який дозволяє по- іншому підходити до моделей, які пропонують фізики. Цей мате­матичний апарат дає можливість глибоко аналізувати моделі та в багатьох випадках приводить до нетривіальних результатів».

У цьому сенсі математичний апарат виконує для фізика- теоретика службову, допоміжну роль, як і навіть найсучасніше, найкраще технічне обладнання для фізика-експериментатора. Ані без першого, ані без другого неможливо обійтися. Математи­ка, яку використовує теоретик, концентрує в собі величезну пра­цю поколінь видатних математиків так само, як вакуумний насос або тунельний мікроскоп є творінням думки й золотих рук со­тень фізиків, хіміків, матеріалознавців і інженерів. Але для інших науковців-користувачів і насос, і теорія груп є лише засобами для фізичних досліджень. Мусимо підкреслити ще раз: коли теоре- тик/експериментатор полишає (звісно, на певний проміжок часу) фізику й створює новий математичний апарат/нове матеріальне устаткування для досліджень, то в першому випадку він стає ма­тематиком, а в другому — фізиком та інженером у іншій галу­зі фізичної науки. Яскравим прикладом видатного ученого, який впродовж блискучої кар’єри поступово перейшов від «чисто­го» математика до лідера славетної мюнхенської школи фізиків- теоретиків, був німецький дослідник Арнольд Зоммерфельд³⁵⁸.

Цікаво зазначити, що плутанина із розмежуванням фізики та математики дуже яскраво виявляється в названій елементарною, але дуже непростій з ідеологічної точки зору галузі «шкільної» ма­тематики, а саме, складанні рівнянь³⁵⁹. Якщо уважно подивити­ся на ці задачі здебільшого побутового змісту, то легко побачити, що вони зачіпають і логіку, і фізику, і хімію. Певна річ, що піс­ля того, як рівняння або система рівнянь складено (складені), на­стає «зірковий час» математики, аби розв’язати ці рівняння. Але весь аналіз результатів (адже трапляються навіть і так звані «не- фізичні» розв’язки!) обов’язково містить і міркування, які вихо­дять за межі математики як такої. Тому й кажуть добрі люди про природничо-математичний склад мислення та створюють фізико- математичні ліцеї. Математика й фізика завжди ідуть поруч, хоча й залишаються різними царинами людської діяльності.

Те, що ми зараз підкреслили, торкнувшись елементарної ма­тематики з її арифметичним та алгебраїчним рівнем обчислень, справедливо й для «вищої», так званої «прикладної математи­ки»³⁶⁰, яку ще зачепимо згодом. Предметною галуззю для неї може бути, наприклад, сукупність машин і механізмів, створених люд­ством, тоді вона називається «теоретичною механікою»³⁶¹, «буді­вельною механікою»³⁶², «опором матеріалів»³⁶³ тощо. Іншим пред­метом досліджень є властивості (атрибути) об’єктів природи, на­приклад, плинність рідин і газів. Тоді прикладна математика на­зивається «аеродинамікою»³⁶⁴ або «гідродинамікою»³⁶⁵. Коли пред­метом досліджень стають інші різноманітні властивості неживої природи, прикладна математика відкидає нав’язану їй традицією сором’язливість і приймає більш притаманну їй назву «теоретич­на фізика». «Вища» прикладна математика відрізняється від сво­єї елементарної сестри, яку вивчають у середній школі, насам­перед тим, що засобами досліджень замість алгебраїчних стають звичайні диференціальні рівняння³⁶⁶, диференціальні рівняння в часткових похідних³⁶⁷, інтегральні рівняння³⁶⁸ тощо. Але принци­повою спільною рисою цих розгалужень прикладної математики можна вважати те, що не абстрактні об’єкти «чистої» математики, а предмети й матеріали, які нас оточують та існують поза нашою свідомістю, є предметною галуззю досліджень. Робочим методом вказаної науки є складання рівнянь: алгебраїчних, диференціаль­них, інтегральних, матричних. Розв’язування цих рівнянь теж не є інтелектуальною працею з абстракціями, а на кожному кроці розв’язки порівнюються з експериментом, всі наближення пере­віряються на предмет збереження фізичного сенсу відповідей на запитання, поставлені при складанні вихідних рівнянь.

Прикрим фактом є те, що в своїх метависловлюваннях про математику як науку та її предметну галузь видатні математики не демонструють доказовість та переконливість, яка їм притаман­на у професійних конкретних атрибутивних твердженнях про ма­тематичні реалії. Така невизначеність стає зрозумілою, якщо взя­ти до уваги нескінченість математичної науки, яка стрімко роз­вивається, особливо в наш час, коли кількість математиків зрос­тає, а комп’ютеризація дуже допомагає математикам створювати нові галузі математики. Крім того, поступово виникає розуміння математичною спільнотою того, що підвалини їх улюбленої науки не є міцними брилами, а становлять ажурну конструкцію, коли­вання якої час від часу призводять до неймовірних струсів у інте­лектуальному сприйнятті проблеми обґрунтування математики³⁶⁹. Те, що деякі визнані математичні авторитети кажуть про так зва­ну математичну інтуїцію³⁷⁰, може бути поширено й на їхні роз­думи про математику. Такі свідчення неможливо перевірити, як і психоаналітичні припущення про існування у свідомості ід, его та суперего³⁷¹. Вони мають пояснювальну силу лише для тих, хто в них вірує.

Багатовікові суперечки стосовно того, що та як вивчають мате­матики, досі не закінчилися формуванням єдиної точки зору. Від­сутні також якісь об’єктивні засоби дослідження процесів, які від­буваються в свідомості математиків (або споживачів математики) під час виготовлення згідно з певним алгоритмом нового знан­ня в цій царині або застосування старого знання з метою прове­дення необхідних операцій (наприклад, обчислень)³⁷². За цих умов інтроспективні думки математиків, як і природознавців, мають суто суб’єктивний характер. Він визначається не лише їх освітою, професійним досвідом, філософськими позиціями, а й їхнім ви­знаним колегами оригінальним внеском в ту чи іншу математичну науку та уявленнями про системи математичного знання.

4.28.3. Самокритичні застереження математиків

Математики часто супроводжують свої думки про математику взагалі та про те, що вони досліджують та/або змінюють, застере­женнями типу «вірю», «вважаю», «думаю». Проте чим більш ви­знаним математичною спільнотою є внесок дослідника в його га­лузь, тим вірогідніше його думки стосовно математики у цілому сприймаються його колегами та невтаємниченою публікою як не­заперечні істини. Утім, догматизації цих висловлювань перешко­джає низка обставин.

Розгляньмо деякі з них. Якщо брати до уваги сучасних мате­матиків, то вони працюють за умов диференціації математики на безліч вузьких дисциплін, що робить їх висловлювання загально­го характеру доволі обмеженими. Як не дивно, але сучасні нечис­ленні універсали з досягненнями в різних математичних дисци­плінах практично не висловлюються про математику в загально­му сенсі, залишаючи робити це філософам математики, які зна­ють складну математику сьогодення доволі поверхово. Можливо через свої надзвичайно широкі інтереси універсалам не вистачає часу на оригінальне розмірковування щодо математики, й вони обмежуються традиційними загальними зауваженнями про зна­чення математики як частини культури, що саме по собі не ви­кликає жодних заперечень. Зокрема, вони вказують на подібність математики до класичної музики та на її роль як постачальника

4.28. Роль назв у математиці як утворенні чистого розуму різних мов для інших наук³⁷³. Крім того, не сприяє визнанню яко­їсь авторитетної позиції як остаточної абсолютної істини те, що практично завжди знаходяться не менш видатні математики, які критикують уявлення про математику і стиль мислення інших ко­лег та подеколи навіть ставлять його під сумнів цілком.

Прикладом є сприйняття способів отримання Анрі Пуанкаре нових оригінальних результатів з боку групи французьких матема­тиків, відомих під псевдонімом Н. Бурбакі. Її представники є при­хильниками формально строгого доведення математичних твер­джень, у той час, як, на їх думку, багато (істинних, що справдило­ся лише згодом!) тверджень Пуанкаре були зроблені за допомогою його розвиненої інтуїції. Наприклад, Жан Дьєдонне, один із заснов­ників цієї групи, аналізуючи піонерську працю Пуанкаре Analysis Situs, в якій закладені засади алгебраїчної топології, писав наступ­не: «У ній, як і в багатьох інших працях, Пуанкаре дав волю сво­їй могутній уяві й своїй надзвичайній «інтуїції», яка лише дуже зрідка зводила його з належного шляху; майже в кожному її роз­ділі є оригінальна ідея. Але нам не слід шукати точних визначень, і, інтерпретуючи контекст, часто доводиться здогадуватися, що він мав на увазі. Для багатьох результатів він просто не дав жод­них доказів, і коли він намагався навести докази, навряд чи хоча б один аргумент не викликає сумнівів. Стаття справді є планом майбутнього розвитку абсолютно нових ідей, кожна з яких вима­гала створення нової техніки, яка б поставила її на міцну осно­ву»³⁷⁴. Ось чому інший відомий математик американець Маршал Стоун казав із сарказмом, що «для Бурбакі Пуанкаре був втілен­ням диявола. Для дослідників хаосу та фракталів Пуанкаре, зви­чайно, є богом на Землі»³⁷⁵.

Цей приклад показує доцільність міркувань про математику не «взагалі», а з урахуванням її об’єктивної диференціації на кон­кретні системи математичного знання. Дійсно, по-перше, Дьєдон­не висловлюється не про математику в цілому, а про окрему ма­тематичну дисципліну (алгебраїчну топологію), неявно припус­каючи існування ще двох інших дисциплін (алгебри та тополо­гії), кожна з яких є сукупністю субдисциплін зі своїми системами алгебраїчного та топологічного знання. По-друге, він звертаєть­ся до запропонованої Пуанкаре системи математичного знан­ня — початкового варіанта системи алгебраїчно-топологічного знання. По-третє, він виокремлює принаймні такі її складники, як засади, ідеї, визначення, аргументи, доведення як вид техніки,

тобто сукупність визнаних та ефективних дій, операцій, методів і процедур. Навіть цих зауважень досить, аби усвідомити, що лише перехід від загальних розмислів про математику до розгляду окре­мих систем математичного знання дає можливість конкретно мір­кувати саме про ці системи, як про фрагмент величезного маси­ву математичних знань.

Підкреслимо, що самі форми наявного та нового математич­ного знання не зводяться до формулювання тверджень про атри­бути математичних реалій³⁷⁶. Ці твердження не можуть бути сфор­мульовані без гіпотез про ці реалії, їх моделі, проблеми в термінах цих моделей, методи вирішення цих проблем тощо. Нове матема­тичне знання теж здобувається в межах наявних форм, яким зго­дом надається раніше невідомий сенс. Процеси породження но­вого знання у формі нових онтичних тверджень відбуваються та­ким чином за допомоги змістовної трансформації вже існуючих складників наявної системи наукового знання. Це тим паче сто­сується й отримання нового знання у межах нової системи знан­ня, яка формується. Тлумачення цих процесів у вигляді дедукції нових тверджень із відомих аксіом за сталими правилами виводу чи із узагальнення індуктивних спостережень є таким же наївним спрощенням, як і погляд на людський організм, обмежуючись ви­ключно його скелетною основою.

Іншими словами, нові твердження про предметну галузь сис­теми математичного знання не виникають випадково, у відриві від цієї системи наукового знання. Згадаймо, що Ньютон вказу­вав на те, що стояв на плечах попередників. Отже й знання про природу досліджуваних предметних галузей отримується у межах та за допомогою вже наявних систем знання та їх трансформа­цій³⁷⁷ або впродовж процесів формування нових систем знання. Ці міркування та висновки підкріплюються результатами прове­деного вище аналізу функціонування і розвитку систем фізично­го й хімічного знання у ході отримання нового знання в цих ца- ринах. Підкреслимо, що майже «непомітну», але незамінну та не­обхідну роль у цих процесах відіграють назви реалій з відповідних предметних галузей і назви складників систем наукового знання.

Авторам могли би дорікнути, що вони виходять із апріорно­го існування систем наукового знання та оминають важливі пи­тання щодо їх виникнення. На це можна відповісти вимушеною «скромністю» авторів, оскільки, на їхню думку, на ці питання, як і на питання про виникнення Всесвіту («Всесвітів»?), життя, лю­дини, мислення тощо, на даний час у людства не існує перекон­ливих, обґрунтованих та загальновизнаних відповідей³⁷⁸.

Надії деяких радянських та пострадянських філософів на­уки на те, що синергетичний підхід, який у домінуючому дис­курсі частини номенклатурних філософів замінив позірну діа­лектичну демагогію, риторику та фразеологію, допоможе у вирі­шенні зазначених питань, виявилися марними. Численні спро­би їх розв’язання перетворилися на жонглювання синергетичною термінологією на традиційні теми індуктивно-дедуктивних або діалектико-схоластичних розмов без якогось змістовного та гли­бокого просування в предмет аналізу заради з’ясування чинни­ків та обставин виникнення систем наукового знання. Зараз такі безплідні теревені фактично зникли із «західного» філософсько- наукового простору, мовби їх і не було. Натомість їхня шалена популярність у пострадянському філософському середовищі свід­чить про вторинне та поверхневе знайомство їх адептів із кон­кретними галузями науки, які вони намагаються інтерпретувати учнівськими міркуваннями³⁷⁹.

Ось чому автори поставили перед собою значно скромніше завдання аналізу вже наявних систем наукового знання. В межах полісистемної реконструкції йдеться лише про дослідження їх бу­дови, змін і взаємозв’язків. Уважаючи математику наукою, точні­ше розгалуженою та постійно зростаючою мережею взаємно прони­каючих математичних наук (всупереч думці Фейнмана!³⁸⁰), ми далі припускаємо, що системи математичного знання є системами нау - кового знання, отже, побудовані так само, як інші системи нау­кового знання. Як і решта таких систем, системи математично­го знання мають відповідні предметні галузі, в межах яких вони, точніше науковці, які опанували системи знання, отримують нові результати. При цьому зміни системи знання приводять до зміни уявлень про її предметну галузь та навпаки. Як і завжди для на­укових систем, важливу роль у царині математики відіграють на­зивні підсистеми.

Якщо підсумувати викладене вище про математику з точки зору називних підсистем її теорій, то можна стверджувати, що специфіка математичної діяльності полягає у тому, що її творці не тільки вигадують назви математичних реалій, а й конструюють уявлення про ці реалії, тобто будують те, що називається мате­матичної реальністю. Наведемо розлогу цитату: «математик ство­рює те, що можна назвати інструментами мислення з метою до­слідження математичної реальності [яку він сам у співпраці з інши­ми математиками побудував та досліджує — курсив О. Г, В. А]. їх не слід плутати з самою математичною реальністю. Десятко­ва система, наприклад, є знайомим інструментом мислення, але було би неправильно надавати [особливе — ОГ, ВК] значення циф­рам, які з’являються в числі... Серед багатьох методів, що є в роз­порядженні математика для вивчення математичної реальності, я особливо думаю про аксіоматизацію. Це дозволяє ставити задачі класифікації для математичних об’єктів, визначених дуже прости­ми умовами. Таким чином відомо, наприклад, як точно визначи­ти список усіх скінченних полів. Скінченне поле — це скінченна множина, забезпечена законом додавання та множення таким чи­ном, що кожне ненульове число має зворотне. Правила додаван­ня і множення такі ж, як і звичайні для додавання і множення ра­ціональних чи дійсних чисел. Можна показати, що для кожного простого числа р і кожного цілого числа п існує одне і лише одне скінченне поле, яке має р^п елементів, і що будь-яке скінченне поле належить до цього списку. Теорема такого роду дає впевне­ність, що певна галузь математики була досліджена в найвіддале- ніших куточках принаймні, що стосується переліку об’єктів — по­вністю досліджена, без матеріальної підтримки»³⁸¹. Не ставлячи під сумнів значення аксіоматичного методу для аналізу сформо­ваних математичних систем знання, все ж зауважимо, що він не є досить ефективним для дослідження процесів їх виникнення й розвитку.

4.28.4. Гасла та досягнення програми аксіоматизації практичних наукових теорій

Квінтесенцією стандартних уявлень математиків та філософів математики є погляд на математичні науки як на царства аксіома­тичних систем знання³⁸². Його прийняття призводить до надзви­чайно обмеженого бачення математики як науки, яку створюють і вивчають математики-професіонали. Воно нав’язує універсальне дедуктивне розуміння математичних систем знання, що базується на системах аксіом. Таке тлумачення не враховує специфіку окре­мих предметних галузей математичних наук.

Запропонована багато десятиліть тому програма аксіоматиза­ції реальних систем математичного знання поки що не реалізова­на в повному обсязі і скоріш за все є недосяжним ідеалом упоряд-

4.28. Роль назв у математиці як утворенні чистого розуму кування, втілення якого в життя є спробою наблизити динамічні, змінювані системи з доволі невизначеними межами застосуван­ня — статичними, незмінними утвореннями. Весь поступ матема­тики в аксіоматичному освітленні приймає дивний відтінок кон­сервативного розмотування переплутаного клубка сталого сукуп­ного математичного знання. В цьому занадто спрощеному вигляді прогрес математики постає як нескінченне рутинне виведення но­вих, раніше невідомих, але імпліцитно притаманних системі твер­джень, виходячи з аксіомної (аналогом якої у природничих теорі­ях є їхні номичні частини) підсистеми аксіоматично-дедуктивної системи знання.

З поля зору прихильників програми аксіоматизації зникають всі творчі аспекти та реальні перипетії процесів породження но­вого математичного знання. Мабуть тому плідно працюючі мате­матики залишають проблему аксіоматизації створених ними сис­тем математичного знання, принаймні в її імперативній формі, на майбутнє. Адже це завдання до вподоби тим їх колегам, які нама­гаються, спираючись на величезний авторитет талановитих засно­вників математичних (і не тільки!) галузей, втілити програму ак- сіоматизації в життя.

Полісистемна реконструкція є більш адекватним епістемоло- гічним відображенням систем математичного знання, ніж типове для значної частини математичної та філософсько-математичної спільнот моделювання будь-якої системи математичного знання як аксіоматично-дедуктивної. Останнє значно спрощує системи математичного знання порівняно з тим, яку структуру вони мають у реальних математичних дисциплінах та субдисциплінах. Зокре­ма, аксіоматично-дедуктивне моделювання відкидає або прихо­вує ті складники цих систем, без яких вони неспроможні проду­кувати нове та раніше непередбачене знання. Підкреслимо, що на змістовному рівні згідно з полісистемною реконструкцією мають враховуватись усі, а не лише аксіоматично-дедуктивні складни­ки системи математичного знання. Але ці системи можуть місти­ти багато непомічених, свого роду «темних», складників, без яких неможливе існування та вдосконалення наявних систем знан­ня. Такі складники деякою мірою аналогічні до невидимої тем­ної матерії, яка визначає існування та еволюцію спостережува­ного Всесвіту³⁸³. Крім того, програма аксіоматизації математи­ки спрямована на побудову «остаточної», закостенілої конструк­ції математики, тоді як полісистемна реконструкція орієнтована

на відображення й аналіз систем математичного знання в тому вигляді, як вони репрезентовані в їх текстових версіях та з ча­сом удосконалюються і розвиваються. Метою останніх є отри­мання нового математичного знання, а не «правильне» обґрунту­вання недосконалих з точки зору програми аксіоматизації наяв­них систем. Спроби виконати цю програму притаманні не лише систематизаторам математичного знання³⁸⁴. Різними варіантами³⁸⁵ програми аксіоматизації рясніє наукова література, як з матема­тики, так і з дотичної до неї філософії³⁸⁶. Поза сумнівом, «аксіо- матизатори» демонструють високу ерудицію та неабияке володін­ня математичною логікою, але їх творчість мало що додає до ро­зуміння сутності та прогресу практики досліджуваної досі загад­кової науки — математики³⁸⁷.

4.28.5. Абрис функціональної дискурсивної реконструкції систем наукового знання

Полісистемна реконструкція виділяє складники реальної «жи­вої» системи наукового знання, яка знаходиться у стані перманент­них змін. Метою реконструкції є опис та пояснення отримання но­вого знання про відповідну предметну галузь, а тому вона харак­теризує атрибути складників; відкриває простір для розгляду роз­витку систем через призму взаємопов’язаних узгоджених змін її складників. Ця реконструкція дає можливість розгляду у термінах складників таких традиційних функцій систем наукового знання як опис, пояснення, розуміння та передбачення явищ, процесів і станів, які асоціюються з реаліями, взятими з її предметної галузі.

Крім того, зазначена реконструкція відкриває можливість ін­терпретації систем наукового знання не лише як засобів опису та пояснення їхніх предметних галузей, а й також як потужних техно­логій мислення про їхні предметні галузі. З’ясовується, що форма­ми буденного мислення, на вивчення яких претендують деякі на­прями змістовної логіки, не вичерпуються всі можливі форми нау­кового мислення. Саме неефективність буденних форм мислення в сфері наукового знання породила застосування математичної мови в системах природничого знання. Якщо вважати поняття форма­ми мислення, то в науковому пізнанні використовуються такі типи понять як поняття моделі, поняття проблеми, поняття процеду­ри тощо. Таким чином, у науковому пізнанні як наукові поняття використовуються всі конститутивні складники системи наукового знання, назви яких входять у назви її підсистем.

З цього ракурсу кожна система наукового знання виглядає роз­виненою мережею узгоджених способів мислення про реалії з її предметної галузі. Наприклад, людина, яка опанували предмети, що вивчаються в загальноосвітній школі, міркує про наочні кіль­кісні атрибути почуттєвих реалій оточення за допомогою чисел з елементарних (так званих «елементарних»!³⁸⁸) систем знання, а про просторові атрибути почуттєвих реалій — в термінах геометрич­них конструкцій з евклідової геометрії. Якісні відмінності між різ­ними предметними галузями, скажімо, макроскопічними та мі­кроскопічними формами диференціації неживої матерії чи таксо­номічними формами біологічного світу, спричиняють виникнен­ня та розвиток адекватних ним систем мислення з гомологічними складниками, які, однак, мають різні змістовні наповнення.

4.28.6. Типи дискурсу в науці

Доцільно виокремити два типи наукового дискурсу в термі­нах систем наукового знання. Перший — це розроблений у пев­ній системі дискурс про її «власну» предметну галузь. Якщо звер­нутися до систем наукового знання, то про рух планет у Соняч­ній системі мислять у поняттях небесної механіки, про спектри атомів — у поняттях результатів оптичних вимірювань та термі­нах розв’язків квантово-механічних рівнянь, про кварки та лепто­ни — в поняттях сучасних моделей елементарних частинок та їх взаємодій. Причому кожна з цих систем наукового знання вико­ристовує відповідні системи математичного знання з притаман­ними ним формами мислення. В такому сенсі науковий дискурс є предметно-орієнтованим використанням дискурсу залучених сис­тем математичного знання. З епістемологічної точки зору кожна система наукового знання задає певне бачення і засоби мислення про її предметну галузь. В літературі з математичного дискурсу та пов’язаного з ним навчання школярів і студентів перевага нада­ється дослідженням цього типу дискурсу³⁸⁹.

Другий тип дискурсу пов’язаний із мисленням про якісь пред­метні галузі за допомогою системи наукового знання, яка має іншу, власну предметну галузь. Прикладами втілення такого «змі­шаного» дискурсу є системи наукового знання з математичної фі­зики, математичної лінгвістики, фізичної хімії, біологічної фізи­ки, фізичної географії тощо. Його реалізує мислення за допомо­гою систем математичного та фізичного знання про інші пред­метні галузі.

4.28.7. Уявна інтерпретація предметних галузей систем математичного знання

Якщо системи природничого знання є системами мислен­ня про матеріальні реалії з їхніх предметних галузей, то про які об’єкти міркують за допомогою систем математичного знання? Що є предметною галуззю (або галузями) математики? Де зна­ходиться предмет дослідження математика, коли про нього ніх­то не думає?

Отже, маємо певне розгалуження. Форми мислення можна або застосовувати для пізнання зовнішніх реалій або за їх допомогою можна досліджувати інші форми мислення. Саме математика ви­окремлюється на тлі інших наук [якщо ми за східноєвропейською традицією вважаємо її за науку (science) та порівнюємо з інши­ми науками] тим, що вона розробляє саме нові потенційні фор­ми мислення для решти наук. Вони після визнання їх легітимності математичною спільнотою самі стають предметами дослідження за допомогою інших нових форм математичного мислення.

Тобто, кожна наявна система математичного знання може бути розглянута з двох боків. З одного боку, вона є системою створених раніше форм мислення, які досліджують інші форми мислення (уявні об’єкти), що складають відповідну предметну га­лузь. З другого боку, ця система є предметною галуззю для іншої системи математичного знання. Найрозвинутішими системами знання, які досліджують математичне знання, є метаматематичні системи знання. Останні, як відомо, не претендують на строгий розгляд всієї математики, а обмежуються математичним моделю­ванням і аналізом деяких «базових» систем математичного знання у вигляді формальних систем.

Таким чином, сучасна метаматематика орієнтована виключ­но на вивчення тих аспектів математики, які пов’язані з орга­нізацією й обґрунтуванням усталеного математичного знання та доведенням деяких метаматематичних тверджень про математи­ку. Остання розщеплена на безліч предметних систем математи­ки знання (від арифметики до симплектичної геометрії, від тео­рії чисел до топології), кожна з яких зазвичай організована як мережа систем математичного знання. Аби подолати дурну не­скінченність, фахівці з метаматематики, по-перше, відволікають­ся від розвитку цих систем та, по-друге, не досліджують кожну з них окремо. Вони дотримуються метагіпотези про можливість ви­окремлення в будь-якій системі математичного знання її кістяка в формі статичної формальної системи³⁹⁰. В такому дусі вивчаються арифметика, теорія множин, алгебра чи геометрія. На цьому ґрун­ті сформульовані деякі загальні метаматематичні твердження про формальні системи (наприклад, теореми Геделя³⁹¹) і введена в ма­тематику проблематика її засад; виникли уявлення про несупереч- ливість та повноту математичних теорій тощо³⁹². Як інструменти дослідження формальних систем у метаматематиці найчастіше за­стосовують математичну логіку та теорію математичних категорій.

Серед відомих нам відповідей на природу математичних ре­алій, на нашу думку, найбільш природною є тлумачення чисел (число є найважливішою математичною реалією та, мабуть, од­нією з найперших) як форм мислення, запропонованого видат­ним німецьким математиком Ріхардом Дедекіндом: «Числа є віль­ними творіннями людського духу і слугують засобом простішого та яснішого розуміння різниці між речами»³⁹³. Якщо стисло, то всі математичні реалії є формами потенційного мислення про відо­мі, а також принципово можливі речі. До цього розуміння ми на­магаємося додати роль та значення назв чисел для конструюван­ня як самих чисел, так і майже всіх інших математичних реалій, принаймні тих, які нам відомі наразі. Тоді система математично­го знання з її епістемологічного боку стає системою мислення про математичні реалії з її предметної галузі, спираючись на їх назви.

Таке розуміння чисел не конкретизує об’єкти, про які мислять у термінах чисел, і в цьому сенсі числа є формами математичного мислення про об’єкти, для яких числа є адекватними характерис­тиками. Використовуючи слушну метафору американського мате­матика й фізика Юджина Вігнера³⁹⁴ про ключі та замки, які від­криваються лише за допомогою підходящих ключів, можна ствер­джувати, що за допомогою певних загальних форм мислення та форм математичного мислення, зокрема, можна мислити лише про адекватні ним нематематичні реалії.

Коли з’являються чи конструюються нові об’єкти пізнання в природничих науках, то можливі дві ситуації. Або для нових об’єктів математики вже заздалегідь розробили адекватні мате­матичні форми мислення про них, або перед математиками встає завдання створити для цих об’єктів раніше не відомі математичні форми мислення. Яскравим прикладом першої ситуації є засто­сування теорії представлень груп³⁹⁵ для опису молекулярних спек­трів³⁹⁶ та спектрів енергетичних рівнів у атомних ядрах³⁹⁷. При­кладом другої ситуації є відкриття³⁹⁸ Вернером Гайзенбергом³⁹⁹ ма­тричної форми квантової механіки⁴⁰⁰, яка фактично ґрунтується на математичній теорії матриць⁴⁰¹. Цікаво, що насправді остання була розроблена в середині XIX століття, задовго до часу створен­ня Гайзенбергом своєї великої теорії, але дізнався він про це⁴⁰² від свого наукового керівника Макса Борна⁴⁰³ тільки після самостій­ного отримання результатів, про які йдеться.

Тлумачення математичних реалій (предметів математичного дослідження) як форм мислення дає певну відповідь на онтичне питання про існування перших. Якщо вони є формами мислен­ня, то вони існують лише тоді, коли вони виникають у свідомості тих, хто їх використовує. Але вивчити форми математичного мис­лення, як і будь-які інші, можливо лише через аналіз відповідних текстів, які репрезентують ці форми. Покажемо це на прикладі форм математичного мислення, пов’язаних з числами.

4.28.8. Чи є прості числа «простими»?

Досліджуючи історію виникнення та розвитку такої матема­тичної реалії як числа, когнітивний фахівець у царині археології Каренлі А. Оверманн⁴⁰⁴ стверджує, що в певному сенсі числа є ма­теріальними. Мається на увазі, що їх назвами та засобами мані­пулювання з ними були та залишаються окремі матеріальні речи: розподілені об’єкти, пальці, одно- та двовимірні форми, такі як камінчики чи абаки, а також письмові позначення у вигляді абет­кових літер, слів і, зрештою, знайомі всім нам індійсько-арабські цифри. Під час шкільного вивчення елементарних уявлень про числа учні за допомогою вчителів фактично так тлумачать чис­ла. Більшість учнів розуміє під числами їх цифрові подання. При­чому в історії математики деякі дотичні до неї філософи ототож­нювали відомі ним числа з їхніми матеріальними назвами та на цьому ґрунті заперечували можливість існування нових типів чи­сел. Прикладами можуть слугувати абсолютизація представлення чисел довжиною матеріальних стрижнів. Виходячи з цього, Рене Декарт вважав негативні числа фальшивими числами, а Готфрід Ляйбніц запитував, як розуміти негативну довжину?⁴⁰⁵ Про запе­речення математичної легітимності уявних чисел Леопардом Ейле- ром дивись далі.

Як би там не було, відомості про числа належать до перших знань, яким навчають у школі. Проте початкове знайомство з чис-

лами формує у дітлахів вкрай поверхневе, фрагментарне, вузько утилітарне та обмежене знання про них. Тому більшість дорослих людей впродовж всього життя переконана в тому, що вивчення назв чисел, десяткової позиційної системи їхнього найменування, таблиці множення, операцій з цілими числами та дробами і прак­тичний досвід дій з множинами речей чи їх частинами є достат­нім для адекватного уявлення про те, чим є числа та які вони ма­ють атрибути. В цілому шкільні рудиментарні відомості про числа (більшість яких до того ж швидко забувається!), породжують на­віть у формально освіченої особи, яка не є професіональним ма­тематиком, ілюзію простоти понять, пов’язаних із числами.

Дійсно, числа є історично первинними математичними сут- ностями (реаліями), які люди виокремили, стали вивчати та за­стосовувати ще у сиву давнину⁴⁰⁶. Не випадково й те, що без пев­них знань про числа неможливо опанувати решту розділів навіть «елементарної» математики (арифметику, геометрію, тригономе­трію, найпростіші алгебраїчні рівняння). Однак давність науки про числа не означає, що поняття про числа є елементарними й простими. Подібні уявлення дуже хибні та практично шкідливі.

Натомість справжня захоплююча, але, на жаль, мало відома широкому загалу історія вчення про числа та зміни уявлень про них супроводжувалася і супроводжуватиметься розширенням і поглибленням отриманих у дитинстві уявлень про числа й усві­домленням різноманітності та складності теорії чисел⁴⁰⁷ (не плу­тати з нумерологією⁴⁰⁸!). Історія науки про числа переконливо по­казує, що є багато різновидів чисел, кожний із них є складним, між ними існують нетривіальні зв’язки, більшість яких відкрива­ється людству лише поступово, а сам поступ теорії чисел є нескін­ченним. Тому створені впродовж віків системи знання про чис­ла безперервно змінюються, відкриваючи нові горизонти для до­сліджень.

Парадоксальним чином головні ознаки будь-яких предметних галузей систем математичного знання, зокрема їх складність, про­стіше визначати як раз на прикладі чисел. Лапідарним розгля­дом цього прикладу ми й обмежимося, залишаючи за лаштунка­ми можливість застосування отриманих результатів міркувань до інших математичних реалій. Це, мабуть, є правильним, оскільки елементарні дослідження чисел є в певному сенсі такими ж по­чатками математики, як і геометрія Евкліда. Про доцільність тра­диційного вивчення арифметики (тобто чисел) як першого розді­лу шкільної математики свідчать невдалі спроби оперти вивчення останньої на теорію множин⁴⁰⁹.

Ілюзія простоти науки про числа аналогічна розгляду (до ство­рення потужних телескопів) галактик лише як ледве помітних не­озброєному оку небесних туманних цяточок. Тлумачення галак­тик як безструктурних астрономічних реалій було зумовлено не їх справжньою природою, а недостатньою роздільною здатністю ін­струментів їхнього спостереження⁴¹⁰. Функції телескопів при ана­лізі систем знання виконують різні їх реконструкції, які теж різ­няться за своєю здатністю «побачити» та розрізнити складники систем знання. Полісистемне бачення чисел у системі знання про них відрізняється від інших бачень тим, що воно не лише розкри­ває складність чисел як об’єктів дослідження й систем знання про числа, а й вказує на складники систем знання про числа.

Ми використовуємо цю реконструкцію систем наукового знан­ня, зокрема їхніх називних підсистем, як інструмент досліджен­ня і самих систем математичного знання (зокрема теорії чисел), і нерозривно пов’язаних з ними предметних галузей (в даному разі чисел)⁴¹¹. Фактично, вона відіграє роль своєрідного потужного ме­тодологічного телескопа, який дає змогу виокремити в системах математичного знання більше складників, ніж звичайно. їх не по­мічають через спрощеність підходів та в кращому випадку тлума­чать кожний окремо, не пов’язуючи між собою. В процесі розгля­ду на основі нашого підходу з’ясовується також, що в конкретно­му випадку чисел (як об’єкта дослідження) можна зробити пев­ні висновки, лише аналізуючи розвиток систем знання про них з точки зору їх назв.

Особлива важливість назв для глибшого розуміння того, чим є числа та інші математичні реалії, пояснюється тим, що в приро­дознавстві можна оперувати з уявленнями про деякі реалії, вико­ристовуючи їхні різні імена («атом», «неподільна частинка речо­вини», «атом Резерфорда») або навіть застосовуючи «хибні» іме­на (на кшталт «кришталевих сфер», по яких рухаються планети, «флогістону», «ефіру» тощо). Проте в математиці такого ступеня розумової свободи не існує. Навпаки, нічого змістовного, точно­го й конкретного не можна сказати про числа, абстрагуючись від їх назв, які відповідають самій суті об’єктів, хоча первісний ви­бір назв є досить довільним. Але після цього вибору назви немов­би таврують числа, що забезпечує саму можливість формулюван­ня тверджень про числа за допомогою їх назв. Часто-густо це має наслідком ототожнення чисел з їх назвами. Натомість у випадку матеріального світу предмети існують поза нашою свідомістю, а їх існування не залежить від наявності або відсутності спостеріга­ча та наданих їм назв. Саме тому математика не є наукою в сен­сі science, тобто природничою наукою, що досліджує зовнішні по від­ношенню до людини матеріальні реалії. Математичні теорії подібні теоріям у природознавстві завдяки наявності в них моделей, які досліджуються за допомогою решти складників теорій. Однак мо­делі природознавчих теорій мають як модельовані реалії зовнішні матеріальні предмети, а математичні теорії — побудовані матема­тиками «за образом і подобою» моделей уявні модельовані реалії. Іншими словами, натуралісти конструюють моделі, спираючись на інформацію про модельовані реалії та їх атрибути, а матема­тики, навпаки, будують модельовані реалії, виходячи з їх моделей та атрибутів моделей. Свобода побудови і трансформації моделей природознавчих теорій обмежена умовами експериментального дослідження природи модельованих реалій, а свобода побудови та трансформації математичних реалій обмежена їх моделями та припустимими перетвореннями цих моделей.

Найпереконливішим свідченням справедливості цього висно­вку є ототожнення індійсько-арабських десяткових назв, тобто цифр, із самими числами. Як не дивно, але це не виправдане ото­тожнення, яке довело погляди непрофесійної спільноти на на­уку до повного примітиву, сприяло та сприяє всебічному прак­тичному використанню чисел у всіх сферах суспільного життя. Ясна річ, що традиційна система назв чисел, яка ґрунтується на десятковій системі числення з індійсько-арабськими цифрами, не є єдино можливою. Адже всі успіхи сучасних інформаційних тех­нологій ґрунтуються на іншій, бінарній системі числення. Але на­зви в бінарній системі зазвичай інтерпретуються не як первісні та адекватні назви чисел, а як зручні для комп’ютерної обробки си­ноніми цифрових назв чисел у десятковій системі.

Стосовно доцільності або недоцільності ототожнення об’єктів та їх назв, то вчергове наголосимо, що в природничих науках це неприпустимо ані по суті, ані з практичної точки зору. Насправ­ді, хіба ми ототожнюємо галактики з їхніми зображеннями, отри­маними за допомогою телескопів? Ці візуальні зображення та їх риси є не об’єктом, а наслідком досліджень, але виступають як емпіричний матеріал для його інтерпретації в термінах існуючих систем астрономічного знання. Без них науковці не мали б на­лежних уявлень про те, що таке галактики, але в них ніколи не виникає сумнів щодо різниці між картинками та сукупністю зір, існування яких дає астрономам можливість отримати ці картинки. А ось математичні реалії часто-густо ототожнюються з їх назвами. Розглянемо більш докладно прояви цієї викладацько-суспільної практики на прикладі чисел.

4.28.9. Переваги та вади ототожнення чисел з їх назвами

«Необережне» поводження з різними назвами чисел іноді при­ховує не лише для широкого загалу, а й для самих математиків те, що числа, позначені одним загальним терміном «число», відрізня­ються ступенем наочності, наявністю чи відсутністю прообразів у почуттєвій та матеріальній дійсності, а також інтуїтивністю, про­стотою розуміння та дій з ними; складністю будови, ступенями ідеалізації та абстрактності, видами запису; сферами застосування (від фінансово-банківської справи до космології) тощо.

Наприклад, звернімося до нехтуванням різниці між числами та їх символічними назвами. У посібнику з математики, автора­ми якого є досвідчені викладачі вищої математики для студен­тів одного з найкращих вищих навчальних закладів колишньо­го СРСР — Московського фізико-технічного інституту зазначе­но: «2. Раціональні числа та їх властивості. Поняття раціонального числа та основні [точніше було б назвати найпростіші — ОГ, ВК] властивості раціональних чисел відомі [в дуже обмеженому обся­зі — ОГ, ВК] з курсу математики для середньої школи. Раціональ­не число можна записати [назву раціонального числа !!! — ОГ, ВК] у вигляді р/д, де р — ціле [назва цілого числа !!! — ОГ, ВК], а д — натуральне число [назва натурального числа!!! — ОГ, ВК]. Зокре­ма, будь-яке ціле число можна записати у вигляді р = р/1. Напри­клад, 0 = 0/1, 1 = 1/1»⁴¹². Натомість треба було би вказати, що назву раціонального числа можливо записати у вигляді р/д, де р — на­зва деякого цілого числа, а д — назва деякого натурального числа.

Тут із самого початку числа ототожнюються з їхніми символь­ними записами. За рекомендацію Джона Россера⁴¹³, щоби не плу­тати числа та їх назви, доречно назви чисел брати в лапки. Про­те, як не дивно, таке впровадження в практику утруднювало б ви­конання навіть простіших дії з числами. Коротше кажучи, праг­матика перемогла (звісно, ми не впевнені, що автори вказано­го вище підручника розуміли, що вони спрощують ситуацію і за­тьмарюють розуміння студентами свого предмета) та приховує онтологічне питання про те, де та як існують числа. Відповідь: «на папері» означала б ототожнення чисел із послідовністю дру­карських чи рукописних знаків, як це й стверджують деякі мате­матики та філософи математики.

Аналогічне ототожнення в масовій свідомості чисел з їх наз­вами в формі скінчених чи нескінчених комбінацій арабських/ індійських десяти цифр має майже універсальний характер. Ви­кладаючи багато років філософію фізики для магістрів НаУКМА, майбутніх фізиків-теоретиків, один із авторів (ВК) провокатив- но просив слухачів, які достатньо глибоко вивчали різні розді­ли математики, написати в зошитах будь-яке число. Переважна більшість писала певну комбінацію цифр. Хоча після демонстра­ції певного здивування на чолі викладача та нетривалого обго­ворення всі приходили до висновку, що числа та їхні цифрові назви пов’язані, але все ж-таки є різними речами. Проте все, що відомо про числа, їх атрибути, різновиди та перетворення, отри­мується допустимими маніпуляціями з цифровими назвами (по­значками) чисел.

Ототожнення чисел з їх цифровим записом пояснюється ма­лою (фактично ніякою!) цінністю для працюючих математиків та дотичних до вживання математики нематематиків онтичного знан­ня про те, що таке числа самі по собі в разі застосування чисел як інструментів для виконання певних практичних дій з числа­ми. Йдеться про прагматичну зручність проведення арифметич­них дій, якщо числа задані через свої записи у десятковій системі числення. Натомість використання римської системи запису чи­сел (яка досі залишається застарілою, але вишуканою альтернати­вою, відомою вузькому колу інтелектуалів) робить вкрай складни­ми найпростіші операції з великими числами, не кажучи вже про операції типу добування кореня.

Як відомо, сучасну «цифрово-символічну» абетку для найме­нування чисел і дій з ними утворюють цифри 0, 1,..., 9, деякі символічні знаки «,», «/», «^», «-» тощо, індивідуальні символічні назви типу «р» та «е» тощо. Підмножиною цієї абетки є цифрова абетка, яка складається лише з десяти індійсько-арабських цифр. Застосування абетки регулюється конвенціями на кшталт вико­ристання горизонтальних і скісних рисок або індексів для імену­вання дробових та різноманітних особливих чисел.

Одним із правил побудови слів мови, якою йменують чис­ла, є наступне. Якщо А — вираз, який іменує деяке, відмінне від нуля число, і а є елементом цифрової абетки, то вирази Аа й аА також іменують певні числа. Крім того, кожна з літер цифрово- символічної абетки іменує деяке число. Тобто тут постулюється однозначна взаємна відповідність між числами та їхніми цифрово- символічними назвами. Кожному дійсному числу відповідає його однозначна назва у формі його скінченого чи нескінченого циф­рового десяткового запису, а кожному такому запису однозначно відповідає певне дійсне число.

Зазначимо, що з цифрових назв цілих чисел очевидні лише деякі їх властивості типу парності та непарносгі. Спираючись на такі назви, теорія чисел намагається визначити інші закономір­ності, якім підлягає розподіл чисел. Найвідомішою з таких зако­номірностей є гіпотеза про кількість простих чисел, менших зада­ного цілого числа, яку сформулював німецький математик Берн­гард Ріман⁴¹⁴. Зауважимо, що алгоритмічне та автоматичне, ефек­тивне з точки зору виконання дій з дійсними числами (включно з цілими, дробовими, раціональними та ірраціональними), а рад­ше, дій з їх назвами у вигляді послідовностей цифр, робить об­говорювання онтичного статусу чисел зайвим з практичної точки зору. Це стосується як математиків, так і не математиків, які ані крихти не нервуються з приводу осмислення філософських підва­лин процесів розв’язку задач або отримання ними нового знання в цій царині. Тому ці користувачі зі зневагою ставляться до філо­софів математики, які намагаються залучити їх до глибшого розу­міння свого предмета⁴¹⁵.

Дуже поширеною тенденцією є також ототожнення інших, значно складніших математичних реалій з їх назвами або безплід­ні, на наш погляд, пошуки місця⁴¹⁶, де реалії існують, незалежно від свідомості, текстів та комунікацій людини, тобто поза створе­ним людством третім світом об’єктивного знання⁴¹⁷. Такі пошуки є такими ж недоречними, як пошуки в матеріальному світі неза­лежного від людини та мови існування слів буденної мови, за до­помогою яких описується на донауковому рівні наш Всесвіт.

4.27.10. Роль назв чисел у розвитку уявлень про числа

Як відомо, цілі числа та деякі операції з ними мали й мають (але не зводяться до!) наочні речові аналоги, що допомагає за­своїти математику в початковій школі. Операції додавання цілих чисел відповідають практичному об’єднанню предметів, які мо­жуть бути кількісно позначені цілими числами. В реальному сві­ті можна ділити на частини деякі почуттєві речі, що асоціюєть­ся з операцією ділення якогось цілого числа. Це в природний спосіб впроваджує в обіг дробові числа. Але вже при застосуван­ні операції віднімання виникають від’ємні числа, які спочатку не мали інтерпретації в світі почуттєвих реалій⁴¹⁸. Вона з’явилася, коли від’ємні числа стали тлумачитися як борг, який можна ві­добразити цілими та дробовими числами. Раціональні числа мали прообразами результати вимірювання розмірів (довжини, площі та об’єму) почуттєвих речей. Останнім типом числа, який можна було асоціювати з почуттєвими речами та діями з ними, були ір­раціональні числа, уявлення про які виникло під час спроб розра­хувати довжину гіпотенузи прямокутного трикутника. Виникнен­ня уявлень про нові види чисел було пов’язане зі застосуванням до назв старих чисел операцій, що породжували назви, яким не було відповідників у світі цих старих чисел. З плином часу мате­матики робили висновки, що потрібно додавати до числового сві­ту нові й нові типи чисел. Таким чином, нові числа конструюва­лися (як часто кажуть, «відкривалися», використовуючи не зовсім правильну аналогію з відкриттям матеріальних реалій) за допомо­гою розширення відомих операцій зі старими числами.

Підсумуємо викладене вище. Результат виконання операції до­давання цілих чисел має результатом «нові» цілі числа, тоді як ви­конання операцій віднімання призводить до конструювання «но­вих» негативних чисел⁴¹⁹; результат виконання операції ділення приводить до конструювання «нових» раціональних чисел; резуль­тат операції добування кореня з позитивних чисел — до «нових» ірраціональних чисел, а кореня з негативних чисел — до «нових» комплексних чисел. Спочатку перелічені операції, за винятком першої, трактувалися лише як безглузді дії з назвами натуральних чисел й лише з часом символи, отриманні внаслідок виконання з ними вказаних операцій, стали тлумачитися як позначення, від­повідно, негативних раціональних, ірраціональних та комплекс­них чисел⁴²⁰. Із введенням нових операцій над назвами чисел, що визнаються на певному етапі розвитку математики як назви легі­тимних математичних реалій, відбувається конструювання із вже «звичних» назв чисел нових назв, які з часом починають тлумачи­тися як позначки нових типів чисел, що мають з точки зору сучас­ників процесу пізнання більш абстрактний характер, ніж попере­дні «звичайні» числа. Якщо почати з позитивних цілих (натураль­них) чисел, то маємо такий ланцюжок, який породжується маніпу­ляціями зі «старими» числами за допомогою введення нових опе­рацій з ними. На цих видах чисел та операцій з ними, як відомо, не закінчилася побудова світу чисел. Можна згадати хоча би вве­дення нескінченних множин та операцій з ними⁴²¹.

Чим більшою кількістю операцій із раніше відомими числа­ми володіє особа, тим глибшим та більш деталізованим є її уяв­лення про числа, тобто про її числовий всесвіт. Історія матема­тики яскраво свідчить про труднощі, з якими неминуче стика­лися математики в своїх іноді плідних, а іноді невдалих спробах розширення цього універсуму. За приклад можуть слугувати дис­кусії стосовно залучення як легітимних членів всього числово­го всесвіту таких кандидатур, як ірраціональні й комплексні числа, кватерніони, нескінченно малі та нескінченно великі (трансфініт- ні) числа⁴²². Навіть великий швейцарський математик Леонард Ей- лер⁴²³ не вважав уявні (та пов’язані з ними комплексні) числа за легітимний вид чисел, не знаходячи їм місце на числовій осі: «І оскільки всі числа, які можливо уявити, є більшими або менши­ми за 0, або дорівнюють нулеві, то очевидно, що ми не можемо розташувати квадратний корінь із від’ємного числа серед можли­вих чисел, а тому ми маємо сказати, що це неможлива величина. Таким чином, ми прийшли до ідеї чисел, які за їх природою є не­можливими; і тому їх зазвичай називають уявними величинами, оскільки вони існують лише в уяві. Усі такі вирази, як ^-1, ^-2, ^-3, ^-4 тощо, є неможливими або уявними числами, оскільки вони представляють корені від’ємних величин; і щодо таких чисел можемо насправді стверджувати, що вони не є нічим, ні «більшим за ніщо», ні «меншим за ніщо»; це з впевненістю робить їх уявни­ми або неможливими»⁴²⁴.

Сарказм долі полягає в тому, що всі числа є «уявними» в ейлерівському сенсі. Хоча, як показав розвиток природничих наук, уявні числа теж можна пов’язати з нематематичними реалі­ями⁴²⁵ (рис. 4.20).

Ділення знаходження коріння з цілих та раціональних чисел

ф ф

цілі числа раціональні числа ірраціональні числа............................

Рис. 4.20. Діаграма продукування «нових» чисел зі «старих»

Читачу, обізнаному з комплексними числами, пропонуєть­ся побудувати аналогічну діаграму, яка відображає процес поро­дження уявлень про комплексні числа. В світлі зазначеного можна навіть стверджувати, що первинні уявлення про нові числа вини­кають як наслідок оперування за допомогою визнаних легітимни­ми дій із назвами відомих чисел. Зауважимо, що системи знань про числа можна вивчати на базі інших систем математичного знання, як це має місце у метаматематиці, яка розглядається як окрема математична наука. Своєю чергою, спроби деяких нату­ралістів аналізувати їх системи наукового знання подібним чи­ном оцінюються більшістю їх колег як марна та некорисна для самої науки філософська справа. Дійсно, з одного боку, немож­ливо дослідження певної системи біологічного знання методами іншої системи біологічного знання, тобто методами самої біоло­гії. З іншого боку, відсутність адекватних уявлень про філософію науки, їх неякісне абстрактне викладання не дає змоги науков­цям розглядати філософію науки як арсенал усвідомлення засо­бів та методів систем знання, які вони будують, удосконалюють та застосовують.

Певним чином організовані ланцюжки назв математичних ре­алій, з яких складається текстове подання системи математично­го знання, слугують своєрідними люстерками, які дають уявлення про ефемерне, але об’єктивне у сенсі інтерсуб’єктивності, мен­тальне існування математичних реалій, які позначаються цією су­купністю назв. Приблизно в такий же спосіб, перебуваючи в теа­трі, ми сприймаємо акторів не як певних реальних осіб, а (за умо­ви справжньої акторської майстерності) як описаних у текстовому сценарії персонажів⁴²⁶. Справжній витвір мистецтва «змушує» нас ставитися до «закодованої» в ньому реальності як такої, що існує поруч з матеріальною дійсністю, та, головне, несе нам заздалегідь приготовану, глибоко продуману інформацію про ту сферу дій­сності, яку хотіли репрезентувати драматург і режисер. У певно­му сенсі деякі персонажі видатних літературних творів відомі нам (лише тим, хто читає книжки) значно краще⁴²⁷, ніж оточуючі нас живі особистості, які, навпаки, дуже часто приховують свої справ­жні наміри та характери. Досягається це завдяки розкриттю пись­менником внутрішнього світу його героїв і внутрішніх мотивів їх поведінки. Натомість ми судимо про знайомих нам людей пере­важно на підставі їх дій та власних слів, які можуть легко ввести в оману. Наприклад, так зазвичай діють брехливі політики.

Аналогічно «алхімія» застосування математичних реалій при описі матеріальних предметів дає нам можливість заглянути за «лаштунки» відомих нам емпіричних проявів матеріальних пред­метів. У цьому сенсі математика необхідна науці та культурі⁴²⁸ ана­логічно тому, як мистецтво вибудовує фундамент загальної куль­тури суспільства.

4.28.11. Предметні галузі систем математичного знання

Кожна окрема система математичного знання має відповідну для неї предметну галузь, про яку ця система, точніше математи­ки, які опанували цю систему, формулюють твердження. Фор­мами існування предметної галузі (або підмножини математич­ного всесвіту⁴²⁹) певної системи математичного знання є, як пра­вило, сукупність математичних реалій⁴³⁰. Вони є реальними для математиків (!!!) у тому ж сенсі, в якому для читача або літерату­рознавця існують персонажі художнього твору. Вигадані персо­нажі мешкають не в людському довкіллі, а у створеному талано­витим митцем культурному світі, який має лише опосередковане відношення до конкретних людей та обставин їхнього буття. Для «оживлення» персонажів у свідомості читача інформація про них має бути передана в якійсь текстовій формі — записаному міфі, оповіданні чи романі. Проте обмірковування людиною оповідань про цей придуманий світ може допомогти їй дізнатися більше про себе, суспільне буття та його історію, породжує своєрідні стерео­типні форми мислення про себе та інших людей. Яскравим при­кладом грандіозного впливу літературних творів та їх героїв на мільйони живих людей слугують міфи Стародавньої Греції, Ста­рий і Новий Заповіти, Коран, із яких черпають натхнення і ори­гінальні письменники впродовж тисячоліть⁴³¹.

Очевидно, що персонажі, з одного боку, не існують поза чи­тання, запам’ятовування та усвідомлення сторінок відповідних художніх творів, а з іншого, після текстового оприлюднення тво­рів продовжують «жити» на цих сторінках навіть після фізичної кончини авторів, які вигадали персонажів силою своєї уяви. Але є ще третій аспект проблеми, який полягає в тому, що для «життя- буття» персонажів на додаток до письменника, видавця та друка­ря необхідна ще наявність третіх осіб, які читають та занурюють­ся в ці творі. Відомо, що після їх оприлюднення зміст та частина персонажів «репрезентуються» в інший спосіб: у театральних ви­ставах, кінематографічних та телевізійних стрічках, навіть на ба­летній сцені. Вони стають своєрідними мемами суспільної сві­домості, які вбачаються художнім утіленням певних (найчастіше бажаних) рис реальних людей, зразками для їх поведінки. Існує і зворотна тенденція, коли про «візуальні» персонажі в народі ви­никають літературні тексти різного штибу, наприклад анекдоти, що особливо притаманно недемократичним суспільствам, де під­пис під коментарями становить небезпеку для життя і здоров’я⁴³².

Є ще декілька схожих рис художнього твору та системи ма­тематичного знання. Хоча деякі літературні перлини на кшталт «Наодинці з собою» Марка Аврелія⁴³³ чи «Сповіді» Августинб⁴³⁴ опи­сують думки та почуття їх авторів, внутрішні мотиви їхньої пове­дінки, але водночас вони торкаються й зовнішніх обставин життя героїв, людського оточення, політичних і військових подій у кра­їнах, де мешкали або мандрували автори. Аналогічним чином по­вне «розкриття» математичних реалій можливо лише у відповід­ній системі математичного знання із залученням їх зв’язку з ін­шими складниками системи. Можна навіть стверджувати, що ма­тематичні реалії зупиняють своє повнокровне буття, коли їх назви витягують із системи математичного знання та їх самих розгляда­ють за межами їхньої предметної галузі. В такому разі математич­ні реалії стають своїми своєрідними муляжами, про які переваж­на більшість нематематиків в найкращому випадку лише чула їх назви та має деякі уривчасті, рудиментарні, не систематизовані, а часом і неправильні відомості. Зокрема, це стосується теорії ймо­вірності, в побуті часто-густо міфологізованої та перекрученої⁴³⁵.

Існує й певна відмінність художніх творів від систем матема­тичного знання з точки зору зворотного впливу користувачів на споживану творчість. Вона полягає в тому, що, за замовчуванням, читач не може втручатися в перебіг життя літературних персона­жів, тоді як побудована одним математиком чи їх групою систе­ма математичного знання ніби відверто закликає до «втручання» в неї інших колег. Як вже зазначалось, до «переробки» аж до не­впізнанності сюжетів здатні також у випадку переробки літератур­них творів для сцени та кінематографу, але тоді втрачаються певні смисли, чого з математикою статися не може, якщо інтерес спо­живача є пов’язаним саме з математикою, а не з іншими, далеки­ми від систем знань речами. Інакше відбувається пряме знущання над системами математичного знання, що інколи виконують про- владні та кон’юнктурні філософи⁴³⁶.

З нашої точки зору, математичні реалії є умовними в тому ж сенсі, в якому є вигаданими персонажі літературних творів. Але варто зазначити, що персонажі не існують без літературних праць, де вони «виникли». Деякі персонажі мають життєві прототипи, так що їх опис має підкорюватися певним закономірностям, як писав французький поет та літературознавець Нікола Буало⁴¹. Ви­гадані герої можуть відтіняти, підкреслювати та пояснювати дії реальних осіб і навіть впроваджуватись у суспільство як зразки поведінки та приклади для наслідування (король Артур⁴³⁸ та Пав­ло Корчагін⁴³⁹). Але звідти аж ніяк не випливає, що вони існують у тому ж світі, що й матеріальні реалії, які досліджують природни­чі науки. Тут і з’являється досить очевидна, хоча, як завжди має місце при запровадженні порівнянь⁴⁴⁰, неповна аналогія між літе­ратурною та математичною творчістю.

Постановка питання про існування матеріальних реалій поза системами природничого знання про них має сенс, але знання про них теж існує лише у відповідних системах знання. Проте по­становка питання про існування певної математичної реалії поза системами знання про неї є принаймні дискусійною. Відтак, мір­кування про якесь окреме існування цієї реалії поза системою знання теж є дискусійним та не може бути підтверджено експе­риментальним шляхом. Ось чому це питання можна трансфор­мувати в питання про те, як і де існують системи математично­го знання? Які їхні складники? Яка їх роль у змінах систем мате­матичного знання, тобто у змінах уявлень про математичні реа­лії? Коротше, слід визначити, як і де існують системи математич­ного знання.

4.28.12. Деякі тлумачення взятих окремо математичних реалій

Щодо існування математичних реалій є дві полярні точки зору: (1) реалії існують незалежно від математиків, які їх відкри­вають, (2) вони не існують без математиків та споживачів мате­матики, які їх, відповідно, створюють та використовують у пізна­вальній діяльності. Автори дотримуються другої точки зору й на­магаються аргументувати на її користь, звернувши увагу на роль математичних назв у конституюванні позначених ними реалій. Висловлюючись афористично та в дусі Апокаліпсису (Апокаліп­сисів?⁴⁴¹), вважаємо, що деякі вироби матеріальної культури за­лишаться, якщо зникне людство або воно забуде їх назви. З ма­тематичними реаліями станеться не так. Вони зникнуть не лише з можливою загибеллю людства (не буде кому мислити та засто­совувати побудовані математиками форми мислення), а й у разі зникнення його освіченої частини з елітним ядром математиків. Тільки члени кількісно невеликої спільноти, яка завдяки своїй професійній діяльності знає ці назви та використовує їх як по­значення вигаданих математиками форм мислення, є втаємниче­ними та здатними до подальшого використання цих форм у піз­навальній та практичній діяльності. Однак далеко не всі вигада­ні математичні форми мислення застосовуються у мисленні про світ, суспільство та людину. А ті форми, які би були ефективними при пізнанні суспільства та людини, мабуть, ще не створені. Пи­тання про створення нашої математики позаземним розумом або про абстрактну можливість побудови зовсім іншої, ніж наша ма­тематика, залишаємо відкритим.Щоб там не було, але фактом за­лишається те, що у математиків відсутня загальноприйнята точка зору на онтичний статус того матеріалу, який вони досліджують. Це так, хоча на перший погляд можна було б очікувати, що вони, будучи науковцями із непереборним потягом до побудови точних та строгих систем знання, мають узгодити і виробити спільне ро­зуміння того, що саме вони вивчають та про що йдеться в створе­них ними системах знання.

Запропоновано принаймні десять відповідей на таким чином сформульоване онтичне запитання, кожна з яких має аспекти, які викликають несприйняття та критичні зауваження з боку при­хильників альтернативних відповідей. Перерахуємо їх⁴⁴².

Математичні реалії (математичні об’єкти у термінології італій­ського філософа Карло Целуччі) — це:

■ Самостійно існуючі сутності

■ Абстракції

■ Логічні конструкції

■ Спрощення

■ Ментальні конструкції

■ Структури

■ Вигадки

■ Ідеалізації почуттєвих речей

■ Ідеалізації операцій

Целуччі вказує на деякі недоліки цих відповідей та пропонує в межах стандартного формулювання онтичного питання евристич­не розуміння математичних реалій як гіпотез, корисних для ма­тематики та її розвитку, а також для застосування поза математи­кою. Але варто зауважити, що згідно із запропонованим ним ев­ристичним розумінням науки, взагалі, та математики⁴⁴³, зокрема, випливає, що при виникненні гіпотези теж не існують автономно від їх творця та стають відомими іншим математикам лише після свого текстового оприлюднення.

Незважаючи на різне розуміння онтичного статусу математич­них реалій, засновники та адепти окремих відповідей здатні фор­мулювати твердження про ці реалії та їх атрибути. Ці тверджен­ня отримуються в межах відповідних систем знання про ці реалії. Тому є сенс розглядати онтичне питання, спираючись на систе­ми математичного знання, а не на філософські вподобання авто­рів різних відповідей на нього.

Осмислюючи статус математичних об’єктів дослідження, муси­мо визнати, що в цьому разі ми стоїмо на хиткому ґрунті, не маю­чи можливості спертися на експеримент, на практику, на відміну від ситуації з філософією природознавства. Направду, коли нату­ралісти досліджують природні реалії, вони апріорі визнають їхнє об’єктивне існування та не переймаються питанням про модус цього існування. Хіба що зараз, унаслідок виникнення концепції мультісвіту (Multiverse) стала осмисленою проблема можливого іс­нування в інших, ніж наш, світах природних реалій з невідоми­ми нам атрибутами⁴⁴⁴. Більше того, якщо справдиться гіпотеза про зміну з часом фізичних констант⁴⁴⁵, від чого радикально зміниться весь Всесвіт (згадаймо, хоча б, антропний принцип!⁴⁴⁶), то філо­софія природничих наук буде змушена якось проінтерпретувати й цю руйнацію підвалин. Натомість в царині математики, надаючи різні відповіді на запитання про модус існування чисел, матриць, функцій тощо, математики вже досить давно стикнулися з мож­ливістю існування різних математичних світів або універсумів.

Утім, математичні твердження як складники наукових текстів, написаних адептом однієї із наведених вище відповідей, зазвичай визнаються як обґрунтовані математичні істини також прибічни­ками інших відповідей. Чому це можливо? Чи не свідчить поді­бний онтичний плюралізм щодо предмета вивчення математикою про непринциповість або надмірність онтичного питання для ма­тематики, її розвитку та усвідомлення? Чи не був правий тоді ще молодий, а згодом всесвітньо відомий англійський математик і філософ Бертран Расселл⁴⁴⁷, який стверджував, що «математику можна визначити як предмет, в якому ми ніколи не знаємо про що йдеться та чи правдою є те, про що ми так кажемо»⁴⁴⁸. Фактич­но він розв’язав онтологічне питання твердженням про його без­глуздість на кшталт того, як великий розбишака Олександр Маке­донський розв’язав Гордіїв вузол, просто розрубавши його⁴⁴⁹.

Але скажімо відверто, що висловлене Расселлом твердження про те, що математики нічого не тямлять у своїй науці, а про іс­нування предметних галузей сконструйованих ними систем мате­матичного знання нічого не можна стверджувати, суперечить на­шій освіті та досвіду. Дійсно, майже п’ятдесят років ми без ва­гань, але не без успіхів, використовуємо побудовані математика­ми конструкції в таких різних науках як теоретична фізика (це стосується, наприклад, математичного аналізу, теорії диференці­альних і інтегральних рівнянь) та філософія науки (переважно ло­гічні структури та різні теорії множин). Доводиться визнати, що це виглядає як агдитепШт ад йотіпет, але всі інші відомі нам від­повіді ґрунтуються на такій же крихкій основі, причому їх автори критично не розглядають підстави для своїх відповідей, трактую­чи останні як остаточні та безсумнівні.

4.28.13. Математичні реалії та їх назви

В контексті нашого дискурсу важливим та принциповим є проводити розрізнення між реаліями та їх назвами. Воно свідо­мо чи несвідомо не враховується і залишається непомітним, як ми зазначали вище, навіть авторам університетських підручників з математики, не кажучи вже про широкий загал. Парадоксаль­ним чином неусвідомленість цієї різниці дає можливість достат­ньо ефективно та швидко використовувати математичні реалії в інших науках, техніці та буденному житті, не замислюючись над їхнім онтичним статусом. Мовні, тобто у вигляді знаків, реалізо­ваних на певних матеріальних носіях, або ментальні, тобто у фор­мі гіпотетичних когнітивних структур свідомості, назви матема­тичних реалій немовби нерозривно приклеюються до уявних ма­тематичних реалій. Це дає змогу оперувати з назвами останніх за узгодженими професійною спільнотою правилами, а потім вважа­ти, що отримані результати стосуються й самих реалій, які позна­чаються теж назвами, але новими⁴⁵⁰.

Щодо почуттєвих речових реалій буденного життя та непо- чуттєвих матеріальних реалій, які досліджують природничі науки, то в межах реалістичного (матеріалістичного) підходу їх існуван­ня відбувається поза людиною та її свідомістю. Людина має при­стосовуватися до цієї «сірої» дійсності, прикрої для деяких при­хильників ідеалістичних безплідних вивертів, згідно з якими елек­трон, з одного боку, є дуже розумним, а з другого — зникає, коли його не досліджують (грубо кажучи, коли не дивляться на нього). Якщо дослідник не зважає на існування реальних речей, то він у своїх діях буде нездатним до їх використання для потреб людства, а особисто може потрапити в скрутну ситуацію⁴⁵¹. Тому справжній науковець свідомо чи підсвідомо ніколи не буде плутати дослі­джувану реалію з її назвою. Як ми бачимо та як підкреслювалось у наведеному вище аналізі, в математиці це не так, але на диво не надто перешкоджає практичній діяльності математиків та впрова­дженні математичної науки в життя, в практику. Проте з методо­логічної точки зору питання про онтичний статус математичних реалій є важливим.

4.28.14. Матеріальність назв та ментальність позначених ними математичних реалій

Якщо зосередитись та замислитись, то стане ясним, що на­зви математичних реалій та їх описи існують саме в матеріаль­ному світі, хоча й у текстовій формі або в іншій знаковій формі на матеріальних носіях інформації. Назви є почуттєвими посе­редниками між свідомістю людей, точніше свідомістю спеціально навчених осіб, та математичними реаліями, які описуються сис­темами математичного знання. Загальними усталеними та мовби «природними» назвами математичних реалій (чисел, геометрич­них плоских та багатовимірних фігур, рівнянь, функцій, множин, багатовимірних просторів, інтегралів, рядів, матриць, тензорів тощо) є «математичні об’єкти». Зазвичай для позначення мате­матичних реалій використовують їх назви в лапках. Так, числа як математичні реалії позначаються однойменною назвою «число». Самі системи математичного знання мають всі підсистеми систем наукового знання, які теж представлені в текстовій формі.

Ця лінгвістична конвенція, коли заради зручності розуміння у тексті, який інформує про числа та їх атрибути, усуваються лап­ки, має певні далекосяжні онтичні наслідки. Математичні реа­лії або ототожнюються зі своїми назвами (математичний номіна­лізм⁴⁵²), або постулюється їхнє незалежне існування поза матері­альним світом (математичний реалізм чи платонізм⁴⁵³), або в ство­реному людиною штучному соціальному текстовому світі (мате­матичний конструктивізм⁴⁵⁴), або, взагалі, відкидається питан­ня про онтичний статус математичних реалій, які тлумачаться як зручні інструменти (математичний інструменталізм⁴⁵⁵) чи продук­ти людської інтуїції⁴⁵⁶.

Ми чесно визнаємо, що наше розуміння онтичної сутності ма­тематичних реалій є певним синтезом перерахованих вище пози­цій. Від математичного номіналізму ми взяли підкреслення ролі назв математичних реалій, не ототожнюючи при цьому реалії та їх назви; від математичного реалізму — ідею існування матема­тичних реалій у так званому «третьому світі», тобто у текстах, які складаються з назв математичних реалій та назв інших складни­ків систем математичного знання; від математичного конструкти­візму — уявлення про існування математичних реалій у створено­му саме людством текстовому світі; від математичного інструмен­талізму — бачення математичних реалій у нерозривному зв’язку з відповідними операціями з їх назвами, які підлягають специфіч­ним для кожного типу математичних реалій правилам та проце­дурам їхньої трансформації, та від математичного інтуїціонізму — визнання ролі творчості при конструювання математичних реалій.

4.28.15. Щодо пізнання суто математичних реалій

На нашу думку, специфіка математичних реалій (структур, об’єктів, операцій, множин, функцій тощо) полягає в тому, що освічена та підготовлена людина здатна не лише їх позначати, трактуючи як зовнішні предмети, а й оперувати ними в своїй сві­домості, ототожнюючи назви та математичні реалії. Назви репре­зентуються в текстах, які складаються з назв самих математичних реалій і назв їх атрибутів, а також операцій із ними та правил ви­конання операцій, які теж представлені у вигляді своїх назв. Ма­тематичне мислення полягає в складанні цих назв у «повнокров­ну» математичну реалію і відбувається в свідомості математика, який знає, розробляє та використовує відповідну систему матема­тичного знання. Для потреб нефахівців можливим є формування лише спрощеного утилітарного уявлення про цю реалію.

Транслюючи текст, який містить назви самої математичної ре­алії та її атрибутів і відповідні споріднені назви, в свою свідомість, інший математик здатний подумки та не завжди свідомо обробля­ти назви математичних предметів, складати в своєму мозку власне тлумачення реалії, критикувати запропоновані раніше атрибути та твердження про них. На підставі засвоєного знання він може створювати інші назви та встановлювати раніше невідомі матема­тичній спільноті закономірності математичного світу. Переробле­ну таким чином інформацію він теж може зробити доступною у вигляді текстів.

4.28.16. Оперування свідомості з назвами як спосіб отримання знання про позначені ними реалії

Знання математичних реалій, насамперед, полягає у вмінні оперувати з їх назвами. З позицій застосування математики в ін­ших науках опанування математичними реаліями також означає оволодіння «правильними» діями з їх назвами. Це відображається в поширеному в середовищі фізиків-теоретиків розрізненні мате­матичного апарата та його фізичної інтерпретації⁴⁵⁷, що взагалі є цілком слушним поглядом на стан речей. Але таке загальне, не­мовби з пташиного польоту розрізнення залишає за лаштунками теорії різноманіття математичних реалій та відповідних мов, спро­щує взаємовідношення між ними.

Цікавою обставиною, на яку майже не звертають увагу мате­матики, філософи математики та користувачі математики, є те, що математичний апарат будь-якої системи наукового знання є еклектичною, але надзвичайно ефективною у розв’язанні науко­вих проблем сумішшю фрагментів різних математичних систем знання. Тому не бачимо доцільності розглядати його як окрему систему математичного знання та застосовувати до нього ті самі вимоги строгості, послідовності та несуперечливості, яким мають підлягати «чисті» системи математичного знання.

Якщо повернутися до матеріального світу, з яким ми впро­довж нашого викладу постійно порівнюємо світ математичних ре­алій, то варто вкотре зазначити, що дії з матеріальними предме­тами мають матеріально-практичний характер та можливі лише з використанням інших матеріальних предметів. Ті та інші існують незалежно від дій з ними, хоча, маніпулюючи предметами, можна їх змінювати та після належної переробки «примушувати» слугу­вати людству. Змінювати матеріальні предмети або виконувати з ними певні дії поза власним тілом силою думки можливо лише в науковій фантастиці або в псевдонаукових містифікаціях.

Мозкові процеси мислення супроводжуються електричною активністю, яка локалізується у різних місцях мозку, що дозво­ляє в певному сенсі розрізняти ці процеси за змістом, зокрема, ті, які відповідають за моторику людських кінцівок⁴⁵⁸. Нейробіо- логи в співпраці з фахівцями з електротехніки та програмістами створюють датчики і програми, які здатні перетворювати «хаос» дуже слабких електромагнітних імпульсів в інструкції для «штуч­них» кінцівок виконувати рухи, на які нездатні паралізовані при­родні кінцівки інвалідів.

Метафорично кажучи, «сила» думки не розповсюджується безпосередньо на світ матеріальних предметів, але вони їй під­коряються опосередковано за допомогою умоглядних предме­тів, у тому числі назв математичних реалій, внаслідок їх перетво­рень. Чим більше матеріальні предмети виходять за межі можли­вості їхнього сенсорного сприйняття, тим більше при їх пізнан­ні стає необхідною потреба у використанні певних математичних реалій. Тобто математичні реалії використовуються не як засоби матеріально-практичного оперування з матеріальними предмета­ми, а як засоби умоглядного, але за певними строгими та точни­ми правилами оперування з назвами цих предметів. Тому відсутня необхідність розглядати відношення між матеріальними та мате­матичними реаліями через призму відображення другими перших.

З аналогічної причини не має сенсу розглядати подібні репре­зентативні відношення між сучасним високотехнологічним виро­бом, наприклад комп’ютером, та тими устаткуванням і технологі­ями, за допомогою яких його було створено. Для користувача важ­ливо лише те, наскільки успішно й швидко комп’ютер допомагає розв’язувати практичні та наукові завдання. Слід також підкресли­ти, що так само, як і при виробництві сучасного смартфону, коли використовується вся міць передових технологій, так і при науко­вому тлумаченні певного матеріального предмета, зокрема так зва­них гаджетів, використовується велика кількість математичних ре­алій⁴⁵⁹. На цю обставину зазвичай не звертають увагу.

Ясно, що безпосередньо оперувати з математичними реаліями не можливо за допомогою матеріальних предметів. Але за допо­могою матеріальних реалій можливо оперувати з матеріальними знаковими позначеннями математичних реалій, як це відбуваєть­ся, скажімо, коли проводять обчислення або за допомогою руч­ки та паперу, або за комп’ютерними програмами⁴⁶⁰. Таким чином, у певному сенсі зі специфічними матеріальними назвами матема­тичних предметів зараз успішно працюють комп’ютери, в яких ці назви репрезентуються за допомогою різних мов програмування. З іншого боку, оперування з назвами математичних реалій відбу­вається за допомогою особливих умоглядних дій, яким навчають­ся під час вивчення різних систем математичного знання.

Тексти та назви, що містяться в них, спрямовують мислення та утворюють його певні форми. Нова форма мислення виникає, коли пов’язані з нею назви засновують відносно стабільну в часі конструкцію, яка опанована не лише науковцем-автором тексту, а й іншими його колегами. Звісно, для цього необхідними є на­явність певних розумових здібностей та попередніх знань про цю науку та споріднені галузі знань. Кожен має право залучитися до науки, але не кожен здатний долучитися до неї. «Багато званих та мало обраних». Процес формування нової системи мислення безумовно є творчим і, якщо брати науку в цілому, то він ніколи не закінчується в свідомості науковців — творців нового знання. Якщо загострити, то це означає, що немає навіть уявного існуван­ня математичних реалій без існування певних математичних тек­стів, які побудовані за відповідними правилами.

Дискусійний з часів Платона онтичний статус математичних реалій у сенсі їхнього попереднього апріорного існування не може затьмарити того тривіального факту, що вони вперше якимось чу­дом виникають у свідомості певного окремого математика. Але в обіг вони входять лише після появи текстового (в широкому сен­сі тлумачення терміну «текст») опису, тобто оприлюднення назв та описів цих реалій або тверджень про їх існування. Джерелом ві­домостей можуть бути передсмертні записки (Еварист Галуа⁴⁶¹), поля книги (П’єр Ферма⁴⁶²), приватні листи (Карл ГаусС⁴⁶³), статті у фахових журналах, монографії, праці конференцій тощо. Тільки після цього їх можуть подумки обмірковувати, уточнювати, класи­фікувати та розщеплювати на фрагменти. А відтак отримані резуль­тати знову викладаються у текстовій формі самими авторами або їх колегами — професійними дослідниками.

Аналогічно літературним персонажам математичні реалії не­мовби існують в нашій свідомості через їх назви. Таке розуміння математичних реалій природно пояснює існування багатьох різ­них тлумачень їхньої природи — їх прибічники спираються на різні текстові варіанти, які дають різне текстуальне оточення си­нонімічних назв конкретної математичної реалії.

У певному сенсі шлях пізнання багатьох, особливо новонаро­джених, математичних реалій є протилежним шляху пізнання ма­теріальних предметів, який переважно йде від самих предметів до утворення їх назв. Матеріальні реалії, принаймні почуттєві, пізна­ються шляхом збору та аналізу інформації про їх почуттєві та/або емпіричні прояви. Натомість пізнання математичних реалій най­частіше відбувається через початкове умоглядне конструювання нових назв із вже існуючих назв інших математичних реалій та ментального конструювання нових математичних реалій для цих нових назв.

Один із можливих формальних описів мало дослідженого та цілком імовірно нескінченного процесу конструювання одних математичних реалій на базі назв інших реалій дає узагальнен­ня⁴⁶⁴ шкали множин Бурбаки⁴⁶⁵ або суперструктур і нестандартно­го універсуму⁴⁶⁶. Тут, до речі, використане уявлення про своєрід­ний сценарій побудови нових математичних реалій. Такі сценарії конструюються на основі вже існуючих назв та правил побудови з них нових назв. У разі майстерно та вдало створеного сцена­рію його втілення в життя призводить до утворення нових назв, які з часом починають тлумачитись як назви нових математичних предметів. Нові назви мовби створюють нові математичні реалії, витягаючи їх із небуття. Новий сценарій має бути узгодженим із вже наявними та визнаними більшістю математиків сценаріями, написаними за допомогою вже відомих назв математичних пред­метів. Ідеться про конструювання такої математичної реалії, яка має відповідати новій введеній в обіг назві, тобто мати ті атрибу­ти, які «випливають» зі способу її побудови з попередньо відомих математичних реалій. На відміну від кінематографічного сцена­рію, втілення якого припускає майже безмежний спектр режисер­ських творчих фантазій, втілення справжнього математичного сце­нарію, хоча й не є однозначно детермінованим, обмежено жорсто­кими умовами та правилами, притаманними самій математиці як певній галузі людської діяльності.

4.28.17. Залежність уявлень про математичні реалії та їх назв від систем математичного знання та їх розвитку

Переводячи подих, зосередимо увагу на відношенні назв до позначених ними реалій. Виділити та досліджувати ці відношен­ня в математиці заважають декілька обставин. Перша — це роз­гляд математиками та відповідними філософами математичної на­уки в цілому, без виокремлення систем математичного знання та з’ясування їх будови. Друга — це укорінене змалку переконан­ня, що за своєю суттю математика має справу із зовсім інши­ми інтерсуб’єктивними реаліями вивчення, ніж природничі нау­ки. Це так і є для «чистої» математики, тобто із застереженнями, які ми навели вище, але із цього факту часто робиться висновок, що системи математичного знання мають бути побудовані інак­ше, ніж системи природничого знання. Третя — це інша, прямо протилежна, розповсюджена в свідомості натуралістів та філосо­фів науки думка, що саме будова систем математичного знання має слугувати зразком для систем природничого знання. Одним з наслідків прийняття за основу останньої думки є відкидання при звертанні до систем наукового знання тих їх складників, які не вкладаються в аксіоматичне прокрустове ложе. Ці укорінені в сві­домості натуралістів та математиків, не кажучи вже про пересіч­них громадян, погляди не враховують, що системи природничого знання є завжди відкритими до змін та не можуть інтерпретувати­ся як моделі у сенсі метаматематики формалізованих систем ма­тематичного знання⁴⁶⁷.

Американський фізик Річард Фейнман писав: «Отже, вчені звикли мати справу з сумнівами та невизначеністю. Всі наукові знання є невизначеними. Цей досвід сумнівів та невизначеності є важливим та має велику цінність і не лише наукову. Я вважаю, що для вирішення будь-якої проблеми, яка ніколи раніше не ви­рішувалась, вам потрібно залишити трошки відчиненими двері. Ви повинні припустити можливість того, що зроблене вами не обов’язково є правильним. І для досягнення прогресу надзвичай­но важливо, щоб ми погодились із цим незнанням та цим сумні­вом. Оскільки ми сумніваємось, то тоді пропонуємо шукати нові напрямки для нових ідей. Отже, те, що ми сьогодні називаємо нау­ковим знанням, є сукупністю тверджень різного ступеня вірогід­ності. Деякі з них є найбільш невизначеними; деякі з них є май­же визначеними; але жодні не є абсолютно визначеними. Нау­ковці до цього звикли. Сумнів безумовно є цінністю в науках»⁴⁶⁸. З певною засторогою можна навіть стверджувати, що абсолютна строгість, безумовно цінна для математики, значною мірою втра­чає свою вагу у разі застосування до природничих наук, а самі іс­тини природознавства стають відносними та умовними, утім не втрачаючи свою велич.

Поза усвідомленням багатьох математиків та філософів досі залишається принципова обставина, що зміна та удосконалення

4.28. Роль назв у математиці як утворенні чистого розуму систем математичного знання, як і аналогічні процеси з система­ми природничого знання, породжують також зміни уявлень про математичні реалії. З часів появи назви «математика» уявлення математиків про то, що вивчає їх наука, еволюціонували не мен­ше, ніж уявлення фізиків про фізичний світ або біологів про біо­логічний світ, хоча загальні назви конкретних наук залишилися незмінними.

4.28.18. Різновиди математики

У математиці вихід за межі стандартних уявлень про неї сприй­мається як створення нового виду математики, яка «породжує» нові, раніше непередбачувані математичні реалії. Так сталося з формуванням так званої інтуїціоністської математики. Її прихиль­ники, зокрема, відмовляються від визнання закону виключного третього, за яким кожне математичне твердження може бути або істинним, або хибним⁴⁶⁹. Зустрічаються в математичній науці та­кож різні сценарії з позірно синонімічними назвами, проте (як з’ясовується згодом) все ж-таки відмінних математичних реалій і відповідних математичних універсумів. Прикладом може слугува­ти вже згаданий нестандартний аналіз.

Іншим яскравим прикладом «нової» математики є спроба побу­дувати її на ґрунті так званих нечітких множин⁴⁷⁰. Засновник зви­чайної теорії множин німецький математик Георг Кантор⁴⁷ фак­тично визначав певну множину через задання її характеристич­ної функції, тобто функції приналежності будь-яких елементів з деякого заздалегідь фіксованого універсуму (предметної галузі) до певної їх множини. Ця функція приймає значення 1 для елемен­тів, які входять до неї, та значення 0 для решти елементів, які до неї не входять. Засновник теорії нечітких множин американський математик Лотфі Заде змінив форму характеристичної функції для нечіткої множини та став тлумачити її як характеристику ступеня приналежності елементу множини. Тобто припускається, що еле­менти входять до нечіткої множини з різним ступенем імовірнос­ті⁴⁷². Легко збагнути, що звичайні множини (в дусі Кантора) є окре­мим (граничним) випадком нечітких множин. Прикладом звичай­ної множини є сукупність студентів, яка прослухала курс лекцій з деякої дисципліни, а прикладом нечіткої множини — множина студентів, яка зрозуміла їх зміст чи бодай якісь фрагменти лекцій. Ступінь приналежності студентів до такої нечіткої множини може вимірюватися оцінками, отриманими під час іспиту.

Важливість теорії множин та її різних формальних варіантів полягає в тому, що значна кількість математиків розуміє множи­ни (точніше їх назви) як будівельні цеглинки для конструюван­ня інших математичних реалій (точніше їх назв). Тому виникнен­ня і визнання теорії нечітких множин та її різновидів як легітим­них математичних дисциплін є цікавим із точки зору перспектив розвитку різних видів математики. Виникнення та розвиток теорії іменованих множині⁴⁷³ теж відкриває нові можливості для зміни правил побудови нових математичних реалій, принаймні в плані узагальнення запропонованих раніше теорій множин⁴⁷⁴.

Таким чином, є підстави вважати, що математичні реалії існу­ють як уявні денотати назв, якими згідно з існуючими правила­ми оперують математики. Тобто математичні реалії існують лише для тих, хто знає та виконує певні, загальні для всієї математи­ки і специфічні для її окремих систем знання, правила дій із їх назвами. Навіть більше: вони існують, поки ними оперує свідо­мість математиків та долучені спільноти, коли вони замислюють­ся про ці реалії.

Математичні реалії в цьому сенсі (цією аналогією аж ніяк не варто зловживати!) подібні до фізіологічних процесів мислення, які ми можемо досліджувати, головним чином лише спостеріга­ючи за їх результатами, представленими у вигляді думок. Голов­на відмінність між цими процесами та процесами математичного мислення полягає в тому, що математики, принаймні, можуть сві­домо оперувати з текстами про математичні реалії та оприлюдню­вати ці операції й їх результати, тоді як фізіологічні процеси мис­лення здійснюються поза нашою свідомістю та поки що (?) знахо­дяться за межами свідомого контролю і традиційного емпіричного наукового дослідження. Варто зауважити, що здатність мислити має певне генетичне підґрунтя, але якість мислення залежить від уроджених здібностей як суто генетичного чинника⁴⁷⁵ та від умов соціалізації людини, зокрема від якості отриманої освіти.

4.28.19. Сценарії математизації науки

Отже, розробка специфічних онтично-називних підсистем була й залишається важливим завданням для систем знання будь- якої науки. Проте часто ці підсистеми ховаються під іншими на­звами (іменами). Як показано вище, особливу цікавість у цьому сенсі становить математика, яка є окремим розділом наукового знання загального користування. Він знаходиться поза природни­чими науками, але є невід’ємною частиною їх теоретичного апа­рата⁴⁷⁶. До того ж частиною (або специфічним видом) математи­ки є вже згадувана вище «прикладна математика»⁴⁷⁷, під якою час­то розуміють як інженерні науки (наприклад, опір матеріалів⁴⁷⁸ чи гідравліку⁴⁷⁹, які є відгалуженнями теоретичної механіки⁴⁸⁰), так і певні обчислювальні науки⁴⁸¹, що знайшли своє місце в цари­ні власне фізики.

Ясна річ, що вихідні положення цих наук та перевірка пра­вильності застосовуваних моделей⁴⁸² (запропонованих у сиву дав­нину чи нещодавно) були зумовлені експериментом, тобто при­родними (фізичними) властивостями матеріального середовища. Розв’язуючи складні задачі, математики іноді відволікаються від витоків і перетворюють цілі розділи фізики на окремі математич­ні науки. Тому з точки зору зв’язку з природою ці науки мож­на було б навіть вважати квазіфізичними та квазіматематични- ми. Звісно, зміна атрибуції в цьому випадку аж ніяк не впливає на сутність справи, залежачи переважно від смаку науковців та їх базової освіти. Тобто достеменно визначити, що якийсь фрагмент діяльності належить до фізики, а якийсь — до математики, буває доволі важко⁴⁸³.

Автори цього тексту, керуючись «фізичним» (або, ліпше сказа­ти — природничим) шовінізмом тяжіють до думки, що будь-який ухил математики у бік фізики означає «перетворення» математич­ної дисципліни на розділ фізики. Натомість існує інша, дуже по­ширена точка зору, що саме математика торує шляхи до фізичних відкриттів⁴⁸⁴, про що ми вже писали вище. Насправді, це є емо­ційним перебільшенням, пов’язаним, зокрема, з напівсвідомим ототожненням явищ та предметів матеріального світу із матема­тичними реаліями, за допомогою яких останній намагаються опи­сати⁴⁸⁵. Звісно, наше твердження зовсім не скероване проти ма­тематиків, які беруться за розв’язок складних фізичних задач, а, отже, заслуговують на всіляку повагу та шанування.

Прикладом того, як «невідкриття» певної фізичної теорії (в да­ному випадку спеціальної теорії відносності) було наслідком не­хтування суто фізичним поглядом на часопростір, можна вважа­ти відсутність вирішального успіху в цій царині у Пуанкаре. Різні інтерпретації цієї суперечливої історії, де називна підсистема не­одноразово змінювалася залежно від розуміння проблеми, можна знайти в багатьох джерелах⁴⁸⁶.

Ще одним важливим аспектом «взаємодії» математики та на­вколишнього світу, включаючи як природу, так і людське суспіль­ство, є вплив цього суспільства на вибір задач, а, отже, на вибір на­прямів розвитку математики⁴⁸⁷. Тому зворотний зв’язок суспіль­ного ґатунку завжди в той чи інший спосіб корегує математичний поступ, а математики є частиною освіченої верстви населення ци­вілізованих країн. Водночас при розв’язуванні конкретних мате­матичних чи фізичних задач науковець має здійснювати зворот­ний зв’язок методом самоконтролю з урахуванням необхідності задовольнити граничні умови.

Предметні галузі системи природознавчого знання є об’єк­тивними та матеріальними в тому сенсі, що реалії, які до них входять, існують незалежно від дослідників. Натомість предмет­ні галузі численних систем математичного знання є творінням людського розуму. Незважаючи на цю різницю, онтично-називні підсистеми математики мають таку ж багаторівневу будову, що й онтично-називні підсистеми природничих наук. Зазначимо, що незалежні від дослідника (спостерігача) предмети можуть бути пізнані лише за допомогою розуму цієї людської особи. Пізнання це, в свою чергу, неминуче спиратиметься на кількісні дані про властивості та співвідношення, отримані під час експерименту чи спостереження⁴⁸⁸.

Створені математичним мисленням реалії (структури) так само не є довільними продуктами творчої фантазії, як і фізичні, тобто природні реалії. Після «народження», точніше текстового опри­люднення вони стають об’єктивними в плані їх перетворення в ре­алії, маючи до того ж потенціальну здатність до виходу за межі бу­денного розуму, бо позбавлені логічних суперечностей і утворю­ють певні, не порожні сукупності з цікавими (спочатку лише для авторів, а згодом і для колег) атрибутами. Дуже важливо усвідом­лювати, що попри абстрактність математичних реалій вони з ча­сом знаходять безпосереднє застосування у фізиці, в якій безпе­рервно виникає потреба в більш складному апараті математичного аналізу. Це не дивно, бо людський розум є розум істоти, яка вини­кла в природі та є частиною природи, а тому «надзвичайна ефек­тивність математики» при розгляді проблем природничих наук⁴⁸⁹ стає зрозумілою, принаймні, із загально-філософської точки зору.

Аби уникнути неправильного тлумачення зазначимо наступ­не. Й фізичне, й математичне знання про відповідні реалії по­ступово отримується та накопичується науковцями. Але тут існує певна принципова різниця. Під час розвитку галузі природничо­го нематематичного знання змінюються й наукові уявлення про досліджувані предмети. Проте факт еволюції системи науково- природничих знань та уявлень про предмети дослідження аж ніяк не означає, що об’єктивне існування предметів ставиться під сум­нів. Це не так щодо математичних реалій, хоч умоглядні уявлення про них теж змінюються зі зміною систем знання про них. Це так само може оцінюватися як аргумент на користь умоглядності ма­тематичних реалій. Ступінь відмінності математичних поглядів на числа античних греків та сучасних математиків⁴⁹⁰ не менша, ніж ступінь розбіжностей у поглядах на атоми тих же давньогрецьких матеріалістів⁴⁹¹ та сучасних фізиків⁴⁹².

Більш сучасним прикладом трансформації уявлень про склад­ну математичні реалію, точніше систему взаємопов’язаних реалій, є числення⁴⁹³. Проте зміна поглядів на математичні реалії означає перебудову цих реалій або створення поряд з ними інших реалій, у назвах яких застосовуються назви старих реалій. Колись геоме­трія ототожнювалася з евклідовою геометрією, потім були побу­довані неевклідові геометрії, за якими «з’явилися» ніби з небуття ріманова геометрія, симплектична геометрія, фінслерова геомет­рія тощо. Дана обставина свідчить про умоглядність математич­них реалій та їх залежність від умов їх реалізації та від свідомос­ті їхніх творців.

На нашу думку, було б гносеологічною похибкою надавати математичним реаліям непідвласний людині онтологічний статус, який не залежить від рівня розвитку математики. Математичний світ, який конструювали античні греки, відрізняється від матема­тичного світу, який будують сучасні математики, а майбутній світ відрізнятиметься від сучасного. Наприклад, для видатного старо­грецького математика Піфагора⁴⁹⁴ та його учнів математичний світ складався з двох незалежних підсвітів — світу чисел та світу плос­ких і тривимірних геометричних фігур. Відкриття уявних чисел та багатовимірних геометричних фігур суттєво змінили кожний із вказаних підсвітів, які до арифметизації геометричного світу французьким математиком і філософом Рене Декартом⁴⁹⁵ вважа­лись незалежними один від одного. З того часу було створено ве­лику кількість математичних реалій, які були невідомі ані Піфаго- ру, ані Декарту, змінився опис цих реалій, були встановлені не­тривіальні зв’язки між ними, побудовані справжні математичні материки та продовжують будуватися нові.

Уявлення про математичні реалії, які існують і поза матері­альним світом, і поза свідомістю науковців у незмінній формі на так званих платонівських небесах, спростовуються розвитком ма­тематики й різними картинами математичного світу. Його мапи, складені в різні часи видатними математиками, суттєво різнять­ся між собою. Відтак, важко повірити в те, що вони є мапами того самого незмінного математичного світу. Скоріш за все, вони є мапами уявлень творців математичного знання про свою нау­ку та її розвиток, притаманними свідомості кожної залученої до картографічної діяльності особи. Зацікавленому читачеві радимо порівняти три такі мапи, запропоновані сучасними математика­ми⁴⁹⁶, кожний із яких переконаний, що розповідає про матема­тичний світ per se.

Водночас як у природничих, так і в математичних науках про­стежується тенденція перейти від назв, які мають чуттєві прооб­рази, до більш абстрактних назв, які зрозумілі лише фахівцям. Це свідчить про перехід природознавців і математиків до досліджень предметних галузей, які не містять матеріал чуттєвої наочності, навіть якщо терміни позичені із повсякденної мови. Прикладами з фізики можуть слугувати так звані «кольори» кварків⁴⁹⁷, а з ма­тематики — кільця, тори, перетини, околи, границі, межі, близь­кість, гладкість, кривизна, групи тощо⁴⁹⁸.

4.28.20. Три основні онтично-називні підсистеми систем математичного знання

Повернімося до радикальних змін онтично-називної підсис­теми математики в цілому. Дослідники розвитку математики⁴⁹⁹ фактично виокремлюють впровадження впродовж її історії трьох основних онтично-називних підсистем: риторичної, синкопної (від старогрецького слова «синкопа», що означає скорочення, обру­бок) і символічної.

Риторичний або словесний рід онтично-називної підсистеми використовує для позначення математичних реалій, які створює та досліджує математика, слова повсякденної мови та їх комбіна­ції. Наприклад, терміни «точка», «лінія», «кількість», «додавання», «простір», «перетворення», «рівність» тощо.

Синкопний рід цієї підсистеми позначає ці структури окре­мими літерами або скороченнями звичайних слів, якими ймену- ють ці структури. Вона, зокрема, характерна для елементарної ге­ометрії⁵⁰⁰. В цьому сенсі синкопною є й запропонована видатним шведським хіміком Якобом Берцеліусом⁵⁰¹ система назв хімічних елементів.

Символічний рід онтично-називної підсистеми використовує символи у вигляді окремих літер із абеток природних або штучних мов та спеціально винайдені символи на кшталт символів, яки­ми позначають арифметичні операції додавання (+) та множення (х) чисел. Основи цієї системи заклав видатний французький ма­тематик XVI століття Франсуа Вієт⁵⁰². Сучасна математика корис­тується всіма трьома системами, в чому дуже просто пересвідчи­тися, занурившись до будь-якого шкільного або університетсько­го підручника з математики.

4.28.21. Підсумковий погляд на онтично-називну систему математичного знання

У даному розділі математичні реалії розглядалися як складни­ки предметних галузей відповідних систем математичного знання. Ми вважаємо, що у своїй ментальній іпостасі ці системи за до­помогою наявних та нових назв реалізують специфічне мислен­ня про позначені назвами умоглядні математичні реалії. В деяких «щасливих», але не в усіх випадках ці реалії визнають інші мате­матики, які починають досліджувати їх та уточнювати знання про них. Тобто ці умоглядні реалії з початком їх дослідження набува­ють ознаки існування, визнаного всією математичною спільно­тою, або її частиною. В цьому сенсі математика схожа на серед­ньовічну демонологію, яка «успішно» досліджувала вигаданих іс­тот⁵⁰³. Але оскільки математика є важкою для сприйняття неосві- ченими та не занадто здібними особами, ті талановиті люди, які мали хист займатися нею фахово, завжди зупинялися в належних місцях, не втрачаючи стримувальний зв’язок струнких вигаданих мислених систем із здоровим глуздом.

Дійсно, впродовж віків виникали перші системи математично­го знання, які ставилися до описуваних ними математичних реа­лій як до абстракцій від кількості почуттєвих речей (числа) та їх атрибутів (плоскі або просторові фігури). Проте сучасній матема­тиці більш притаманне конструювання нових математичних реалій через посередництво назв вже наявних реалій та їх атрибутів. Пев­ним аналогом експериментування природознавців із матеріальни­ми реаліями в математиці є дії з назвами математичних реалій та їх атрибутів. «Виживають» лише ті гіпотетичні реалії, нові дії з якими узагальнюють раніше відомий спектр дій з попередніми реаліями та створюють нове коло реалій, що розширює математичний світ. Прикладом є дії з комплексними числами, які дають змогу робити з числами раніше неприпустимі дії. Нагородою за це часто-густо є виникнення практичних застосувань, про які на початку дослі­джень навіть і не мріялось. Але інколи геніальні люди створюва­ли цілі нові математичні галузі «під практику». Тоді математичні химерні побудови виявлялися наслідком суто практичних потреб, що, звісно, не зменшувало їх наукову та естетичну цінність.

Такою родзинкою «оберненого процесу» створення матема­тичного апарата, виходячи з практики, було винайдення англій­ським фізиком і інженером Олівером Гевісайдом⁵⁰⁴ операційного числення⁵⁰⁵. До речі, Гевісайд вважав математику експеримен­тальною наукою, яку треба викладати, саме виходячи з цього. Та­ким чином, він намагався звести всю математику до прикладної (про яку ми міркували вище). Це, певна річ, є перебільшенням, але трагічні обставини життя вченого, коли операційне числення відкидали через брак обґрунтування, значною мірою виправдо­вують гіркоту його висловів щодо опонентів. З цього приводу за­значимо, що операційне числення Гевісайда, спонукане практи­кою розв’язування диференціальних рівнянь теоретичної електро­техніки, з’явилося спочатку як математична реалія в його світлій голові, а лише трохи згодом стало основою багатотомних текстів.

Таким чином, нові математичні реалії є породженням сис­тем математичного знання, створених математиками раніше, які, в свою чергу, мають таку ж складну та тривалу історію⁵⁰⁶. Вони не з’являються як Афіна Паллада з голови Зевса та, на нашу дум­ку, не відкриваються в такий же спосіб, як планети або атоми, а є умоглядними продуктами розумової діяльності багатьох поко­лінь математиків. Ці продукти постійно удосконалюються різни­ми спільнотами математиків, які змінюють одна одну ідеологічно та суто біологічно. Ось чому уявлення сучасних математиків про числа або геометричні реалії відрізняються від уявлень великих стародавніх греків Піфагора та Евкліда⁵⁰¹. Може саме через швид­коплинні зміни навколо природи математичних реалій ось вже більше двох тисячоліть продовжуються запеклі суперечки, коли вони тлумачаться іноді з протилежних світоглядних позицій са­мими математиками, філософами науки й математики, теолога­ми, діячами культури й освітянами⁵⁰⁸.

Крім того, й серед сучасних математиків та філософів мате­матики є різні відповіді на сакраментальні запитання: «Що таке число?»⁵⁰⁹—⁵¹⁴ або «Що таке геометрія?». Розбіжності у відповід­ях пояснюються різною освітою, різними національними та пер­сональними науковими школами, філософськими переконання­ми, спектром математичних, природничих та практичних завдань, які вирішуються за допомогою конкретної системи математич­ного знання тощо. Наприклад, вельми здатний до створення но­вих систем математичного знання німецько-американський мате­матик Герман Вейль стверджував, що «людина є субстанціальною істотою; слова нашої мови мають значення зі змінними тонкими нюансами; тони наших музичних композицій мають свої чуттєві якості. Але числа не мають ні суті, ні значення, ні якостей. Вони ні що інше, як знаки, і все, що є в них, ми вклали в них за допо­могою простого правила прямої послідовності»⁵¹⁵. На нашу думку, він ототожнив числа з певною множиною їх назв, що дало йому можливість уникнути відповідь на питання про онтичний статус чисел. Останні й насправді у всьому світові позначаються за допо­могою цифр, а у випадку важливих з певної точки зору чисел — за допомогою окремих індивідуальних назв типу р.

Фактично Вейль редукує системи математичного знання до їх називних та операційних підсистем логічного ґатунку. Помітний крок у цьому напрямі формалізації математичного знання було зроблено британськими математиками Альфредом Вайтхедом та Бертраном Расселлом в їх епохальній праці Ргіпсіріа Маійетаіїса⁵¹⁶. Побудована ними формальна система складається «виключно з символів [назвами, які нічого не позначають, крім самих себе — ОГ, ВК\, аксіоми складаються з рядків цих символів, а застосова­на логіка складається з точних правил маніпулювання цими сим­волами, щоби створити нові рядки символів. Ці нові рядки є тео­ремами системи без жодного значення. До речі, завдяки цій при­хильності до надзвичайно абстрактної строгості знадобилося кіль­ка сотень сторінок такої маніпуляції символами, щоби дійти ви­сновку, який є еквівалентом “1 + 1 = 2”, де кожен термін у рів­нянні є лише символом або рядком символів»⁵¹⁷.

Не маючи достатньої компетенції для професійного оціню­вання змісту та обґрунтованості полеміки у фаховому математич­ному середовищі щодо можливостей та наслідків сучасних версій різних програм формалізації та аксіоматизації математики, заува­жимо, що в цій полеміці стверджується, що за програмою аксіо- матизації математики Н. Бурбакі кількість сторінок, яка потрібна для доведення цієї рівності, є значно більшою.

«Згідно з полемічною статтею Адріана Матіаса⁵¹⁸ Роберт Соло­вей показав, що визначення Бурбакі числа 1 написане з викорис­танням формалізму у виданні Theorie des Ensembles 1970 року, ви­магає 2, 409, 875, 496, 393, 137, 472, 149, 767, 527, 877, 436, 912, 979, 508, 338, 752, 092, 897 « 2,4 х 10⁵⁴ символів і 871, 880, 233, 733, 949, 069, 946, 182, 804, 910, 912, 227, 472, 430, 953, 034, 182, 177 » 8,7 х 10⁵³ сполучних ланок, які використовуються при об­робці зв’язаних змінних. Матіас зазначає, що у разі 80 символів на рядок, 50 рядків на сторінці, 1000 сторінок на книгу це визна­чення заповнило би 6 х 10⁴⁷ книг. Якби кожна книга важила кі­лограм, маса цих книг була б приблизно в 200 000 разів більше за масу Чумацького Шляху. Він припускає, що “доказ Бурбакі 1 + + 1 = 2”, написаний на папері, не поміститься у спостережувано­му Всесвіті»⁵¹⁹.

Цитуємо далі: «Ці розрахунки були здійснені Хосе Гріммом; див.[⁵²⁰], а також[⁵²¹]. За однією з версій оригінального формаліз­му Грімм отримує:

16420314314806459564661629306079999627642979365493156625 » 1,6 х 10⁵⁵... Розбіжність із числом Соловея, ймовірно, пов’язана з якоюсь тонкою різницею в інтерпретації деяких деталей. Зау­важте, що англійський переклад Бурбакі вносить деякі “невели­кі” зміни, і Грімм отримує зовсім інше значення: 573306704401798 0337582376403672241161543539419681476659296689 « 5,7 х 10⁶⁰»⁵²².

Ошелешені таким станом речей у «хімічно чистих» матема­тиків, ми з полегшенням можемо перейти до їх практично нала­штованих колег. Отже, інші відомі математики, сфера діяльності яких включала не лише розвиток систем математичного знання, а й їхнє практичне застосування в системах природничого знання (згадаймо Гевісайда!), висловлюють єретичну для математичних формалістів думку про важливість експериментальних методів у математиці⁵²³. Ясна річ, що подібні методи не могли би застосову­ватись для аналізу чисел та побудованих на їх основі інших мате­матичних реалій, якщо числа були би лише знаками, тобто яки­мись малюнками на папері.

Виокремлюючи системи математичного знання, ми вважали об’єкти з їхніх предметних галузей реальними в такому вищезга­даному сенсі, в якому реальними для читача роману або глядача театральної вистави є їх персонажі. Тому ми й називаємо їх мате-

4.28. Роль назв у математиці як утворенні чистого розуму матичними реаліями. Ще раз підкреслимо, що, на відміну від чи­тача художнього твору, слухача симфонії чи глядача театральної вистави, які не мають можливості втручатися в те, що вони чита­ють, слухають та бачать, інші математики після ознайомлення з текстом математичного трактату здатні його корегувати, удоско­налювати, застосовувати, розвивати та навіть ідейно «знищувати». Яскравим прикладом цього є знаходження суперечностей у побу­дованій Кантором змістовній, «наївній» теорії множин⁵²⁴.

Для того щоб результати такого активного втручання в систе­ми математичного знання стали відомими іншим математикам, вони мають бути оприлюднені в текстовому вигляді або в аудіо- чи відеозаписі. Можна навіть стверджувати, що аналогічно право­вій максимі про те, що закон набуває юридичної сили лише піс­ля свого оприлюднення (промульгації), створена одним професі­оналом математична реалія починає своє текстове та ментальне існування для інших математиків лише тоді, коли її опис стає їм відомим.

Цей розділ обмежений розглядом деякої інформації щодо сис­тем засадничого математичного знання про числа під кутом зору їхньої загальної онтично-називної підсистеми. Проте розумін­ня того, чим є числа, визначає тлумачення інших, значно склад­ніших математичних реалій. Несподівано виявлено, що система елементарної «арифметичної» теорії чисел дуже подібна за будо­вою до систем природничого знання⁵²⁵. Ця обставина відкриває нові перспективи щодо розгляду вічних філософських питань про математику та її природу, види, будову, функції та взаємозв’язки математичних реалій і відповідних систем математичного і нема- тематичного знання. Тобто, незважаючи на те, що за своїм онтич- ним статусом реалії, які вивчають природничі науки, відрізня­ються від реалій, які досліджують математики, відповідні системи знання мають подібну структуру.

Кожна з математичних реалій, мережа яких утворює предмет­ну галузь відповідних систем математичного знання, вважається такою, що її початковий аналіз може здійснюватися за припущен­ня її автономності. Це дає змогу, принаймні, спочатку досліджу­вати її атрибути та їх зв’язки незалежно від інших реалій. Для чи­сел, наприклад, це складеність з одиниць (так звані цілі числа) та відношення «більше, ніж», «менше, ніж» та «дорівнює». Для плос­ких замкнутих багатокутників, наприклад, це кількість сторін та відношення подібності й конгруентності.

З часом з’ясовуються важливі, заздалегідь не передбачені атрибути в раніше відомих реалій, зокрема їхні спільні риси, які можуть стимулювати поглиблення знання про відповідні первіс­ні реалії та встановити між ними нетривіальні зв’язки⁵²⁶. Для чи­сел це означає, скажімо, виокремлення серед цілих чисел парних чисел, тобто таких цілих чисел, що без залишку діляться на два. Для трикутників це може бути залежність величини їх площини від значень довжин їх сторін⁵²⁷.

Складнішим прикладом пошуків важливих нетривіальних відношень не лише у межах однієї математичної галузі, а й між галузями, які вважаються різними, є запропонована американ­сько-канадським математиком Робертом Ленглендсом програма встановлення зв’язків між представленнями, автоморфними фор­мами та групами Галуа⁵²⁸.

Знайдені атрибути первісних математичних реалій і відношен­ня між ними можуть конституюватися як нові математичні реа­лії, що приводить до безупинного якісного та кількісного зрос­тання універсуму математичних реалій. У випадку цілих чисел прикладом може слугувати утворення раціональних чисел за до­помогою ділення цілих чисел, а у випадку геометричних фігур — конструювання замкнутих тривимірних фігур з певних плоских геометричних фігур. Найвідомішими з цих тривимірних фігур є правильні опуклі багатогранники максимально можливої симе­трії. Тобто всі їх грані є рівними правильними многокутниками, а всі вершини є рівновіддаленими від деякої точки, яку назива­ють центром⁵²⁹. Це — правильний тетраедр (чотиригранник), куб (шестигранник), октаедр (восьмигранник), правильний додекаедр (дванадцятигранник), ікосаедр (двадцятигранник). їх також нази­вають платоновими тілами, тому що Платон надавав їм онтичний статус, асоціюючи їх з «мікроскопічною» будовою фізичних сти­хій давньогрецької натурфілософії. Щодо кубів, як складників та­кої фізичної стихії як Земля, то внаслідок фрагментації твердих порід домінуючою формою фрагментів в тривимірному випадку є саме кубоїдна форма⁵³⁰.

4.28.22. Значення опанування назвами для вивчення математики

Наприкінці цього розділу звернемо увагу читачів, зокрема ви­кладачів математики в загальноосвітній школі та у ЗВО, на чис­ленні педагогіко-дидактичні дослідження з питань викладання

4.28. Роль назв у математиці як утворенні чистого розуму елементарної та вищої математики⁵³¹. Ці розвідки асоціюють не­малу частину труднощів вивчення математики з опануванням назв її реалій та шукають шляхи їх подолання на ґрунті емпі­ричних досліджень процесів математичної освіти учнів. Сферою цих досліджень є західна філософія математичної освіти, яка, на нашу думку, має мало спільного з філософією освіти в її україн­ській версії⁵³².

4.28.23. Декілька побіжних зауважень стосовно онтичної проблематики на рівні систем знання з різних наук

З необхідністю з’ясування онтичного та пізнавального стату­су реалій, які позначаються певними назвами складників систем наукового знання та про які висловлюються за допомогою цих систем, стикаються не лише математики та філософи математи­ки. Аналогічна проблематика виникає в природничих і суспільних науках при спробах перейти від змістовного буденного опису до­сліджуваних феноменів до їхнього розуміння, інструментами яко­го є системи знання, розвиненою формою яких слід вважати нау­кові теорії. їхня пізнавальна цінність визначається передусім їх складниками, подібно до того, як споживчі якості автомобіля за­лежать від якості, надійності, корисності й зручності його частин і взаємодій між ними.

Як приклад стисло розглянемо під кутом онтичного стату­су складники спочатку природничих, а потім юридичних наук. Останні не лише досліджують правові суб’єкти, інституції та від­ношення у суспільстві, але мають розробляти правові засоби по­кращення останнього, тобто його прогнозованого реформування.

Пізнавальною метою створення будь-якої природничої нау­кової теорії є опис, пояснення, розуміння та передбачення атри­бутів, станів і закономірностей матеріальних реалій конкретної предметної галузі за фіксації умов її дослідження. Отримане знан­ня про ці реалії рано чи пізно використовується й з практичною ціллю — для конструювання раніше відсутніх у природі артефак­тів, тобто так би мовити, реалій спеціального призначення, які за­довольняють нові суспільні потреби.

Деякі теорії у фізиці, хімії та біології досягають цієї пізнаваль­ної мети завдяки залученню до свого складу назв складників, які з пізнавальної точки зору є формами здобуття нового знання про

досліджувані реалії. Причому онтичний статус низки внутріш- ньосистемних складників, як і у математичних теоріях, є при­наймні дискусійним. Прикладами є складники: «хвильова функ­ція» у квантовій механіці, «орбіталь» у хімії та «еволюція» у біо­логії. Такі назви дещо відрізняються від онтичних назв реалій з предметних галузей відповідних наук. У фізиці це такі назви, як «ядро» та «елементарна частинка», у хімії — «хімелемент», «мо­лекула», у біології — «організм», «клітина» та «ген». У науковців немає сумніву в існуванні позначених цими назвами реалій. Про­те, оперуючи саме зі складниками системи знання, позначеними переліченими вище внутрішньосистемними назвами, вчені здат­ні переконливо пояснити й описати реалії з відповідних предмет­них галузей. Тому й не дивно, що у філософії природничих наук жваво обговорюється проблема статусу в їх системах знання так званих теоретичних (неспостережуваних) сутностей (понять, ве­личин), яким нічого безпосередньо не відповідає в експеримен­тальній та спостережуваній сфері⁵³³—⁵³⁷.

Ще більш конструктивними, творчими є справжні суспільні та гуманітарні науки. Якщо використовувати термінологію Ф. Ніцше, то вони одночасно є й аполлонівськими та діонісійськими⁵³⁸. Перша їх ознака реалізується, коли вони намагаються досліджувати істо­ричні та сучасні сфери суспільного й індивідуального буття люди­ни та утворюють відповідні системи переважно описового знан­ня про них. їх часто теж називають теоріями, вважаючи зайвим уточнення того, чим є теорії. Друга ознака проявляється, коли на підставі отриманого соціального та гуманітарного знання влад­ні еліти ці сфери переформатовують. Трагічним прикладом тако­го вкрай невдалого переформатування є революційна перебудова людини й суспільства на засадах марксистської теорії класово­го суспільства та вічної непримиренної боротьби з метою фізич­ного знищення ворожих, начебто паразитичних класів. Альтер­нативою такій насильницькій метаморфозі є покрокова еволюція з ретельним, всебічним об’єктивним осмисленням результатів по­передніх кроків та економічно й соціально обґрунтованим про­гнозуванням позитивних і негативних наслідків чергового запла­нованого кроку⁵³⁹, ⁵⁴⁰.

Особливо важливу роль у цій еволюції займають право як со­ціальна інституція та юриспруденція як система правових наук. Юриспруденція може аналізуватися з різних боків та з різною ме­тою. Зокрема Роско Паунд запропонував її тлумачення як науки про соціальну інженерію: «Я запропонував розмірковувати про юриспруденцію як про науку соціальної інженерії, яка стосується тієї частини всієї сфери соціального контролю, яка може бути до­сягнута шляхом коригування людських відносин і впорядкування людської поведінки через дії політично організованого суспільства. Право є організованим корпусом [систем! — ОГ, ВК] знань [курсів теж наш — ОГ, ВК] щодо засобів задоволення людських вимог і очікувань, забезпечення інтересів шляхом виконання вимог чи бажань з найменшими тертями та марнотратством, наскільки це може бути здійснено правовим порядком; завдяки чому засоби за- доволення/сатисфакції можуть бути спрямовані якомога далі. Зав­дання соціальних наук полягає в тому, щоб зробити цей процес за­доволення людських вимог і очікувань, здійснення людських ба­жань постійно менш марнотратним. Вони прагнуть з’ясувати, як змусити цей процес протікати з меншим тертям і ефективніше за­довольнити більшу сукупність запитів людини. Як одна із суспіль­них наук, юриспруденція має в своїй галузі з’ясувати, яка части­на цього завдання може бути досягнута або перевищена правовим порядком і яким чином. Філософські юристи XIX століття зовсім не помилялися, думаючи про завдання примирення чи гармоніза­ції. Справді, ця концепція є не останнім внеском Канта в науку права. Але вони не думали про процес. Вони прагнули до універ­сального абстрактного узгодження чи гармонізації, де сьогодні ми розуміємо процес, що дає не більше ніж компроміси чи коректи­ви, правильні (оскільки ефективні) для певного часу й місця»⁵⁴¹.

Розгляд юриспруденції як знання з урахуванням його дифе­ренціації на взаємопов’язані специфічні системи знання дає мож­ливість говорити про використовувані ними назви як їх складни­ки. Не всі з них мають почуттєві кореляти у буденному сприйнят­ті соціального буття пересічною людиною.

З проблемою онтичного статусу деяких правових реалій, на­зви яких є у текстах законів, стикнувся засновник утилітаризму Джеремі Бентам. Розмірковуючи про те, що позначають право­ві назви на кшталт «юридичної особи» та «правової норми», він вважав їх референти/кореляти свого роду фіктивними/вигада- ними (fictitious) сутностями, що не існують незалежно від право­вої системи, до якої вони вводяться. Під терміном фікція (fiction) він мав на увазі: «...один із тих видів об’єктів, про які в кожній мові для цілей дискурсу треба говорити як про існуючі, — гово­рити про них так само, як і про об’єкти, які насправді існують і про існування яких серйозно йдеться, але без будь-якої небез­пеки створення будь-якого переконання в тому, що вони мають, кожен для себе, будь-яке окреме або, строго кажучи, будь-яке ре­альне існування»⁵⁴².

Можливо однією з причин складності засвоєння систем пра­вового знання громадянами, як і інших систем наукового зна­ння, є застосування у них назв, які не мають безпосередніх від­повідників у соціальному бутті. Нам невідомі спроби переформа- тування систем математичного та природничого знання з метою усунення з них складників, які є назвами реалій з сумнівним для пересічної людини онтичним статусом. Автори не мають тут на увазі популярне, вкрай потрібне подання таких систем, яке має просвітницьке значення, але не спроможне забезпечувати справ­жні пізнавальні функції отримання нового знання.

Проте щодо систем правового знання одна така спроба пе­реробки з метою його наближення до сприйняття нефахівцями була зроблена в соціалістичний Польщі. Ось що пише відомий правник та філософ права Лон Фуллер про розмову з колишньою міністеркою юстиції. Вона розповіла, що «на початку комуніс­тичного режиму докладалися серйозні та наполегливі зусилля для розробки законів, досить ясних, щоб їх могли зрозуміти робітни­ки та селяни. Проте незабаром виявилося, що такої зрозумілості можна досягти лише ціною втрати тих системних елементів пра­вової системи, які впорядковують її норми в одне зв’язане ціле й роблять їх придатними до послідовного застосування судами. Інакше кажучи, було виявлено, що надання законам форми, лег­ко зрозумілої громадянам, має зворотній бік, а саме, робить їх за­стосування судами більш свавільним і менш передбачуваним»⁵⁴³.

Представники українських правничих наук беруть активну участь у розробці проектів так званого писаного права⁵⁴⁴. Після їх прийняття Верховною Ради України та оприлюднення вони ста­ють частинами чинного законодавства. Розглянуті з точки зору їхнього текстового подання закони стають важливими чинника­ми не лише унормування, а й перетворення майже всіх сфер сус­пільного буття. В текстах юридичних законів, як і в математичних та природничих теоріях неминуче присутні назви, онтичний ста­тус яких є дискусійним та які зрозумілі лише особам зі справж­ньою (а не фіктивною) освітою. Спроби позбавитися таких назв з метою зробити право більш зрозумілим широкому загалу були би безуспішними та марними, як це й відбулося свого часу в Польщі.

Отже, професійні назви відіграють настільки суттєву роль у наукових системах знань, що є невід’ємною їх частиною. В при­родничих науках відмінність називного корпусу від сукупності бу­денних термінів викликає в невтаємничених громадян лише роз­дратування та позіхання. Натомість в юриспруденції терміноло­гічна нечіткість може цілком імовірно призвести до соціальних негараздів.

4.29.