СИСТЕМИ ТА ЇХНІ РІЗНОВИДИ Й ЗМІСТОВЕ УЯВЛЕННЯ ПРО МНОЖИНИ

Спочатку зазначимо, що в науковому обігу використовують багато термінів, похідних від грецького слова «система»¹³⁸: підсис­тема, надсистема, гіперсистема, полісистема, мультисистема, ієр­архічна система тощо.

Визначення. Множина — це сукупність елементів, що мають спільну характерну для її виокремлення ознаку.

Множина може бути природною в тому розумінні, що її еле­менти мають якусь спільну невипадкову рису/властивість, що й спричинює включення їх до відповідної множини. А може статися протилежне: вибір елементів не залежить від спільних рис, тому така множина є певною мірою «випадковою».

Прикладом природних систем є Сонячна, її елементами є всі небесні тіла, що рухаються навколо Сонця завдяки його граві­тації. Натомість прикладом випадкової системи можна вважати сукупність речей, яка знаходиться на вашому письмовому столі, адже склад цієї сукупності цілком залежить від ваших потреб і ва­шого бажання. Іншими прикладами множин є сукупність домаш­ніх меблів, особиста бібліотека, множина атомів Всесвіту, множи­на цілих чисел, множина всіх можливих трикутників.

Першим виокремив множини як окремий об’єкт досліджен­ня німецький математик Ґеорґ Кантор, згідно з яким «під множи­ною ми розуміємо об’єднання в деяке ціле М певних предметів нашо­го споглядання або нашого мислення, які добре розрізняються (вони називатимуться “елементами множини М”)»¹³⁹.

З наведеного визначення можна зробити два висновки.

Перший: елементи множини є різними, бо якби вони були од­наковими, то їх було б неможливо «добре розрізняти». В цьому сен­сі елементарні частинки не можна перераховувати та об’єднувати в множину так просто, як, скажімо, зернятка, хоча зернятка «скла­даються» з елементарних частинок. Елементарні частинки певного сорту є тотожними, так що їх неможливо позначати різними номе­рами. Лише за певних умов, коли частинок мало, можна стверджу­вати, скільки їх є в даному об’ємі. Проблеми квантової статистики доволі розмаїті і заслуговують окремого аналізу^{140, 141}.

Другий: стосовно будь-якої сутності в матеріальному або уяв­ному світі можна однозначно стверджувати належить вона чи ні до певної множини. Наприклад, нещодавно відкриті планети, які обертаються навколо інших, ніж наше Сонце, зір, не належать до множини, яку утворюють небесні тіла, що обертаються навко­ло нашого світила. Комп’ютери читачів не належать до множини комп’ютерів, якими володіють автори цього тексту.

У результаті відмови від якогось із цих припущень отримує­мо мультимножини, що містять тотожні елементи, та нечіткі мно­жини, в яких належність елементів до множини має різні ступе­ні. Про це йтиметься далі, коли розглядатимемо деякі точні мето­ди філософії науки.

Звернімо увагу на важливе поняття порожньої множини, тобто множини, яка не містить жодних елементів. У зв’язку з цим вар­то навести розлогу цитату з книги російського математика Владі- міра Успенського: «Однією з математичних абстракцій є порожня множина. Саме поняття “множина”, подібно поняттю “натураль­не число”, є одним з первинних, невизначених математичних по­нять, пізнаваних із прикладів. Синонімом математичного термі­на множина є слово “сукупність”; об’єкти, що входять у будь-яку сукупність, вона ж множина, називаються її елементами. Слово “множина” може навести на думку, що в множині має бути ба­гато елементів — тим більше, що головне загальномовне значен­ня цього слова справді виражає цю думку, як, наприклад, у фразі “можна вказати множину причин... ”. Ця помилкова думка руй­нується вже тією заявою, що «множина» (в математичному сен­сі) і “сукупність” суть синоніми: адже кількість елементів у су­купності може бути і малою. Зауважимо, до речі, що перекла­ди терміна “множина” на французьку мову (ensemble) і на англій­ську мову (set) не містять ідеї “багато”. Задаймося питанням, чи може сукупність складатися з одного елемента. Математик відпо­вість категоричним “так”. Для гуманітарія ж мінімально можли­ва кількість елементів сукупності — це два. Але математики віль­но оперують і порожньою множиною, яка зовсім не містить еле­ментів. На заняттях з математики гуманітарії швидко засвоюють це поняття (зокрема, погоджуються, що порожня множина одна: порожня множина крокодилів і порожня множина планет — це одна і та сама множина)»¹⁴².

2.9.