ДОВЕДЕННЯ І СПРОСТУВАННЯ ЗАСОБАМИ СУЧАСНОЇ ЛОГІКИ

Щоб з'ясувати коректність (некоректність) доведення (спростування), треба ретельно відслідкувати його логічну структуру та зв'язки між елементами міркування, у формі яких воно постає.

Аналіз міркувань вищеозначених логічних дій передбачає їх формалізацію мовою відповідних логічних теорій. Це означає, що ви повинні мати добрі навички перекладу міркувань мовою цих логічних теорій та вміння утворювати й перетворювати символічні вирази на підставі певних правил і законів. Тому ви мусите залучити сюди набуті раніше знання за навчальним елементом: „Мова логіки”.

6.2.1. Доведення і спростування засобами логіки висловлень

Для обґрунтування коректності (чи некоректності) доведення і спростування можна використати наступні методи логіки висловлень: метод таблиць істинності, метод аналітичних таблиць, числення в системі натурального виводу, а також зведення формул до нормальних форм: кон'юнктивної нормальної форми, досконалої кон'юнктивної нормальної форми, скороченої кон'юнктивної нормальної форми, зведення формул до диз'юнктивної нормальної форми, досконалої диз'юнктивної нормальної форми, скороченої диз'юнктивної нормальної форми.

6.2.1.1. Обґрунтування вивідності тези

з аргументів методом таблиць істинності

Завдання. Обґрунтуйте вивідність тези з аргументів методом таблиць істинності:

„Якщо українці стануть справжніми громадянами своєї країни, то антинародний політичний режим в Україні зміниться на демократичний.

Відповідь. Логічна структура даного міркування дає підстави вважати, що доведення подано у формі умовно- категоричного умовиводу, де тезою є висновок: „Антинародний політичний режим в Україні замінено на демократичний” (Т). Аргументами, з яких випливає теза, є висловлення: „Якщо українці стануть справжніми громадянами своєї країни, то антинародний політичний режим в Україні замінено на демократичний” (а1); „Українці стали справжніми громадянами своєї країни” (а₂).

Схема або модель доведення:

Щоб обґрунтувати вивідність тези (q) із аргументів а1 та а₂, перетворюємо структурну схему умовиводу в лінійну (засновки-аргументи з'єднуємо кон'юнкцією („А”), а висновок-тезу приєднуємо імплікацією (,,→"):

Отриману формулу апробуємо методом таблиць істинності, тобто визначаємо істиннісне значення цієї формули:

можливих наборів значень змінних (p і q) в усіх рядках набирає значення „і” (свідченням цього є значення в

останньому стовпчику), то з певністю можна твердити про те, що висновок-теза (q) з необхідністю випливає із аргументів: а1 (p→q) та а2 (р).

Отже, доведення є коректним, бо між тезою і аргументами наявне відношення логічного слідування.

Таким чином, ми переконались у тому, що коректність форми міркування забезпечує коректність доведення, і навпаки.

Завдання. Перевірте логічну коректність доведення у формі умовно-категоричного умовиводу методом таблиць істинності, де аргументами-засновками є формули а теза-висновок - формула

Відповідь.

Її істиннісне значення абологічна валентність буде наступною:

формули, що репрезентує доведення, дає підстави вважати, що дане доведення є некоректним, оскільки істиннісне значення його формули є „нейтральним”: у третьому рядку головного стовпчика формула набирає значення,,х” (хиба). Отже, доведення у такій формі умовно-категоричного умовиводу є некоректним, оскільки порушено правило умовно- категоричного умовиводу: „з істинної підстави логічно випливає істинний наслідок; хибність підстави не зумовлює хибності наслідку” та „з хибності наслідку випливає хибність підстави, істинність наслідку не зумовлює істинності підстави”.

Логічний аналіз коректності чи некоректності форми доведення залежить від чіткості й точності репрезентації її формальними засобами відповідної логічної системи. Структуру форми міркування треба виявляти, іноді домірковувати, ба навіть не брати до уваги уточнюючі

елементи, які можуть спотворювати зміст міркування. За таких обставин не має значення, яке місце в структурі міркування займають теза чи аргументи: спершу теза, а відтак аргументи, чи аргументи, а потім теза. Крім цього, ви мусите мати на увазі й те, що не завжди є можливість застосувати формальні (символічні) засоби тієї чи тієї логічної системи для логічного аналізу доведення чи спростування.

У такому випадку треба звернутися до адекватних засобів змістовного аналізу міркувань або вдатися до створення нових методів аналізу. Проте, не забувайте, що формальні методи є похідними від змістовних в історичному плані. Крім цього, треба мати на увазі, що жоден метод не є універсальним. Межі застосування одного методу можна продовжити іншим, а у випадку відсутності такої можливості треба активізувати творчі потенції пошуку.

Отже, розв’язання проблеми розв’язковості стосовно доведення чи спростування можливе різними методами. У такий спосіб ми навчаємось розв’язувати кілька завдань, а саме:

а) виявляти сильні й слабкі сторони апробованого нами методу;

б) встановлювати межу його застосування; в) вести пошук нових методів логічного аналізу міркувань, що репрезентують доведення і спростування і тощо. Проте наразі мусимо оволодіти наявними методами, апробованими практикою логічного аналізу. Крім цього, маємо також пам’ятати про те, що методи сумірних логічних теорій не тільки доповнюють один одного, але й взаємновиключають один одного. Методи традиційної логіки вмотивували методи класичної логіки (логіки висловлень і логіки предикатів), останні стали основою методів некласичних логік. Так, наприклад, метод аналітичних таблиць, виведений на базі методу таблиць істинності, як не дивно, є зручнішим (за одних і тих же обставин), ніж його основа; на фундаменті числень логіки висловлень будуються числення логіки предикатів, числення некласичних логік тощо.

Оскільки ви знайомі з методом аналітичних таблиць (навчальний елемент „Складні судження”), то перейдемо до проблеми обґрунтування коректності чи некоректності доведення чи спростування цим методом.

6.2.1.2. Обґрунтування вивідності тези

з аргументів методом аналітичних таблиць

Завдання. Застосовуючи метод аналітичних таблиць, обґрунтуйте вивідність тези з аргументів:

Оскільки таблиця „замкнена”, тобто змінні, що входять до її складу, мають протилежні істиннісні значення F і Т („хиба” та „істина”), робимо висновок про те, що дана формула, якою подано доведення, є тавтологією. Це означає, що теза (q) випливає із аргументів аі (р ^ц)та а₂ (р) Отже, доведення є коректним.

Варіант відповіді без пояснення:

Отже, теза q є вивідною з аргументів р → q та р.

Здійснюючи аналіз міркувань, що репрезентують дове­дення (спростування), пам’ятайте, що таблиці називаються аналітичними тому, що „розкладаючи” складну формулу на її складники, ми намагаємось віднайти такий набір значень складників, за яких вихідна формула виявилася б хибною.

6.2.1.3. З’ясування коректності (некоректності) доведення за допомогою числення у системі натурального виводу (СНВ) логіки висловлень за кратною імплікацією

За способом обґрунтування тези, доведення поділяють на прямі й непрямі. Нагадаємо: прямим називається доведення, в якому істинність тези безпосередньо випливає з аргументів, а непрямим є таке доведення, в якому істинність тези виводиться на основі певних правил слідування і припущень, зворотних доведенню.

Щоб здійснити пряме (непряме) доведення в системі натурального виводу (СНВ), необхідно знати не тільки загальний алгоритм побудови означених доведень (спростувань), а й правила та закони, які забезпечують перехід від одних висловлень (формул) до інших, і в такий спосіб забезпечують (не забезпечують, якщо їх порушити) зв’язок між аргументами і тезою.

Загальний алгоритм побудови прямого доведення:

3) доведення завершуємо доводжуваною формулою.

Крім знання алгоритму побудови доведення в СНВ, ви маєте знати усі правила логічного слідування, тобто правила, закони логічного переходу від вихідних формул до похідних.

Зауважу, що ці правила і закони СНВ додаються (Див. додаток 8.6).

Пряме доведення в СНВ логіки висловлень

Завдання. Обґрунтуйте вивідність тези із аргументів у СНВ:

Оцінюючи зв'язки між утвореними підформулами, тобто „наслідками” із формули-припущення і, застосовуючи правило логічного слідування Дил₃ (дилема третя або складна конструктивна дилема), виводимо тезу (q V.v):

Отже, доводжувана теза виводиться із даних аргументів, оскільки її формула співпадає із формулою, яка отримана в результаті числення.

Для побудови прямого чи непрямого доведення тези має неабияке значення розуміння кратності імплікації. Нагадаємо, що кратна імплікація - це формула вигляду:

Нулькратна імплікація містить консеквент (С) і не містить антецедентів.

Крім цього, треба мати на увазі, що пряме доведення вважається побудованим, якщо ми отримали послідовність формул, яка закінчується формулою С, тобто консеквентом. У контексті теорії аргументації консеквентом є теза, тоді як антецеденти виконують роль аргументів.

Отже, пряме доведення кратної імплікації постає як спосіб виведення тези з аргументів через з’ясування відношення логічного слідування за допомогою припущень та правил слідування. Незважаючи не тривіальність, числення в СНВ логіки висловлень (як метод обґрунтування тези прямим чи непрямим способом) має певні переваги над іншими методами з’ясування зв’язку між внутрішніми структурними елементами доведення та їх субструктурами, оскільки звільняє нас від побудови громіздких розв’язкових процедур табличним методом тощо. Введення у числення припущень, раніше доведених формул (р. д. ф.) тощо. розширює можливості цього методу.

Візьмемо для прикладу доведення формули q→q. Воно виглядатиме так:

Безперечно, що таке доведення є тривіальним. Проте його результат можна використати в нетривіальному прямому доведенні.

4. Дил.і (1,2,3) або УД (усунення диз’юнкції) від (1,2,3).

Поданого вище достатньо, щоб переконатися в ціннісних потенціях методу числення в СНВ.

Непряме (апагогічне) доведення

Непряме доведення у формі кратної імплікації постає як числення, інтенційно спрямоване на виведення з антецедентів формули, яка суперечить консеквенту доводжуваної формули.

Щоб здійснити непряме доведення, треба запам’ятати його алгоритм чи припис:

1. Одну із формул A₁, A₂,... A_n записуємо в якості припущення;

1. а) Записуємо припущення непрямого доведення, тобто формулу, яка суперечить консеквентну (~С);

2. Записуємо формули, що випливають із припущень і раніше доведених формул за одним із правил слідування;

3. З’ясовуємо або виявляємо суперечність у наслідках.

У випадку, якщо головним знаком формули, що репрезентує зв’язок елементів доведення, не є знак кон’юнкції чи еквіваленції, то у ролі єдиної гіпотези (аргумента) можна взяти для аналізу заперечення цієї формули. Такі доведення не лише уможливлюють широкий спектр застосування правил слідування, а й сприяють актуалізації потенцій творчої інтуїції.

застосували наступні правила слідування: ЗІ (заперечення імплікації) - двічі (2 і 5 рядки); УК (усунення кон’юнкції) - 4 рази (рядки 3,4,6,7); ВК (введення кон’юнкції) - 1 раз в 9 рядку; МТ (modus tollens або усунення імплікації) у 8-му рядку.

У якості розв’язкової процедури можна використовувати редукцію або зведення формул, що репрезентують доведення чи спростування, до нормальних форм: до кон’юнктивної чи диз’юнктивної нормальних форм, а також досконалих чи скорочених кон’юнктивних чи диз’юнктивних нормальних форм, як логічних засобів з’ясування й оцінки класу формул шляхом еквівалентних перетворень і, в такий спосіб, розв’язувати проблему вивідності чи невивідності тези з аргументів, виявляти усі можливі тези-наслідки, або тільки прості, а також здійснювати пошук усіх аргументів-гіпотез або тільки простих тощо. Якщо, наприклад, отримана в результаті перетворень та чи інша формула виявиться тотожно істинною, то репрезентоване вихідною формулою доведення (спростування) є коректним, якщо ж з’ясується, що отримана формула є тотожно хибною (суперечністю), то репрезентоване

формулою доведення (спростування) є некоректним. У такому випадку або корелюється логічний зв'язок між формулами, що виражають тезу чи аргументи, або доведення (спростування) відкидаються як неможливі.

6.2.1.4. Розв’язкові процедури з’ясування коректності доведення чи спростування методом зведення формул, що їх репрезентують, до нормальних форм та їхніх модусів - КНФ, ДНФ, ДКНФ, ДДНФ, СКНФ та СДНФ

Розв'язкові процедури зводиться до наступного. Вам відомо, що формули логіки висловлень діляться на три класи: тотожно істинні, тотожно хибні та нейтральні. З'ясування класу формули, що виражає структуру доведення чи спростування, є семантичною і синтаксичною проблемою розв'язковості для формул логіки висловлень. Якщо з'ясовано, до якого класу належить та чи інша формула, то проблема розв'язковості є розв'язаною. Цей принцип поширюється і на формули, що виражають доведення чи спростування: якщо формула, що репрезентує доведення (спростування), - тотожно істинна, то доведення чи спростування є коректним; якщо формула - тотожно хибна, то репрезентовані нею доведення чи спростування є некоректним; якщо ж формула є нейтральною, то репрезентовані нею доведення чи спростування є проблематичними. Крім цього, треба мати на увазі наступне: у випадку отримання тотожно хибної формули, варто застосовувати розв'язкову процедуру до її запереченої форми; якщо виявиться, що заперечена тотожно хибна формула виявиться тотожно істинною, то вихідну формулу треба визнати тотожно хибною; якщо ж вихідна формула та її заперечення не будуть тотожно істинними, то її слід визнати нейтральною.

Зведення формул до нормальної її форми (НФ) є процесом перетворення їх у рівносильні за рівносильностями (Див. додаток 8.4). Формула логіки висловлень має нормальну форму, якщо вона: а) не містить знаків →, θ та θ; б) знаки заперечення стоять тільки при змінних. Наприклад, формула

доведення чи спростування.

Щоб застосувати розв'язкову процедуру до формул логіки висловлень, що репрезентують доведення чи спростування, треба звести їх до нормальної форми.

Алгоритмрозв’язкової процедури полягає в наступному:

1) зводимо вихідну формулу до нормальної форми (НФ);

2) виділяємо в НФ змінні, які входять до неї нерегулярно (змінна входить у НФ формули тільки із запереченням, або тільки без заперечення);

3) замість усіх нерегулярно входжуваних змінних (та їх заперечень) підставляємо на всіх місцях символ „Х”, що означає „хиба”;

4) застосовуємо рівносильності 48, 48', 50, 50' до усіх підформул отриманої формули доти, поки відпаде потреба в їх застосуванні. Якщо ж з'являться нові нерегулярно вхідні змінні, то з ними чинимо так само, як вимагається пп. 3 і 4 цього припису. Передбачені в пп. 2-4 перетворення повторюємо доти, поки не отримаємо формулу, яка не буде містити нерегулярно вхідних змінних;

5) далі розглядаємо дві формули (а) та (б), які не містять нерегулярно вхідних змінних:

(а) замість однієї з регулярно вхідних змінних на всіх місцях підставляємо символ „І” („істина”) і застосовуємо правило рівносильної заміни за рівносильностями 43, 47-50 (регулярною вважається змінна, яка входить у формулу одночасно із запереченням і без заперечення);

(б) замість тієї ж самої змінної на всіх місцях підставляємо букву „Х” („хиба”) і застосовуємо правило рівносильної заміни за рівносильностями 44, 47-50.

До формул (а) та (б), якщо це можливо, знову застосовуємо пп. 2-4, а відтак, згідно з п.5 із формул (а) та (б) отримуємо формули аа), аб) і ба), бб) тощо до тих пір, поки не вичерпаємо застосування пп. 2-5.

Якщо в результаті застосування цієї процедури до формули усі заключні формули будуть істинними („І”), то

Отже, теза (p Л q) випливає з аргументів p і q.

У ролі розв'язкових процедур можна використовувати також методи редукції (зведення) формул, що репрезентують доведення чи спростування, шляхом еквівалентних перетворень до таких форм: кон'юнктивної нормальної форми (КНФ), диз'юнктивної нормальної форми (ДНФ), досконалої кон'юнктивної нормальної форми (ДКНФ), досконалої диз'юнктивної нормальної форми (ДДНФ), скороченої кон'юнктивної нормальної форми (СКНФ) та скороченої диз'юнктивної нормальної форми (СДНФ).

Розглянемо ці форми в зазначеному порядку.

Задля того, щоб використати ці розв'язкові процедури в ролі засобів з'ясування коректності чи некоректності доведення (спростування), маємо засвоїти алгоритми процедур зведення до кожної з названих форм. Безперечно, ці приписи з часом забуваються, тому бажано їх записати на окремих карточках, а відтак принагідно користуватися ними. Основне завдання процесу навчання полягає не в тому, щоб якомога більше накопичити інформації, а в тому, щоб уміти нею користуватися у практичній діяльності.

Засвоївши процедуру зведення формул до нормальної форми та її значення для з'ясування питання коректності міркувань, що виражають доведення чи спростування, можемо приступити до зведення формул, що репрезентують такі міркування, до КНФ чи ДНФ, яке передбачає спершу редукцію формул до НФ, а відтак, за відповідним приписом, зведення їх до КНФ чи ДНФ.

Застосовуючи розв'язкову процедуру зведення формули до КНФ чи ДНФ, можна для будь-якої формули з довільного

списку формул A₁, A₂ A_n розв’язати завдання: чи є

формула В логічним наслідком із сукупності засновків A₁, A₂,... A_n,чи ні.

Зведення формули до КНФ визначає її тотожну істинність, а зведення формули до ДНФ визначає її тотожну хибність. У випадку, коли ДНФ виявиться не хибною, то її можна звести до КНФ шляхом застосування закону дистрибутивності до тих пір, поки ми не отримаємо КНФ.

Вам відомо, що вираз логіки висловлень є тотожно істинним, якщо в кожному диз’юнктивному членові його кон’юнктивної форми будь-яка змінна зустрічається один раз із запереченням, а другий - без заперечення. Якщо ця умова не виконується, то вираз є хибним або нейтральним. Так ось: якщо вихідна формула репрезентує доведення, то отриманий результат дає підстави зробити висновок про те, що воно є коректним, а отже, теза-наслідок q випливає з необхідністю із даних аргументів-засновків p і p → q.

За допомогою цього методу можна спростовувати демонстрацію.

Як уже зазначалося, зведення будь-якої формули до диз’юнктивної нормальної форми має за мету визначити: чи є формула тотожно хибною або суперечністю. Нагадаємо, що вираз логіки висловлень є суперечністю, якщо в кожній кон’юнкції, що складає диз ’юнктивну нормальну форму, будь-яка змінна входить у підформулу хоча б один раз із запереченням, а другий раз - без нього. Тобто ДНФ є тотожно хибною, якщо усі диз'юнкти є хибними. За інших умов вона може бути нейтральною. Таким чином, виявивши суперечність виводу за допомогою ДНФ, що репрезентує доведення (спростування), ми маємо підставу визнати його некоректним.

Таким чином, завершуючи знайомство з деякими методами, процедурами, способами логічного аналізу формул, що репрезентують доведення (спростування) у контексті логіки висловлень як логічної теорії, ви переконалися не тільки в її прагматичності, а й набули самі певних навичок і умінь оперувати її законами, правилами, методами. Зауважимо, що не всі вони є наразі достатніми для розв’язання складних проблем, пов’язаних із з’ясуванням логічних основ аргументації тощо. Як і будь-які методи, вони обмежені в застосуванні. Досить часто і доведення, і спростування як форми і способи міркування потребують нових засобів логічного аналізу, зумовлених не тільки формою, а й мовою, якою вони формалізуються, а також відповідними правилами і законами утворення й перетворення формул, що репрезентують доведення і спростування.

6.2.2. Доведення і спростування засобами логіки предикатів

Логіка предикатів як логічна теорія є розширенням логіки висловлень, тому основні правила, закони і методи останньої переходять у логіку предикатів. Звідси випливає, що засоби логічного аналізу логіки висловлень можна застосовувати в логіці предикатів для з’ясування логічної природи міркувань, у формі яких здійснюються доведення і спростування. Сказане не означає, що логіка предикатів позбавлена іманентних їй засобів логічного аналізу міркувань. Є чимало розв’язкових процедур, вироблених логікою предикатів, якими послуговуються для з’ясування коректності міркувань, що репрезентують вказані вище логічні дії.

Як правило, доведення (спростування) постають у формі умовиводів логіки предикатів (безпосередніх чи опосередкованих), моделі чи схеми яких вам відомі. Найпоширенішою дедуктивною формою прямого й непрямого доведення (спростування) є простий категоричний силогізм, його фігури, модуси та полісилогізми. Якщо в традиційній логіці аналіз цих логічних форм подається переважно змістовно, то в логіці предикатів переважають розв’язкові процедури у вигляді формальних числень. Потреба впевнитись у досконалості чи коректності доведення (спростування) на рівні змістовного логічного аналізу актуалізує пошук методів чи засобів формалізованого аналізу. Мусимо зауважити, що змістовний і формальний виміри логічного аналізу взаємозумовлюють і взаємодоповнюють один одного, а не виключають. До цього слід додати й таке: знайомство з розв’язковими процедурами логіки предикатів - це пролегомени до логічного аналізу дискурсу як однієї з форм текстового подання доведення чи спростування.

6.2.2.1. Розв’язкова процедура для дедуктивних форм обґрунтування вивідності тези з аргументів

Якщо доведення постає у формі модусів простого категоричного силогізму, то для з’ясування вивідності тези- висновку із аргументів-засновків користуємося розв’язковою процедурою для виводів логіки предикатів.

Суть цієї процедури розглянемо на прикладі розв’язання конкретного завдання, щоб ви могли збагнути його алгоритм.

Завдання. Обґрунтуйте за допомогою розв’язкової процедури логіки предикатів вивідність тези з аргументів у доведенні, що має форму третього модусу третьої фігури силогізму.

Відповідь. Третім модусом третьої фігури є модус Datisi. Голосні літери у слові Datisi (a, і, і) вказують на те, що більший засновок силогізму є загальноствердним судженням (А), менший засновок - судження частко- воствердне (І), висновок - судження частковоствердне (І). За означенням, третьою фігурою силогізму є такий його вид, в якому середній термін (М) займає місце суб’єкта в більшому і меншому засновках. Доведення у формі модусу Datisi має такий вигляд:

Щоб обґрунтувати вивідність тези „Деякі українці - безстрашні” із аргументів-засновків а₁ та а₂ розв’язковою процедурою логіки предикатів, ми мусимо заформалізувати мовою логіки предикатів і засновки, і висновок:

З’єднуємо засновки-аргументи кон’юнкцією, а висновок- тезу приєднуємо імплікацією:

Таблиця істинності дає підстави твердити, що формула модусу яка репрезентує дедуктивне доведення мовою логіки предикатів, є тотожно істинною або логічно

загальнозначущою, а відповідний їй умовивід - коректний.

Отже, теза „Деякі українці - безстрашні” випливає з аргументів „Усі патріоти - безстрашні” та „Деякі патріоти - українці”.

Зауважимо, що відповідь можна подавати без пояснення процедури перетворення формул за рівносильностями. У такому випадку умовивід подаємо у формалізованому вигляді, а відтак здійснюємо розв'язкову процедуру.

Завдання. Здійсніть обґрунтування вивідності тези з аргументів за модусом Dimaris розв'язковою процедурою логіки предикатів.

6.2.2.2. Розв’язкова процедура в системі натурального виводу

Обґрунтувати вивідність (невивідність) тези з аргументів можна численням в системі натурального виводу (СНВ) логіки предикатів, послуговуючись правилами і законами логіки предикатів, що забезпечують перехід від вихідних формул до похідних. (Див.: Додаток 8.7). Отже, обґрунтовуючи логічну коректність чи некоректність доведення (спростування) методом числення, ми водночас розв’язуємо проблему вивідності чи невивідності тези з аргументів. Безперечно, що мовиться про ті фрагменти знання (змістовні, формальні чи напівформальні), котрі репрезентують доведення чи спростування.

Завдання. Обґрунтуйте вивідність тези з аргументів у системі натурального виводу логіки предикатів за формулою, що репрезентує доведення:

312

6.2.2.3. Розв’язкова процедура визначення коректності форми доведення (спростування) методом аналітичних таблиць

Розв’язкова процедура методом аналітичних таблиць передбачає знання аналітичних правил (Див. додаток 8.10).

Завдання. Визначте методом аналітичних таблиць логічну коректність доведення у формі силогізму: „Усі українці - талановиті. Шевченко - українець. Отже, Шевченко - талановитий”.

Таблиці засвідчують, що дана формула є замкненою. Це означає, що формула, яка репрезентує доведення, є логічним законом. Отже, між засновками-аргументами і висновком- тезою наявне відношення логічного слідування.

Завдання. Обґрунтуйте методом аналітичних таблиць вивідність тези з аргументів за модусом Cesare.

6.2.2.4. Доведення і спростування за допомогою законів і правил логіки висловлень та логіки предикатів

Для з’ясування коректності чи некоректності доведення і спростування користуються одними і тими самими логічними засобами. але різняться вони функціонально. Подібне спостерігаємо за формами і способами доведення чи спростування: не будь-який дедуктивний умовивід є дедук­тивним доведенням. як і дедуктивне доведення не завжди відбувається у формі дедуктивного умовиводу. не кажучи вже про взаємозв’язок прямого й непрямого доведення чи спростування.

Доведення чи спростування постають у вигляді певних фрагментів знання. виражених як природною мовою. так і мовою символів. Ці фрагменти є певною системою різноманітних розсудкових форм. внутрішня структура яких містить різнотипні форми мислення. що відображають рух думки залежно від онтології предмета міркування. а тому

зв'язки між цими формами мислення виражають певні види - форми, які є водночас і способами переходу від однієї думки до іншої, які можуть виконати іманентну їм логічну функцію у контексті правил і законів споріднених або доповнюваних логічних систем. Часто в доведенні (спростуванні), де застосовують правила і закони логіки висловлень і логіки предикатів, виникають труднощі, пов'язані з вибором вихідних виразів і правил міркування, а також пошуком шляху, який веде від вихідних виразів до спростовуваного чи доводжуваного.

Принципово не має значення, яке місце посідає теза у структурі доведення (спростування): чи спершу формулюється теза, а відтак підбираються аргументи та з'ясовують зв'язок між ними, чи теза є наслідком з аргументів, що сформульовані раніше, а нам залишається знайти тільки зв'язок між ними тощо. Так чи інакше, ми мусимо знайти можливий хід думки, що потребує або уже має обґрунтування, за способом чи формою набуття нею істиннісного значення.

Пряме доведення тези полягає у тому, щоб із апробованих практикою істинних висловлень-засновків отримати істинний висновок за правилами чи законами відповідної логічної теорії. У простих випадках доводжуване речення отримують як результат підстановки.

Розглянемо метод підстановки на прикладі.

Завдання. Доведіть тезу „Існують центристи”.

Якщо записати цей мовний вираз мовою логіки предикатів, то він набере вигляду квантованого квантором існування предикатора та прикванторної і предикатної предметної змінної, а саме: Ξ_x R^, де предикатор R означає „бути центристом”, а x - область людей.

Відповідь. Щоб довести сформульовану тезу Ξ_x R_xi, треба віднайти аргументи. Такими аргументами можуть бути закони логіки предикатів та вирази, які приймаються нами за істинні:

316

Бувають випадки, коли пряме доведення неможливе або недоцільне. Тоді істинність тези намагаються довести „від супротивного”, або „від протилежного”. Треба мати на увазі, що із моделі чи схеми доведення можна сконструювати модель чи схему спростування, замінюючи слово „істина” на „хиба”. Можна довести тезу, обґрунтувавши аргументи, але не можна спростувати тезу, спростовуючи аргументи, бо не завжди хибність аргументів веде до хибності тези. Спростування аргументів актуалізує пошук нових аргументів. Неможливо спростувати тезу, довівши відсутність відношення логічного слідування між тезою і аргументами. У цьому випадку пошук треба вести також в напрямку знаходження нових аргументів.

6.2.2.5. Інтерпретація як засіб обґрунтування коректності доведення або спростування

Інтерпретація, як і будь-який спосіб обґрунтування коректності доведення чи спростування, не є універсальним засобом, але може бути використана в практиці логічного аналізу як допоміжний метод. Знайомство з цим методом дає можливість розширити уявлення про розв’язкові процедури логіки предикатів.

319

При х = 4 отримаємо хибне висловлення:

(4-парне число) ^(3-парне число) Л (4-парне число).

Цей результат зумовлений тим, що формулане

є замкненою, а її інтерпретація залежить від вільної змінної х.

У логіці предикатів ми маємо справу з універсальною множиною, яка може містити значну кількість елементів. За такої умови складання таблиць істинності стає неможливим. Крім того, в логіці предикатів містяться предикатні змінні, значеннями яких є конкретні предикати. Щоб застосувати розроблений апарат аналізу логіки висловлень у логіці предикатів, треба надати предикатним змінним певної інтерпретації. Нагадаємо, що інтерпретацією формули на певній множині називають заміщення кожної и-місної предикатної змінної у формулі відповідним и-місним входженням кожної предметної сталої (деяким елементом з множини М). Інтерпретацією формули логіки предикатів, яка не містить вільних предметних змінних, є певне висловлення. Коли формула містить вільні предметні змінні, інтерпретація дає висловлювальну форму, істиннісне значення якої залежить від вільних змінних.

З метою кращого засвоєння процесу оцінки формули логіки предикатів, розглянемо випадок, коли множина інтерпретації М містить два елементи {a,b}, а предикати, що входять у дану формулу, двомісні.

На двоелементній множині {a,b} кількість одномісних логічних функцій дорівнює чотирьом. Виписуємо їх у таблицю (символом „L” позначаємо логічну функцію), а істиннісне значення функції залежить від аргументів „х” та „і”.

Мета розв'язкової процедури полягає у наступному.

Застосовуючи метод інтерпретації, ми оцінюємо формулу, що виражає або репрезентує, наприклад, доведення, на її істиннісне значення. З’ясовуючи логічне значення формули, ми розв’язуємо водночас проблему про клас формули, а також питання про наявність відношення логічного слідування між формулами, що виражають аргументи, та формулами, які репрезентують тезу в структурі конкретного доведення.

Отже, формула V_ХP(_Х)→P(_У) є тотожно істинною. Таким чином, теза Р(_у) випливає з аргумента У_ХР_(Х). Дане доведення є коректним.

Щоб отримати підсумкову таблицю інтерпретації формули '^_хР(_Х)^Р(у) на множині {a,b}, мусимо здійснити оцінку формули за відповідною процедурою.

Результати інтерпретації обчислюємо для кожного рядка, користуючись значеннями логічних функцій L₁ - L₄ за таблицею:

6.3.