Логические операции с понятиями
Когда в наших рассуждениях мы используем союзы «и», «или» и частицу «не» (или их разнообразные эквиваленты), то осознанно или бессознательно мы выполняем соответственно операции умножения, сложения и вычитания.
Если я утверждаю, что «сегодня пасмурно и холодно», то я умножаю сегодняшние пасмурные дни на сегодняшние холодные дни и тем самым намереваюсь сказать, что сегодняшний день пасмурный и холодный одновременно.
Если я настаиваю на том, что «сегодня пасмурно или холодно», то я складываю сегодняшние пасмурные дни с сегодняшними холодными днями, имея в виду одну из следующих альтернатив - сегодня или только пасмурно, или только холодно, или пасмурно и холодно одновременно.
Если я убежден, что «невозможно, чтобы сегодняшний день был пасмурным и холодным», значит я отрицаю данную альтернативу и утверждаю истинность ее дополнения, именно что «сегодня либо не пасмурно, либо не холодно, либо не пасмурно и не холодно одновременно».
Таким образом, базисных логических операций всего три: сложение, умножение и вычитание. Производной следует считать операцию деления (классификации, разбиения универсума на совместно исчерпывающие и взаимно исключающие классы). Для ясности определение базисных операций дано для двух понятий, обозначенных символами А и В.
Пусть знак «+» обозначает операцию сложения понятий; знак «х» - операцию умножения понятий; знак «-» - операцию вычитания понятий; знак «-» - операцию логического отрицания (читается как «неверно, что»); «0» - знак пустого (противоречивого, невозможного) класса.
Примем допущение, что для двух произвольных понятий А и В последовательность символов (А и В) обозначает класс вещей, обладающих свойствами А и В одновременно; (А и не-В) - класс вещей, обладающих свойствами А, но не обладающих свойствами В; (не-А и В) - класс вещей, не обладающих свойствами А, но обладающих свойствами В; (не-А и не- В) - класс вещей, не обладающих свойствами ни А, ни В.
Так как понятия могут быть совместимыми и несовместимыми, рассмотрим результаты сложения, умножения и вычитания для каждого вида последовательно.Сложением понятий называется конструирование нового понятия, объем которого состоит из всех (без повторения) классов, входящих в объемы складываемых понятий
1. А и В - эквивалентные понятия.
Тогда А+ В= А= В, т.е. результат сложения таких понятий равен объему любого одного из них.
«Мужчина» + «сын» = «мужчина» = «сын».
Как частный случай имеем: А + А = А.
Если 1 + 1 = 2, то «одна вещь» + «одна вещь» = «одна вещь». Сложение двух эквивалентных понятий не приводит к удвоенной сумме, как это имеет место при сложении равных натуральных чисел.
2. А и В - независимые понятия.
Тогда А + В = (А и В) + (А и не-В) + (не-А и В) + (не-А и не-В).
«Вкусные вещи» + «полезные вещи» = «вкусные и полезные вещи», или «вкусные, но не полезные вещи», или «невкусные, но полезные вещи», или «невкусные и неполезные вещи».
3. А - родовое, В - видовое понятие.
Тогда А+ В= А.
«Утро» + «пасмурное утро» = «утро».
4. А и В - противоречащие понятия.
Тогда А + В = U.
«Дорогая вещь» + «недорогая вещь» = «вещь».
5. А и В - противоположные понятия.
Тогда А + В = (А и не-В) + (не-А и В) (А или В, но не оба вместе). «Вещь слева» + «вещь справа» = «вещь слева или справа».
6. А и В - соподчиненные понятия.
Тогда А + В = (А и не-В) + (не-А и В) (А или В, но не оба вместе). «Вещь желтого цвета» + «вещь синего цвета» = «вещь желтого или синего цвета».
7. А и В - частично совместимые понятия.
Тогда А+ В= U. «Неумные люди» + «неглупые люди» = «люди».
Умножением понятий называется конструирование понятия, объем которого состоит только из тех классов, которые являются общими для всех умножаемых понятий
1. А и В - эквивалентные понятия.
Тогда А ? В= А= В, т.е. результат умножения таких понятий равен объему любого одного из них.
«Мужчина» ? «сын» = «мужчина» = «сын».
Как частный случай имеем: А ? А= А.
Если 2 ? 2 = 2[30]= 4, то «две вещи» ? «две вещи» = «две вещи». Умножение двух эквивалентных понятий не приводит к увеличению их степени, как в случае с умножением равных натуральных чисел.2. А и В - независимые понятия.
Тогда А? В = (А и В).
«Вкусные вещи» ? «полезные вещи» = «вкусные и полезные вещи».
3. А - родовое, В - видовое понятие.
Тогда А ? В= В, т.е. областью пересечения выступает объем видового понятия.
«Утро» ? «пасмурное утро» = «пасмурное утро».
4. А и В - несовместимые (противоречащие, противоположные или соподчиненные) понятия.
Тогда А ? В = 0, так как область пересечения всех несовместимых по истине понятий пуста.
«Добрые люди» ? «недобрые люди» = «добрые люди» ? «злые люди» = «добрые люди» ? «равнодушные люди» = 0.
5. А и В - частично совместимые понятия.
Тогда А? В = (А и В).
«Неумные люди» ? «неглупые люди» = «люди среднего ума».
Вычитанием понятий называется конструирование нового понятия, объем которого состоит из всех классов объема вычитаемого понятия, не обладающих свойствами вычитаемых понятий
1. А и В - эквивалентные понятия.
Тогда А - В= В - А= 0.
«Мужчина» - «сын» = «сын» - «мужчина» = 0. В качестве частного случая имеем А - А= 0. «Печаль» - «печаль» = 0.
«Полезные вещи» - «вкусные вещи» = «полезные, но невкусные вещи».
«Вкусные вещи» - «полезные вещи» = «вкусные, но бесполезные вещи».
3. А - родовое, В - видовое понятие.
Тогда А - В= (А и не-В), В - А= 0.
«Утро» - «пасмурное утро» = «непасмурное утро».
«Пасмурное утро» - «утро» = 0.
4. А и В - противоречащие, противоположные или соподчиненные понятия.
Тогда А - В = А, В - А = В.
«Белая вещь» - «не белая вещь» = «белая вещь».
«Не белая вещь» - «белая вещь» = «не белая вещь».
«Белая вещь» - «черная вещь» = «белая вещь».
«Черная вещь» - «белая вещь» = «черная вещь».
«Желтая вещь» - «синяя вещь» = «желтая вещь».
«Синяя вещь» - «желтая вещь» = «синяя вещь».
5. А и В - частично совместимые понятия.
Тогда А - В= не-В, В - А= не-А.
«Неумные люди» - «неглупые люди» = «глупые люди».
«Неглупые люди» - «неумные люди» = «умные люди».
2.8.