Виды понятий

Понятия традиционно принято делить на виды по трем основаниям: количеству, типу и признакам обобщаемых вещей. По количеству обоб­щаемых вещей понятия делят на пустые и непустые, непустые - на об­щие и единичные; по типу обобщаемых вещей - на собирательные и не­собирательные, конкретные и абстрактные; по характеру признаков - на положительные и отрицательные, относительные и безотносительные.

Однако данная классификация не безупречна. Учитывая, что анализ объема и содержания любого понятия можно свести к анализу отношений между определенными классами универсума, указанная классификация, исключая деление на пустые и непустые понятия, теряет всякий смысл.

Во-первых, как уже объяснялось, понятие можно считать пустым только тогда, когда его содержание логически противоречиво, но не тог­да, когда оно обозначает вещи, не существующие в реальности. Напри­мер, понятие «Баба-яга» нельзя считать пустым, хотя в действительнос­ти подобных существ и не бывает, так как определение этого сказочного существа логически непротиворечиво и многие русские сказки без него теряют свой смысл.

Во-вторых, следует подчеркнуть, что все понятия являются общими по определению, высказываются обо всех элементах объема, независимо от того, содержит ли он один элемент, бесконечное число элементов или не содержит ни одного элемента.

В-третьих, нет никакого смысла делить понятия на регистрирующие и нерегистрирующие, абстрактные и конкретные, положительные и от­рицательные, собирательные и несобирательные, безотносительные и соотносительные. Понятия обозначают вещи, но элементами их объемов являются классы. С этой точки зрения всякое понятие есть нерегистри­рующее (имеет неопределенное число элементов объема), абстрактное (обозначает свойства определенного класса вещей); положительное и отрицательное («красное» есть «не синее», «синее» есть «не красное»); несобирательное (относится к каждому элементу объема) и соотноси­тельное (имеет смысл только по отношению к своему дополнению).

Учитывая сказанное, понятия лучше классифицировать по следую­щим двум основаниям:

1) абсолютному (вне зависимости от отношения понятий друг к дру­гу);

2) относительному (в зависимости от отношения понятий другу к другу).

В абсолютном смысле понятия можно разделить на три вида:

1) логически истинные;

2) логически ложные;

3) логически нейтральные (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Классификация понятий

Одним из признаков логически истинного понятия является равенс­тво его объема с универсумом и, соответственно, пустое содержание. На­пример, объем понятия «сегодня понедельник или не понедельник» равен универсуму U = «дни недели». Содержание данного понятия пусто, пото­му что оно не исключает ни одного дня недели из универсума.

Понятие логически истинно, если его объем ра­вен сумме всех классов универсума (содержание пусто)

Логически истинные понятия совместимы со всеми классами универ­сума, что и оправдывает их название. Их разрешающая сила максималь­на, потому что их объемы совпадают с универсумом. Соответственно, их исключающая сила минимальна, так как они ничего не исключают и их содержание равно пустому классу. Логически истинные понятия удов­летворяют требованию полноты, т.е. содержат все альтернативы реше­ния исходной задачи. Например, понятия «сладкая или несладкая вещь», «солнечный или несолнечный день» выполняются во всех классах своего универсума.

Понятие логически ложно, если его объем равен пустому классу (содержание бесконечно)

Логически ложные понятия самопротиворечивы, несовместимы ни с одним классом универсума, что и оправдывает их название. Их разре­шающая сила равна нулю, так как их объем равен пустому классу, а ис­ключающая сила максимальна и равна бесконечности по определению. Соответственно, их содержание равно сумме всех классов универсума. Например, понятия «сладкая и несладкая вещь», «солнечный и несолнеч­ный день», «сегодня вторник и не вторник» не выполняются ни в одном классе своего универсума.

Понятие логически нейтрально, если оно не ис­

тинно и не ложно логически

Такие понятия истинны в одних альтернативах универсума и ложны во всех остальных. Понятие «понедельник или вторник» истинно толь­ко по понедельникам и вторникам и ложно во все остальные дни неде­ли. Значит, оно логически нейтральное понятие. В отличие от логически истинных и логически ложных понятий, являющихся константами, не способными изменять свои содержание и объем, логически нейтральные понятия могут изменять свои содержание и объем.

В относительном смысле понятия делятся на виды в зависимости от отношения их объемов и содержаний друг к другу. Для более точных ха­рактеристик введем критерии совместимости понятий согласно следую­щим определениям.

Понятия совместимы по истине, если и только если пересечение их объемов не пусто (существует по крайней мере один класс универсума, в котором они вместе истинны).

Понятия совместимы по лжи, если и только если пересечение их содержаний не пусто (существует по крайней мере один класс универсума, в котором они вместе ложны).

Понятия полностью совместимы, если и только если они совместимы как по истине, так и по лжи

Различают следующие виды совместимых понятий (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Виды совместимых понятий

Эквивалентные понятия совместимы как по истине, так и по лжи, т.е. их совместимость является полной. Отличительная черта эквивалентных понятий заключается в том, что в совокупности они либо истинны, либо ложны. Не может быть такого, чтобы несколько эквивалентных понятий были ложны, когда остальные истинны, или были истинны, когда осталь­ные ложны.

Эквивалентные понятия - понятия, имеющие одинаковый объем (содержание) в одном и том же универсуме

Схематическое изображение произвольных эквивалентных поня­тий А и В, объемы которых не совпадают с универсумом, приведено на рис. 2.11.

Рис.

Из-за равенства объемов эквивалентные понятия часто называют также равнообъемны­ми, равнозначными, тождественными, равно­сильными. В грамматике эквивалентные по­нятия именуются синонимами. Такие понятия вместе либо истинны, либо ложны (либо все неопределенны, если хотя бы одно из них не­определенно). Из истинности (ложности, неоп­ределенности) одного эквивалентного понятия непременно следует истинность (ложность, не­определенность) всех других. Эквивалентны, например, понятия «похва­ла» и «способ изъяснять величие добродетели какого-нибудь человека» (Аристотель), «скупость» и «неумеренное желание и любовь к богатс­твам» (Б. Спиноза).

Все синонимы выражают эквивалентные понятия. Каждое из эквива­лентных понятий подчиняет другое или, что то же самое, каждое из них является необходимым следствием другого. О них можно также сказать, что в равной мере каждое из них подчиняет другое или что каждое из них является необходимым следствием другого. Дефиниендум и дефиниенс правильно построенного определения, как мы видели, всегда состоит из эквивалентных понятий.

Независимость также относится к классу полной совместимости. Одно из самых фундаментальных понятий науки - характеризует сущ­ность случайных событий.

Независимые понятия - понятия, чьи объемы частично пересекаются и ни один из них полно­стью не входит в объем другого

Объемы всех независимых понятий пересекаются. Однако возможны два принципиально различных случая такого пересечения:

1) объемы независимых понятий вместе не исчерпывают универсум;

2) объемы независимых понятий вместе исчерпывают универсум.

Схематическое изображение произвольных независимых понятий А и В, сумма объемов которых не равна универсуму, представлено на рис. 2.12.

Схематическое изображение произвольных независимых понятий А и В, сумма объемов которых совместно исчерпывает универсум, приведе­но на рис. 2.13.

Рис.

Рис. 2.13. Произвольные независимые понятия А и В, сумма объемов которых совместно исчерпывает универсум

Независимые понятия обычно называют частично пересекающимися. Однако такое название не совсем точно, потому что объемы эквивалент­ных, родовидовых понятий также пересекаются. Независимость - более точное название по той причине, что из истинности (ложности) любого одного из независимых понятий не следует ни истинность, ни ложность всех остальных. Понятия «богатый» и «плачущий» - частично пересекаю­щиеся, или независимые^[27]. Из того что некто является богатым, не следует, что он плачущий человек, так же как не следует и то, что он неплачущий человек. Есть богатые, которые плачут, и есть богатые, которые не плачут. Обратное также верно. Среди плачущих есть как богатые, так и небогатые люди.

Независимые понятия играют чрезвычайно важную роль во всех раз­делах научного знания, и особенно в теории вероятностей и статистике. Любой вид сложной зависимости величин так или иначе разлагается на определенную комбинацию независимых величин. Требование незави­симости видовых понятий является обязательным при классификации, а также при определении понятий.

Последний вид полной совместимости - родовидовое подчинение. Оно отличает от эквивалентности подчинением только в одну сторону - от родового к видовым. Родовое понятие подчиняет себе все видовые понятия, передавая им свои свойства. Отметим, что эквивалентность вле­чет за собой родовидовое подчинение, но обратное неверно.

Родовидовое (однонаправленное) подчинение - подчинение, при котором объем родового (подчи­няющего) понятия включает в себя объем видового (подчиненного) понятия, но ему не равен

Рис.

Схематическое изображение произвольных родовидовых поня­тий А (родовое понятие, не совпа­дающее с универсумом) и В (видо­вое понятие) представлено на рис. 2.14.

В отличие от эквивалентных понятий, для которых отношение подчинения действует в обе сто­роны, существуют понятия, только одно из которых подчиняет другое (-ие). То понятие, объем котороговключает объем другого, принято называть родовым (подчиняющим). По­нятие, объем которого полностью включен в объем родового понятия, при­нято называть видовым (подчиняемым). Каждое видовое понятие харак­теризует разновидность родового. Например, «австриец», «англичанин», «испанец», «итальянец», «немец», «француз», «швейцарец» - неполный перечень видовых различий родового понятия «западный европеец».

Истина переносится от видового понятия к родовому, но не обратно. Наоборот, ложь переносится от родового понятия к видовому, но не об­ратно. Если истинно, что некто - англичанин, то истинно, что он запад­ный европеец, но не наоборот. Если же ложно, что некто является запад­ным европейцем, то ложно, что он англичанин, но не наоборот. Подобная асимметрия объясняется тем, что только родовое понятие является, со­гласно закону обратного отношения объема и содержания, необходимым следствием видового, но не наоборот.

Понятия, находящиеся в отношении родовидового подчинения, мо­гут быть вместе истинны и ложны, поэтому они полностью совместимы.

Отношение родовидового подчинения необхо­димо отличать от отношения между целым и его частями

Если каждый вид обладает всеми свойствами рода, то ни одна часть не обладает свойствами всего целого. Например, каждому автомобилю присущи все необходимые свойства механического средства передвиже­ния, но ни одно автомобильное колесо не обладает такими свойствами.

Все рассмотренные случаи совместимости объединяет то, что речь в них идет о полностью совместимых понятиях. Эквивалентные, независимые и

находящиеся в отношении родовидового подчинения понятия полностью совместимы, так как могут быть как истинными, так и ложными.

Проанализируем теперь случаи, когда объемы сравниваемых поня­тий не пересекаются. Такие понятия принято называть несовместимыми. Как и совместимость, несовместимость может быть как по истине, так и по лжи. Если два понятия несовместимы по истине, значит они никогда не могут быть вместе истинными. Если два понятия несовместимы по лжи, следовательно, они никогда не могут быть вместе ложными. Кроме того, несовместимость бывает полной и частичной.

Точные определения несовместимости по истине и лжи таковы.

Понятия несовместимы по истине, если и только если не существует ни одного класса универсума, в котором они были бы вместе истинны.

Понятия несовместимы по лжи, если и только если не существует ни одного класса универсума, в котором они были бы вместе ложны.

Понятия несовместимы полностью, если и толь­ко если они несовместимы ни по истине, ни по лжи

Различают следующие виды несовместимых понятий (рис. 2.15).

Рис. 2.15. Виды несовместимых понятий

Противоречие - самый сильный вид несовместимости: противореча­щие понятия не могут быть вместе ни истинны, ни ложны.

Противоречащими называются понятия, чьи объ­емы (содержания) не пересекаются друг с другом, но вместе они исчерпывают универсум

Схематическое изображение произвольной пары противоречащих понятий А и не-А относительно универсума Uпредставлено на рис. 2.16.

Рис. 2.16. Произвольная пара проти­воречащих понятий А и не-А относи­тельно универсума U

Каждое из противоречащих по­нятий представляет собой дополне­ние (логическое отрицание) другого до ближайшего универсума. То, что является объемом для одного про­тиворечащего понятия, для другого представляет содержание, и наобо­рот. По этой причине противореча­щие понятия не могут быть вместе ни истинны, ни ложны. Если одно изних истинно (ложно), то другое обязательно ложно (истинно). Значит, противоречащие понятия несовместимы полностью, т.е. несовмести­мы ни по истине, ни по лжи.

В русском языке противоречащие понятия образуются, как правило, посредством частицы «не», присоединяемой к данному понятию: «высо­кий человек» и «невысокий человек» относительно понятия «человек»; «синий» и «не синий» относительно понятия «цвет»; «радость» и «не ра­дость» относительно понятия «чувство»; «деньги» и «не деньги» относи­тельно понятия «средство платежа».

Одно из отрицающих понятий, как правило, не имеет конкретного содержания. Например, отрицание утверждения «сегодня понедельник» вводит неопределенность - «сегодня вторник, или среда. или воскресе­нье». Какой именно сегодня день на основании приведенного отрицания, сказать нельзя. Но существуют понятия, отрицания которых также опре­деленны, как и они сами. Например, «муж» и «жена» образуют противо­речащую пару относительно универсума «супруг».

Противоположность - более слабый вид несовместимости, чем про­тиворечие: противоположные понятия не могут быть вместе истинны, но могут быть ложны. Они ложны тогда, когда истинна средняя альтернати­ва (обозначается формально как «не-А и не-В»). Приведем полное опре­деление противоположных понятий.

Противоположными называются понятия, чьи объемы (но не содержания) не пересекаются и чьи признаки обозначают максимальные степени раз­личия анализируемого свойства

Схематическое изображение произвольных противоположных поня­тий А и В относительно универсума Uприведено на рис. 2.17.

Противоположность, по мне­нию Аристотеля, - наибольшее различие. Объемы противопо­ложных понятий не пересекают­ся, но пересекаются содержания, вместе они не исчерпывают объ­ем ближайшего родового поня­тия, а выражаемые ими свойства одинаково удалены в противопо­ложных направлениях от сред­ней, или нейтральной, точки на некоторой шкале свойств.

Рис. 2.17. Произвольные противополож­ные понятия А и В относительно универсума U

В русском языке противоположные понятия вместе с противоречащи­ми обычно объединяются в общий класс антонимов. С логической точки зрения это не совсем правомерно, потому что противоречащие и проти­воположные понятия обладают разными свойствами и, кроме того, не ис­черпывают вместе весь класс несовместимых понятий. Выражаемые про­тивоположными понятиями признаки часто называют полярными, имея в виду, что они одинаково удалены в противоположных направлениях от средней, или нейтральной, точки на некоторой шкале свойств. Противо­положными являются понятия «консерватор» и «радикал» относительно нейтральной точки - понятия «центрист», «северный полюс» и «южный полюс» относительно нейтральной точки - понятия «экватор». Не всегда можно словесно выразить указанную нейтральную точку, но она всегда существует.

Интересно, что этические концепции Аристотеля и Конфуция по­строены на допущении существования нейтральной, или средней, точки для всех нравственных качеств. Так, по Аристотелю, «благородство - это середина между кичливостью и приниженностью», «щедрость - среднее между расточительностью и скупостью», «негодование - середина меж­ду завистью и злорадством»¹¹. Аналогично у Конфуция: «Такой принцип, как “золотая середина”, представляет собой высший принцип»^[28][29].

Так как объемы противоположных понятий не пересекаются, то они не могут быть вместе истинны. Но поскольку пересекаются их содер­жания, то они могут быть вместе ложны. Последнее условие отличает противоположные понятия от противоречащих. Из истинности одного противоположного понятия всегда следует ложность другого, но обрат­ное неверно. Из ложности одного из противоположных понятий следует

только неопределенность относительно значения истинности другого. Значит, противоположные понятия несовместимы только по истине. Например, если данный человек высокого роста, то он не может быть среднего или низкого роста. Но если неверно, что данный человек высо­кого роста, то отсюда вовсе не следует, что он низкого роста. Он может оказаться человеком среднего роста.

Для противоположных понятий всегда существует какая-то альтер­натива, из истинности которой следует совместная ложность противопо­ложных понятий. Например, данный человек может быть и не высокого и не низкого, а среднего роста.

Соподчинение выступает дополнением (логическим отрицанием) противоречия и противоположности в классе несовместимых понятий. Истинностные свойства соподчиненных понятий те же самые, что и у противоположных.

Соподчиненными называются несовместимые понятия, которые несовместимы по истине, не про­тиворечат и не противоположны друг другу

Схематическое изображение произвольных соподчиненных понятий А и В относительно универсума Uдано на рис. 2.18.

Соподчиненными являются понятия «стол» и «стул» относительно понятия «мебель»; «лейтенант» и «капитан» относительно понятия «офи­цер»; «фиолетовый» и «синий» относительно понятия «цвет».

Как и противоположные, соподчиненные понятия не могут быть од­новременно истинны, но могут быть одновременно ложны, так как их содержания пересекаются. Из истинности одного соподчиненного поня­тия всегда следует ложность другого, но обратное неверно. Из ложности одного из соподчиненных понятий следует только неопределенность от­носительно значения истинности другого. Значит, соподчиненные поня­тия также несовместимы только по истине. Если данная вещь синего цвета, то она не может быть вещью красного цвета; но если неверно, что

Рис. 2.18. Произвольные соподчи­ненные понятия А и В относительно универсума U

данная вещь синего цвета, то отсюда не следует, что она обязательно крас­ного цвета. Соподчиненные понятия, только если они вместе не исчерпы­вают универсум, могут быть одно­временно ложны. Например, данная вещь может быть и не синего и не красного, а желтого цвета.

Таким образом, существует шесть различных видов отношений меж­ду понятиями. Из них первые три представляют случаи полной совмес­тимости, последние три - случаи полной и частичной несовместимости. Данная схема деления понятий является общепринятой в логической ли­тературе. Но является ли она полной?

Можно точно утверждать, что в ней, например, отсутствуют частич­но совместимые понятия, т.е. понятия, совместимые по истине и несов­местимые по лжи. То, что такие понятия существуют, доказывает следу­ющее рассуждение.

Рассмотрим два противоположных понятия - «умный» и «глупый». Сформулируем дополнение (логическое отрицание) каждого из них. По­лучаем «неумный» и «неглупый». Последние два понятия являются час­тично совместимыми. Они одновременно истинны, если данный человек «среднего» ума. Но они не могут быть вместе ложными, так как в против­ном случае были бы истинны противоречащие им понятия - «умный» и «глупый». Но, как мы знаем, противоположные понятия одновременно истинны быть не могут.

То же можно сказать и о соподчиненных понятиях. Например, отри­цанием понятий «белый» и «синий» будут соответственно понятия «не белый» и «не синий». Последняя пара понятий одновременно истинна, если вещь, допустим, оранжевого цвета. Но она не может быть одновре­менно ложной, так как в противном случае были бы одновременно ис­тинны противоречащие им понятия «белый» и «синий». Но так как эти понятия соподчиненные и тем самым несовместимые по истине, то это невозможно.

Все понятия, являющиеся отрицаниями противо­положных и соподчиненных понятий, частично совместимы по истине

Рассмотрим несколько примеров сравнения понятий на совмести­мость и несовместимость.

Пример 1

Определить логические отношения между следующими понятиями: А= «логик»; В= «предприниматель»; С= «логик, занимающийся пред­принимательством»; D = «предприниматель, занимающийся логикой» .

Пусть U= «люди».

U = (1 + 2 + 3 + 4); A = (3 + 4) / (1 + 2); B = (2 + 4) / (1 + 3); С= (2 + 3 + 4) / 1; D = (2 + 3 + 4) / 1.

Схематический рисунок, демонстрирующий отношение объемов анализируемых понятий, имеет следующий вид:

Из вычислений следует, что содержание понятия А является частью содержания понятия Cи D, а объемы Cи D- частью объема А. Значит, данные понятия находятся в отношении родовидового подчинения (А - ро­довое, Cи D- видовые понятия). Аналогично этому содержание понятия В является частью содержания понятия Cи D, а объемы Cи D- частью объема В. Значит, данные понятия находятся в отношении родовидового подчинения (В - родовое, Cи D- видовые понятия). Понятия А и В неза­висимы друг от друга, так как их объемы частично пересекаются. Область пересечения объемов А и В равна объему понятий Cи D. Очевидно, что понятия Cи Dэквивалентные.

Главный вывод состоит в том, что если истинны понятия С и D, то од­новременно истинны понятия А и В. Если ложно хотя бы одно из понятий А и В, то ложны и понятия С и D. Обратные подчинения неверны.

Данный пример интересен тем, что его автор А.И. Мигунов убежден в том, что такое видовое понятие, как С (или D), не может иметь двух не подчиненных друг другу родовых понятий (в примере - А и В). Ос­новной аргумент заключается в том, что понятие «логик, занимающийся предпринимательством» не является видовым по отношению к понятию «предприниматель». Согласно закону обратного отношения между объ­емом и содержанием, содержание родового понятия должно полностью входить в содержание видового понятия. Но по мнению А.И. Мигунова,

содержание понятия «предприниматель» не является частью содержания понятия «логик, занимающийся предпринимательством» и поэтому не может быть для него родовым. Однако это неверно.

Допустим, что понятия В и С совместимы по истине и между ними существует или отношение эквивалентности, или отношение независи­мости. Но и то и другое невозможно. Из истинности С следует истин­ность В, что доказывает их зависимость, но из истинности В не следует истинность С, что опровергает их эквивалентность. Значит, В и С или находятся в отношении родовидового подчинения, или они несовмести­мы. Но они не могут быть несовместимы: из истинности В не следует ложность С и из истинности С не следует ложность В. Следовательно, остается только одна возможность: понятия В и С находятся в отноше­нии родовидового подчинения.

Так как понятия С и Dэквивалентные, то все сказанное об отноше­нии понятий В и С распространяется и на отношения понятий А и D.

Пример 2

Определить логические отношения между следующими понятиями: А= «вещи, которые если приятны, то и полезны»; В= «вещи, которые не приятны и не полезны»; С = «вещи, которые если не полезны, то прият­ны». Пусть U= «вещи».

U = (1 + 2 + 3 + 4); A = 2 / (1 + 3 + 4); B = (1 + 2 + 3) / 4; С= 4 / (1 + 2 + 3).

Схематический рисунок, демонстрирующий отношение объемов анализируемых понятий, имеет следующий вид:

Из вычислений следует, что понятия В и С противоречат друг другу (содержание одного равно объему другого), понятие В представляет со­бой разновидность А, так как содержание А - часть содержания В.

Пример 3

Определить логические отношения между следующими понятиями: А= «число, кратное 3»; В= «число, кратное 5»; С= «число, кратное 15».

Пусть U = «числа».

U = (1 + 2 + 3 + 4); A = (3 + 4) / (1 + 2); B = (2 + 4) / (1 + 3); С= (2 + 3 + 4) / 1.

Схематический рисунок, демонстрирующий отношение объемов анализируемых понятий, имеет следующий вид:

Из вычислений следует, что А и В - независимые понятия (их содер­жания и объемы частично пересекаются). Понятие С - видовое по отно­шению как к А, так и к В (содержание С включает содержание как А, так и В и, следовательно, их обобщает).

2.7.