МОВА ЛОГІКИ КЛАСІВ (МНОЖИН)

Мета цього навчального елемента полягає в тому, щоб осягнути базові поняття теорії множин (класів), її знакові (мовні) засоби та набути навичок й умінь подання множин, їх запису, а також операцій над класами (множинами).

Перш ніж приступити до виконання вправ і розв’язування завдань, варто відновити набутий вами теоретичний матеріал про мову логіки класів, яку можна вважати історично першою символічною мовою, що призначалася для формалізації понять, точніше їхніх обсягів, відношень між класами (множинами), виявляння на цій підставі специфіки відношень між знаками (символами), та їх методологічної функції у процесі конструювання множини чи класу, закономірностей поєднання знаків, та їх ролі в постановці та розв’язуванні теоретико-множинних проблем. Треба мати на увазі те, що логіка класів - це особлива система, а заодно й метод, що лежить в основі теорії понять, без якої майже неможливо зрозуміти суть аналітико-дедуктивних процедур.

Повторення теоретичного матеріалу бажано розпочати із з’ясування змісту базових понять даної логічної системи: множина (клас), підмножина (підклас), одиничний клас, елемент класу, порожній клас, універсальний клас, включення (невключення), належність (неналежність) елемента класу,

Тут і далі ми вживатимемо слова і як синоніми з чисто методичних міркувань.

підмножини множині, рівність (нерівність) класів (множин) та інших знакових засобів цієї логічної теорії.

Нагадаємо зміст вищевказаних понять.

Оскільки поняття «множина» є основним (невизна- чуваним), то пояснимо його на прикладах. Можна говорити про множину студентів певної академічної групи, про множину слів на одній із сторінок конкретної книги, про множину голосних чи приголосних українського алфавіту тощо. В математиці слово «множина» вживається замість слів, що характеризують певну сукупність предметів, хоча ця сукупність може містити лише один предмет, а то й жодного.

Множини чи класи позначають великими літерами латинського алфавіту: А, В, С,... Невизначені елементи деякої довільної множини символізують малими літерами латин­ського алфавіту (з індексами і без них): x, y, z,..., x₁, y₁, z₁,... тощо. Визначені елементи множини записують малими літерами початку латинського алфавіту (з індексами і без них): а, b, с, d,..., а₁, b₁, c₁, d₁,... тощо.

Знаки ∈ та £ символізують відповідно належність (неналежність) елемента певній множині чи класу. Те, що елемент а належить множині М записують так: а ∈ М (читається: «а належить множині М», або: «а є елементом множини М», або «а входить до множини М»). Неналежність елемента а множині М записують так: а £ М (читається: «а не є елементом М», або «а не належить множині М», або «а не входить до множини М»). Аналогічно: х ∈ М, х £ М.

Не забудьте про те, що питання належності чи неналежності предмета до певної множини постає дуже часто в найрізноманітніших сферах знання. Так, наприклад, кажучи про те, що Марчук М.Г. - професор, ми стверджуємо, що Марчук М.Г. належить до множини усіх професорів. Або якщо ми кваліфікуємо творчий доробок філософа як такий, що базується на методології позитивізму, то ми долучаємо (приписуємо) його до множини (класу) позитивістів тощо.

У який же спосіб задаються і записуються множини? Коли множина вважається заданою?

Множину вважають заданою, якщо про кожний предмет мож­на з певністю сказати, чи належить він до цієї множини чи ні.

Ви пригадуєте, що множину можна задати переліком всіх її елементів. Якщо, наприклад, літерами а, b, с, d позначити різні предмети (об'єкти), то множину цих предметів записують так: А = {α, b, с, d} (читається: А - це множина, елементами якої є а, b, с, d).

Не забувайте при цьому, що кожний предмет (елемент) входить у множину чи клас тільки один раз.

Крім вищеназваного способу задання множини, є ще й інший спосіб. Суть його в наступному: формулюють загальну властивість (ознаку) предметів, з яких утворюватимуть множину. Цю ознаку прийнято називати характеристичною (особливою або специфічною). Цей спосіб використовують тоді, коли йдеться про більш загальний клас чи множину.

Якщо, наприклад, задається множина А натуральних чисел менших 7, то загальною ознакою (властивістю) усіх елементів множини А буде властивість «бути натуральним числом і меншим за число 7». Перелічити елементи цієї множини досить легко: А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Запис множини, для елементів якої вказана характеристична ознака, здійснюється так: у фігурних дужках пишуть спершу позначення елемента, відтак проводять вертикальну риску, після якої записують властивість, яку мають елементи даної множини, і тільки вони. Таким чином, множину натуральних чисел менших 7 записують так: А = {х| х - натуральне, х < 7}.

Отже, для того, щоб задати певну множину, треба перелічити її елементи, або вказати специфічну ознаку її елементів. Зауважимо, що перерахувати елементи множини можна тоді і тільки тоді, коли їх скінченна кількість, а вказати загальну (спільну) ознаку чи властивість елементів множини можливо навіть тоді, коли число елементів скінченне і нескінченне. Це не означає, що для запису нескінченних множин неможливо використати перший вид запису. Так, наприклад, множину натуральних чисел N можна репрезентувати у вигляді: N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. Але такий запис можливий тоді, коли видно, що приховується за крапками.

Завдання, в умові яких вимагалося вказати множину, елементи якої мають задану властивість, вам доводилося розв’язувати тоді, коли ви були ще школярами. Ці завдання формулювались так: «Підкресліть у цьому уривку тексту роману «Хліб і сіль» М. Стельмаха усі дієслова»; «Випишіть із цієї вправи усі іменники чоловічого роду»; «Назвіть усі голосні букви українського алфавіту» тощо.

Часто серед множин подибуються такі, що не містять жодного елемента. Причин з’яви таких множин чимало: одні з них пов’язані з побудовою теоретичної системи, інші мають суб’єктивний характер. Так, наприклад, вам треба скласти реєстр (список) студентів вашого факультету, які грають у хокей на льоду, тобто утворити множину студентів-хокеїстів. Насправді такі студенти на факультеті не навчаються. Отже, множина Х не містить жодного елемента. Множина, яка не містить жодного елемента, називається порожньою (пустою) і позначається знаком (символом) порожнього класу 0.

Позначимо літерою А сукупність президентів, які є космонавтами. Нині відсутня будь-яка інформація про те, що хтось із президентів є космонавтом, тому множина А не містить жодного елемента. Цю ситуацію подають символічно так: А = 0. До речі, порожні класи (множини), наприклад А та В, можуть бути рівними, але за умови: якщо хі А, то х і В і, навпаки, якщо х і В, то х і А. На основі принципу еквівалентності множин (класів) мусимо визнати, що множини (класи) А та В є рівними: А = В.

Таким чином, ми підійшли до поняття рівності множин (класів). Зауважимо, що проблема рівності множин не є тривіальною, оскільки з відношення рівності випливає ряд властивостей взаємозв’язку між множинами.

Ми вже знаємо, що рівними є ті і тільки ті множини (класи), котрі містять одні й ті ж самі елементи. Рівність множин чи класів записують так: А = В. Наприклад, множина А = {1, 3, 5, 7} і В {7, 5, 3, 1} рівні, оскільки складаються з однакових елементів. Пам’ятайте, що множина не змінюється, якщо переставити місцями її елементи.

З означення рівності множин (класів) випливають такі вла­стивості: (а) А = А; (б) Якщо А = В, то В = А; (в) Якщо А = В, В = С, то А = С. Запис А ≠ В означає, що принаймні одна із множин містить елемент, який не належить одній із двох множин. Щоб обґрунтувати рівність довільних множин А та В, треба встановити, що кожний елемент множини А є елементом множини В і навпаки. Для цього досить перевірити: (1) коли х ∈ А, то х ∈ В; (2) коли х ∈ В, то х ∈ А.

У контексті викладеного вище напрошується питання про те, що таке підмножина. Множина В є підмножиною множини А в тому і тільки в тому випадку, коли кожний елемент множини В належить множині А. Цю ситуацію записують так: В ⊂ А (або А о В) і читають: «Множина В є підмножиною А». Знак ⊂ вживається для позначення зв’язку між множинами, який виражається словосполученням «є підсистемою».

Нехай А - множина усіх студентів Чернівецького націона­льного університету, а В - множина студентів філософсько- теологічного факультету цього ж таки університету. Очевидно, що множина В входить у множину А. У цьому випадку множину В називають підмножиною множини А.

Прийнято вважати, що кожна множина А є підсистемою самої себе: А ⊂ А, а також і те, що порожня множина 0 є підмножиною будь-якої множини А: 0 ⊂ А.

Неабияке значення в теорії множин (класів) має знання про власні й невласні підмножини тієї чи тієї множини для розв’язування певних завдань. Тому ви маєте знати наступне: будь-яка непорожня підмножина В множини А, яка не співпадає з А, називається власною підмножиною. Підмножини А та 0 називаються невласними підмножинами множини А.

Розглянемо цю ситуацію на прикладі.

Множина А = {2, 4, 8} має такі підмножини: {2}, {4}, {8}, {2, 4}, {2, 8}, {4, 8}, {2, 4, 8}, {0}. З цих восьми підмножин останні дві підмножини {2, 4, 8} та {0} є невласними підмножинами множини А, а решта шість підмножин є власними підмножинами множини А.

Для коректної формалізації відношення між підмножиною і множиною, маємо навчитись розрізняти власні і невласні підмножини певної множини. Якщо підмножина В строго включається у множину А (В ⊂ А, де А ≠ В), то в цьому випадку В є власною підмножиною А. Якщо має місце широке включення, тобто В ⊂ А (читається: множину В включено в множину А), то це означає, що кожний елемент множини В є елементом множини А, при цьому В називається підмножиною, а множина А - надмножиною (або метамножиною).

Інакше кажучи, якщо властивості, якими задані певна множина та її підмножина, співпадають (є одними й тими ж), то ці множини будуть рівними. Тому вважається, що множина є частиною самої себе (іноді кажуть «повною частиною»). Якщо ж властивість, якою задана певна підмножина, суперечить властивості, якою задана сама множина, то дана підмножина буде порожньою. А тому порожня множина є частиною будь-якої множини. Повну й порожню множини називають невласними підмножинами, а решту підмножин - власними. Пам’ятайте, що число підмножин певної множини можна обчислити за формулою m = 2ⁿ (де n - число елементів). Ця формула знадобиться нам для розв’язування певного типу завдань.

Нагадаю, що підмножинами ми оперуємо постійно, виділяючи частини різних сукупностей предметів чи понять. Умінню виділяти частини тієї чи тієї множини ми вчимося, починаючи зі шкільної лави, а може й раніше. Так, на уроках української (чи іншої мови), ви виконували вправи з такими умовами: «Підкресліть у цьому реченні усі прикметники»; або у вузі: досліджуючи, наприклад, роль прийменникових зворотів у поезії Д. Павличка «Пелюстки і леза», ставили собі завдання: «Виділіть серед різних прийменникових зворотів ті, які містять прийменник «в» тощо; або, наприклад: «Виділіть у множині світових релігій ті, котрі належать до нетрадиційних». В буденності нам також доводиться оперувати поняттям підмножини: множина реліктових будинків по вул. Головній є підмножиною множини всіх будинків м. Чернівці; множина стільців 26 аудиторії VZ корпусу ЧНУ є підмножиною множини всіх аудиторних стільців ЧНУ тощо.

І останнє: зверніть увагу на поняття універсальної множини та її особливості. Ми, як правило, забуваємо про це. Зауважимо, що ситуації, в яких усі множини розглядається як підмножини однієї і тієї ж множини дуже часті. Такі множини називаються універсальними, символічно їх позначають літерою U. Отже, якщо U - множина усіх студентів певного університету, то підмножини (студенти факультетів А, В, С) постають як підмножини цієї ж універсальної множини. Включеність підмножини в універсальній клас чи універсальну множину записують символічно так: A⊂U, В ⊂ U, C⊂U тощо. Аналогічно, нехай А - множина тих студентів, котрі набувають кваліфікації філософа, В - множина тих, хто готується стати соціологом, С - множина тих, хто хоче стати релігієзнавцем, Д - множина тих, хто присвятив себе теології. Перелічені множини {А, В, С, Д} можна розглянути як підмножини однієї множини - множини студентів філософсько-теологічного факультету ЧНУ.

Отже, відновивши шляхом повторення навчального матеріалу, базові поняття, терміни, символи навчального елемента «Мова логіки класів», ви можете приступати до виконання вправ і розв’язування завдань. У випадку, якщо цих знань виявиться замало, то цей навчальний елемент передбачає знайомство із рекомендованою до нього літературою, яка охоплює майже увесь зміст цього навчального елемента.

Завдання. Визначте вид поняття за обсягом: «сузір’я», «перший президент України», «президент», «відьма».

Зразок відповіді. Як відомо, обсяг поняття - це множина або клас предметів, кожен з яких має ознаки (-у), відображені в змісті поняття. Згідно з означенням (визначенням), зазначені в умові завдання поняття належать до таких видів: «сузір'я» - загальне, збірне; «перший президент України» - одиничне; «президент» - загальне; «відьма» - нульове, або поняття з порожнім класом.

Завдання. Подайте 2-3 довільні скінченні класи переліком усіх елементів або підкласів.

Відповідь. Клас «президент України» містить такі елементи класу {М. Грушевський, Л. Кравчук, Л. Кучма, В. Ющенко, В. Янукович}. Клас планет Сонячної системи складається з елементів {Земля, Марс, Венера, Юпітер, Сатурн, Меркурій, Уран, Нептун, Плутон}.

Клас умовиводів містить підкласи {необхідні умовиводи, правдоподібні умовиводи}.

Завдання. Чи буде множина (клас) усіх рівносторонніх прямокутників (А) власною підмножиною (підкласом) усіх прямокутних ромбів (В). Як записати символічно, що А включено в В?

Відповідь. Оскільки множини А та В рівні, тобто А = В, то включення множини А в множину В матиме такий вигляд: А ⊂ В (читаємо: «Клас (множина) А включений (-а) в клас В»).

Завдання. Наведіть два-три приклади понять, в яких відображено відношення між обсягами та запишіть їх символічно, послуговуючись мовою логіки класів (множин).

Відповідь. (а) «Рівносторонній прямокутник» (А) і «прямокутний ромб» (В): А = В;

(б) «Українська мова» (А) і «природна мова» (В): А ⊂ В;

(в) «Українська мова (А), «світова мова» (В), «мова» (С): Якщо А ∈ В, В ∈ С, то А ∈ С.

Завдання. Наведіть приклад множин (класів) А, В, С, де А ∈ В, В ∈ С, і А ∈ С. Відповідь обґрунтуйте.

Зразок відповіді. «Сократ» (А), «Людина» (В), «Смертний» (С). Оскільки ці множини пов'язані між собою відношенням транзитивності, то якщо А ∈ В, В ∈ С, то А ∈ С.

Зауважимо, що ви можете дати інший варіант відповіді та її обґрунтування.

Завдання. Запишіть символічно належність (неналежність) елементів 6, 28, 17, ¾, множині парних натуральних чисел А.

Відповідь. 6 ∈ А; 28 ∈ А; 17 £ А; ⅔ £ А.

Вправа. Як можна назвати множину артистів, що працюють в одному театрі?

Відповідь. {Трупа}.

Вправа. Запишіть множину А натуральних чисел, меншу 7.

Відповідь. А = {х І х - натуральне, х < 7}.

Вправа. Чи є рівними множини (класи) А та В:

А = {3, 5, 7, 9}, В = {7, 3, 9, 5}?

Відповідь. Множини А та В є рівними (А = В), оскільки вони складаються з однакових елементів: 3, 5, 7, 9.

Вправа. Запишіть множину різних букв у слові.

Відповідь. Множиною різних букв у слові є {п, р, г, ф}.

1.1.1. ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1. Що таке клас (множина)?

2. Чому визначення множини, дане Г. Кантором, не є

бездоганним?

3. Якими літерами (буквами, символами) позначають множину чи клас?

4. Чи можна вважати множиною сукупність реально існуючих предметів?

5. Як співвідносяться між собою поняття «клас»,

«множина», «обсяг», «сукупність», «загін», «колекція» та їм подібні?

6. Чи є загальноприйняті назви множин?

7. Що таке елементи множини (класу)?

8. Якими літерами (символами) позначають елементи

множини?

9. Якими символами позначають належність елемента

множині?

10. Якими літерами позначають множину множин?

11. Яким знаком позначають неналежність елемента множині?

12. Які множини (класи) вважаються рівними?

13. Які властивості випливають з визначення рівності множин?

14. У який спосіб обґрунтовується рівність довільних множин?

15. Що таке підмножина (підклас)?

16. Яка множина називається правильною частиною множини?

17. Якими символами позначають включення підмножини в множину?

18. Чи різняться між собою символи включення і належності?

19. Як обґрунтувати включеність одного класу в інший?

20. Що таке порожня множина або пустий клас?

21. Яким символом позначається порожній клас?

22. Як записати факт порожньої множини?

23. Що таке універсальна множина?

24. Яким символом позначається універсальна множина чи клас?

25. Що означає «задати клас» чи «задати множину»?

26. Чи має принципове значення порядок виписування елементів класу чи множини?

27. Які знаки використовуються для запису множини?

28. В який спосіб задаються класи чи множини?

29. Що таке «характеристична властивість»?

30. Чи може відповідати одній і тій самій множині кілька

форм?

1.1.2. ПІДСУМКОВІ ВПРАВИ ТА ЗАВДАННЯ

1. Наведіть приклади таких множин А, В, С, що А є В, В є С, але А є С.

2. Який із записів правильний: а є {а}; {а} є а; А є {А}; А = {А}; {А} є А?

3. Що можна сказати про клас {а, в}, якщо:

(А) а, в - найменші двоцифрові натуральні числа, які діляться відповідно на 3 і 4?

(Б) а, в - найбільші двоцифрові числа, які діляться відповідно на 3 і 4?

4. Задайте 2-3 скінченні множини (класи) через перелік всіх іх елементів.

5. Чи має місце симетричність:А ⊂ В = В ⊂ А?

6. Наведіть 2-3 приклади понять, що відображають властивість речей, а також відношення між ними?

7. Чи буде множина всіх рівносторонніх прямокутників (А) власною підмножиною усіх прямокутних ромбів (В)? Як записати символічно, що А включено в В?

8. Визначте які з наведених понять є загальними, одиничними, збірними, нульовими: «круглий квадрат», «учений», «батько традиційної логіки»?

9. Виразіть символічно зв’язок між класами (множинами). U - множина всіх людей; А - множина всіх студентів; В - множина студентів університету; С - множина студентів філософсько- теологічного факультету.

10. Що означають множини (класи) А ∩ С, В ∩ ~С, А ∩ ~В ∩ С?, де U - клас усіх людей, А - клас усіх студентів, В - усі студенти університету, С - усі філологи.

11. Як записати множину (клас) людей, кожний з яких або студент університету, або відмінник?

12. Якщо А U В = А ∩ В, то яке відношення має місце між А та В?

13. Чи існують такі множини А, В, С, для яких одночасно виконувалися б вимоги: А U В = 0; А ∩ С = 0; А ∩ В ∩ С = 0?

14. Виразіть символічно результати перетину класів А, В, С.

15. Які з наведених виразів, що містять довільні класи А, В, С, є істинними:

• Якщо А ≠ В і В ≠ С, то А ≠ С.

• Якщо А ∩ В ⊂ ~С і А U С ⊂ В, то А ∩ С = 0.

• Якщо А ⊂ ~(В U С) і В ⊂ А U С, то В = 0.

16. Як виразити символічно клас студентів, які не є віруючими?

17. Запишіть символічно належність порожнього класу як підкласу будь-якого класу?

18. Обсяги наведених нижче понять витлумачте як класи, вказавши на їхні елементи, відповідні їм власні підкласи, а також ті властивості, за допомогою яких можна утворити ці класи: (а) «країна»;

(б) «твори Т.Г. Шевченка»; (в) «помаранчева революція».

19. Запишіть символічно належність і неналежність елемента класу за умови, що елемент класу є підклас.

20. Передайте мовою логіки класів відношення між обсягами понять, що виконують функцію логічного підмета і логічного присудка в категоричних судженнях.

21. Як записується мовою логіки класів вираз: «клас усіх х має властивість Q».

22. Наведіть приклади множин, складених із:

(а) назв квітів; (б) історичних подій; (в) геометричних фігур;

(г) філософських напрямків; (д) нетрадиційних конфесій;

(е) політичних систем; (є) політичних сил в Україні.

23. Назвіть елементи, які належать множині: (а) предметів, які вивчаються на І курсі філософського відділення; (б) пальців на руці; (в) гілок влади в Україні.

24. Нехай множина С - множина тварин. Чи належить цій множині:

(а) слон; (б) мурашка; (в) сосна; (г) хобот слона; (д) щука.

25. А - множина багатокутників. Чи належать цій множині:

(а) восьмикутник; (б) паралелограм; (в) круг; (г) відтинок;

(д) паралелепіпед?

26. Запишіть множину (клас) різних цифр числа 3254882.

27. Запишіть множину різних букв у слові «параграф».

28. Запишіть множину А натуральних чисел, менших 7.

29. Запишіть за допомогою знака рівності і фігурних дужок речення: А - множина назв квітів: ружа, ромашка, лілея, тюльпан;

В - множина букв слова ;

С - множина столиць пострадянських держав;

Д - множина різних слів у реченні «І побачив він степи, степи безкраї».

30. Вкажіть, яку характерну властивість має елемент множини {а, е, и, і, о, у}?

31. У поданих нижче множинах усі елементи, крім одного, мають якусь спільну властивість. Опишіть цю властивість і знайдіть (відшукайте) елементи, які не мають цієї властивості:

(а) {квадрат, круг, ромб, паралелограм};

(б) {синій, червоний, білий, колія, чорний};

(в) {4, 9, 16, 25, 30}.

32. Вкажіть серед поданих множин порожні множини:

а) множина людей на Сатурні;

б) множина міст України з населенням більш 5 мільйонів осіб;

в) множина круглих квадратів;

г) множина трикутних прямокутників.

33. Назвіть елементи множини студентів своєї групи, чиї прізвища починаються з літери А; з літери Б;..., з літери Я. Які з цих множин є порожніми? До якої множини належите ви?

34. Чи є рівними множини А та В:

А = {3, 5, 7, 9}, В = {7, 3, 9, 5}?

35. Серед заданих множин вкажіть рівні множини: А = {1, 3, 6},

В = {3, 6, 9}, С = {6, 9, 3}, Д = {3, 2, 6}, Е = {2, 3, 6}, F = {9, 6, 3}, К = {6, 3, 2}.

36. Для кожного із слів ‹сосна›, ‹осколок›, ‹осока›, ‹колос› складіть множину його букв. Чи є серед цих множин рівні?

37. Які з наведених множин є рівними між собою: А - множина квадратів; В - множина прямокутників; С - множина чотирикутників з прямими кутами; Д - множина прямокутників з рівними сторонами; F - множина ромбів з прямими кутами.

38. Дано множини: А = {а, б, в, г, д, е, є, ж, з, і}, В = {а, г, з, і},

С = {б, в, г, д, ж, з}, Д = {а, б, в}, Е = {б, в, г, ∂}, F = {а, і}. Вкажіть, які множини є підмножинами множини А. Чи є F підмножиною В? Підмножиною якої множини є Д?

39. Дано три множини: С = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, М = {4, 1, 3, 2}, К = {4, 6, 5, 32}. Доведіть, що: (а) М ⊂ С; (б) К ⊂ С.

40. Нехай Q - множина усіх іменників. Які з поданих множин є підмножинами множини Q? Запишіть це за допомоги символа « ⊂ ».

(а) М = {море, низький, берег, пізно};

(б) F = {ріка, ліс, зелень, гордість};

(в) К = {клопіт, вірний, плисти, дерево}.

41. Дано, що А ⊂ В, В ⊂ С, чи буде А підмножиною С? Наведіть приклад.

42. Придумайте три множини А, В, С такі, що

(а) С ⊂ В і А ⊂ В

(б) В ⊂ С і С ⊂ А

(в) А ⊂ В, В ⊂ С, В ⊂ А.

43. Запишіть множину (а) днів тижня та (б) множину місяців року.

44. Знайдіть універсальний клас U для підмножин: А - інститут, В - університет, С - академія.

1.1.3. Тест

1. Мова - це:

A. Знакова система, що використовується для комунікації і пізнання.

Б. Система знаків, слів, словосполучень та правил оперування ними.

B. Безпосередня дійсність думки.

Г. Практична свідомість людини.

Д. Засіб мислення і пізнання.

2. Розрізняють такі типи мов:

A. Природні й штучні.

Б. Природні й неприродні.

B. Старі й нові.

Г. Живі і мертві.

Д. Світові й національні.

3. Природна мова - це:

A. Звукова мова, що постає системою знаків і слів і є

членороздільною.

Б. Система слів і словосполучень та інших знаків.

B. Словниковий фонд і граматика.

Г. Засіб спілкування, що є системою слів і словосполучень.

Д. Засіб передачі й зберігання думок.

4. Штучна мова - це:

A. Спеціально створена знакова система для легалізації логічних зв’язків елементів інтелектуальних форм та структурування їх в адекватні реальним зв’язкам і відношенням композиції.

Б. Символічна мова.

B. Формальна система знаків.

Г. Спеціально створена мова.

Д. Засіб аналізу природної мови.

5. Функції мови стосовно мислення полягають у тому, що мова є:

A. Засобом вираження, передачі та збереження думок.

Б. Способом відображення дійсності.

B. Практичною свідомістю.

Г. Формою і засобом пізнання реальності.

Д. Засобом репрезентації дійсності.

6. Алфавіт символічної мові - це:

A. Система будь-яких знаків.

Б. Сукупність знакових засобів, які використовуються у формалізованих мовах.

B. Множина довільних символів.

Г. Множина спеціальних знаків-символів.

Д. Клас знаків для спеціальних потреб.

7. Логічна семантика - це:

A. Галузь семіотики як науки про знаки.

Б. Розділ логічної семіотики, який вивчає відношення мовних знаків до їхніх значень у структурі логічної теорії.

B. Семіотичний вимір знакового процесу.

Г. Сфера семіотичного знання.

Д. Наука, що досліджує властивості знаків.

8. Логічний синтаксис - це:

A. Галузь семіотики як науки про знаки.

Б. Розділ логічної семіотики, який досліджує відношення між мовними знаками в структурі логічної теорії.

B. Прагматичний вимір знакового процесу.

Г. Сфера семіотичного знання.

Д. Наука про специфіку сполучень знаків.

9. Логічна прагматика - це:

A. Галузь семіотики як науки про знаки.

Б. Розділ логічної семіотики, який вивчає відношення мовних знаків до носіїв мови в структурі логічної теорії.

B. Прагматичний вимір знакового процесу.

Г. Сфера семіотичного процесу.

Д. Наука про значення знаків у житті людини.

10. Формалізована мова - це:

А. Абстрактна мова, що оперує абстракціями.

Б. Спеціально створена штучна знакова система, яка містить адекватний своїй логічній теорії алфавіт, правила утворення й перетворення знаків та інтерпретацію, абстрагуючись при цьому від смислового аспекту відношення між знаками.

В. Система знаків, які аналізуються людиною.

Г. Мова символів і знаків, які конструюються людиною.

Д. Штучна мова, яка є системою формул.

11. Чи пов'язані між собою пізнання, мислення, мова?

А.Так.

Б. Ні.

12. Формалізація в широкому розумінні цього слова - це метод

вивчення різноманітних об'єктів шляхом відображення їх змісту й структури в знаковій формі.

А.Так.

Б. Ні.

13. Мова логіки класів (множин) - це:

A. Особлива і тільки для певної цілі створена знакова система. Б. Специфічна мова, що є системою знаків і символів.

B. Спеціальна штучна знакова система, для позначення понять (імен) та логічних операцій над ними.

Г. Символічна система, що утворюється на основі природної мови з метою операцій над поняттями.

Д. Формалізована система для потреб аналізу понять та відношень між ними в структурі міркувань.

14. Множина (клас) - це:

A. Група предметів і явищ.

Б. Обсяг предметів чи їх сукупності.

B. Сукупність будь-яких об’єктів, що мають спільну для всіх характеристичну властивість (ознаку).

Г. Набір предметів певного класу.

Д. Зібрання будь-яких предметів.

15. Великими літерами початку латинського алфавіту позначають:

A. Підмножини певної множини (класу).

Б. Елементи множини (класу).

B. Множини (класи).

Г. Універсальні множини (класи).

Д. Порожні множини (класи).

16. Малими літерами початку латинського алфавіту прийнято

позначати:

А Предметні значення.

Б. Предметні змінні.

В. Предметні сталі.

Г. Змінні величини.

Д. Будь-яке слово.

17. Предметні змінні прийнято позначати малими літерами

кінця латинського алфавіту (з індексами і без них): А.Так.

Б. Ні.

18. Предметні сталі позначають малими літерами початку латинського алфавіту:

А.Так.

Б. Ні.

19. Довільну множину прийнято позначати символом М:

А.Так.

Б. Ні.

20. Знаком «є» позначають належність елемента (підмножини)

множині:

А.Так.

Б. Ні.

21. Неналежність елемента множини множині позначають символом «£»:

А.Так.

Б. Ні.

22. Які множини задають у такий спосіб: А = {а, в, с, d}?

A. Нескінченні.

Б. Скінченні

B. Повні.

Г. Порожні.

Д. Часткові.

23. Як називають множину, яка не містить жодного

елемента?

A. Неповна.

Б. Порожня.

B. Суперечна.

Г. Часткова.

Д. Забута.

24. Як називають такі множини: А = {3, 5, 7, 9} і {7, 3, 9, 5}?

A. Однаковими.

Б. Рівними.

B. Рівнозначними.

Г. Одномірними.

Д. Багатомірними.

25. Чи може бути множина підмножиною самої себе?

А.Так.

Б. Ні.

26. Повну й порожню частини множини називають

невласними підмножинами певної множини.

А.Так.

Б. Ні.

27. Чи можна вважати власними підмножинами ті

підмножини, які утворені (виявлені) за формулою m = 2²? А.Так.

Б. Ні.

28. Чи тотожні поняття «універсальна множина» і «нескінченна

множина»?

А.Так.

Б. Ні.

29. Хто увів поняття «множина» в наукову практику?

A. Дж.Мілль.

Б. А.Г.Кантор.

B. Д.Гільберт.

Г. В.Аккерман.

Д. Г.Фреге.

30. Чи є адекватним визначення множини, дане Г.Кантором?

А.Так.

Б. Ні.

1.1.4. ЛІТЕРАТУРА

1. Вендлер З. Факты в языке //Философия, логика, язык. - М.: Прогресс, 1987. - С. 293-317.

2. Гетманова А.Д. Логика. - М.: Новая школа, 1995. - С. 17-27.

3. Жоль К.К. Логика. Введение в современную символическую логику. - К.: Стилос, 2000. - С. 129-149.

4. Зегет В. Элементарная логика. - М.: Высшая шк., 1985. - С. 5-31.

5. Ішмуратов А.Т. Вступ до філософської логіки. - К.: Абрис, 1997. - С. 17-32.

6. Калужнин А.А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. - М.: Просвещение, 1978.

7. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. - М., 1982. - С. 19-22.

8. Конверський А.Є. Логіка (традиційна та сучасна). - К., 2004. -

С. 42-61; С. 141-145.

9. Кондаков Н.И. Логический словарь. - М.: Наука, 1971.

10. Кужель О.В. Елементи теорії множин і математичної логіки. - К.: Радянська школа, 1977. - С. 4-94.

11. Куратовский А., Мостовский А. Теория множеств. - М.: Мир,

1970.

12. Мельников В.Н. Логические задачи. - К.; Одесса: Вища. шк.,

1989. - С. 5-11; 34-40.

13. Рейуорд-Смит В. Дж. Теория формальных языков. - М.: Радио и связь, 1988. - 129 с.

14. Серпинский В.О. О теории множеств: Пер. с польск. - М.: Просвещение, 1966. - 62 с.

15. Символическая логика.-СПб., 2005.-506 с.

16. Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и теория множеств: Пер. с польск. - М.: Прогресс, 1965. - 368 с.

17. Смирнова Е.Д. Логическая семантика и философские основания логики. - М., 1986. - С. 15-22.

18. Соломоник А. Язык как знаковая система. - М.: Наука, 1992.

19. Справочная книга по математической логике: Пер. с англ. - Ч. 2: Теория множеств. - М.: Наука, 1982. - С. 9-34.

20. Столл Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории: Пер. с англ. - М.: Просвещение, 1968. - 232 с.

21. Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств: Пер. с англ. - М.: Мир, 1966. - 556 с.

22. Фрейденталь Я. Язык логики. - М.: Наука, 1969. - 135 с.

23. Хоменко І.В. Логіка - юристам. - К.: Четверта хвиля, 1997. -

С. 23-37.

24. Хоменко І.В. Практикум. - К.: Юрінком Інтер, 2000. - С. 12-16.

25. Чейф У.Л. Значение и структура языка: Пер. с англ. - М.: Прогресс, 1975. - 432 с.

26. Цалин С.Д. Логика: Хрестоматия.-Х.: Факт, 2006.-864 с.

1.2.