Парадокс лжеца

Популярный вариант парадокса таков. Допустим, некто говорит, что он лжет. Что он утверждает на самом деле - истину или ложь? Если до­пустить, что он говорит истину, тогда то, что он утверждает, истинно, и, следовательно, он лжет.

Вернемся к понятию эквивалентного класса, введенному в подраз­деле 1.3. Пусть выделенным свойством эквивалентного класса будет от­ношение «быть своим собственным следствием». Тогда произвольные суждения А и - А попадают в два (несовместимых) эквивалентных клас­са, такие что каждое из них является собственным следствием только в своем классе (рис. 11.3).

Рис. 11.3. Отношение несовместимости, обозначенное пунктирной линией

Согласно рис. 11.3, каждое из противоречащих друг другу суждений А и - А является элементом только своего эквивалентного класса, совмес­тимо только с самим собой и только себе оказывает поддержку. Подобную самореференцию можно назвать позитивной, сохраняющей истинность суждения. Ее основным свойством является поддержка суждением само­го себя независимо от того, истинно оно или ложно.

Логическая структура суждения «Я лгу» совсем иная: «Из А следует - А и из - А следует А». Если мы попытаемся определить, к какому из эквивалентных классов на рис. 11.3 оно принадлежит, увидим, что оно принадлежит обоим несовместимым классам одновременно (рис. 11.4).

Рис. 11.4. Отношение совместимости, обозначенное непрерывной упорядоченной линией

Суждение «Из А следует - А и из - А следует А» сложное и состо­ит из двух простых - «Из - А следует А» и «Из А следует - А».

Свойство «принадлежать несовместимым классам» присуще только противоречивым суждениям вида «А и - А», т.е. всем тем, которые сами несовместимы со своей истинностью и со своей ложностью.

Было предложено бесчисленное множество решений парадокса лже­ца. Мы не будем их рассматривать, ибо для этого необходимо знакомство со специальными разделами логики. Кроме того, особой необходимости в этом нет. Достаточно вспомнить параллели между логикой и теорией множеств.

В теории множеств синонимом логического противоречия выступа­ет пустой класс, синонимом логической истины - универсальный класс. Еще никто не пытался освободить теорию множеств от обоих понятий, поскольку это означало бы разрушение теории множеств и всей матема­тики. Но если это так, тогда почему подобное допущение нельзя отстаи­вать и в логике?

Парадокс лжеца - синонимичная формулировка логического противо­речия. Если известны свойства логической лжи, то оказывается, что ни­какого парадокса на самом деле нет. Соответственно, отпадает необходи­мость в поиске очередного хитроумного способа исключения логических противоречий из наших рассуждений, ибо без них невозможны косвенные доказательства. Cвоеобразие логической лжи состоит в том, что она яв­ляется подмножеством любого множества и тем самым всех эквивален­тных классов одновременно. Иными словами, логически ложные суждения не образуют эквивалентного класса, они не являются дополнением логи­чески истинных и правдоподобных суждений. Но все это - не парадоксаль­ные, а необходимые свойства логической лжи.

О том, что такое логическая ложь, и как она соотносится с классами правдоподобных и логически истинных суждений, подробно рассказыва­лось в подразделе 1.3 (рис. 11.5).

Рис. 11.5. Иерархия суждений

Причина возникновения парадокса лжеца - в нарушении субордина­ции суждений разного логического вида. Напомним основные правила иерархии суждений согласно рис. 11.5. Из логически ложных суждений следуют логически ложные, правдоподобные и логически истинные суж­дения. Из правдоподобных суждений следуют только правдоподобные и логически истинные суждения. Из логически истинных суждений сле­дуют только они сами. Все обратные следования неверны. Соблюдение этих нехитрых правил позволит избежать не только парадокса лжеца, но и любых других.

11.5.