Семантика логики предикатов

Семантика ЛП, как и ее синтаксис, обобщает семантику ЛВ. Как и в логике высказываний, главная семантическая проблема логики преди­катов - интерпретация формул как осмысленных выражений.

В логике высказываний для интерпретации формулы достаточно пос­тавить в соответствие ее «атомам» простые высказывания и построить таблицу истинности. В логике предикатов это невозможно. Во-первых,

Семантика ЛП - соглашения и правила, позволяю­щие интерпретировать формулы логики предикатов как осмысленные, т.е. истинные или ложные выска­зывания

потому что ее формулы, кроме знаков, обозначающих логические союзы, содержат знаки, символизирующие нелогические термины - предикатные символы, предметные переменные и константы, функциональные симво­лы и кванторы общности и существования, интерпретация которых под­чиняется особым правилам. Во-вторых, потому что логически истинные формулы ЛП должны быть общезначимы в любом универсуме, включая универсум с бесконечным числом вещей.

Интерпретацией формулы ЛП называется

1) определение значений всех ее нелогических тер­минов;

2) вычисление значения ее истинности в данном универсуме

Понятие интерпретации формул ЛП основано на понятии расшире­ния нелогических терминов произвольной формулы ЛП.

Расширение предметной константы и предметной переменной не вы­зывает особых вопросов. Если в словарь формулы ЛП входит константа а и переменная х, то расширением а в универсуме U = «герои пушкинских

произведений» должно быть некоторое имя собственное, например «Та­тьяна Ларина», расширением х - любой элемент универсума, который мо­жет быть подставлен на место х, включая и указанное имя собственное.

Расширение предиката соотносимо с определением его объема в традиционной логике. Выяснить расширение предиката ЛП означа­ет вычислить его объем в заданном универсуме интерпретации.

предиката, обозначающего бинарное отношение, не пусто, он получает значение «истина», в противном случае - значение «ложь». В данном слу­чае процедура расширения предиката, обозначающего бинарное отноше­ние, сводится к отображению элементов U², образующих его расширение, во множество {T, F}.

Если п> 2, предикат Р^п обозначает n-местное отношение с числом термов, большим двух. В этом случае расширение предиката Р^п образует (возможно, пустое) множество всех n-х элементов универсума, выполня­ющих обозначаемое им отношение. И в этом случае процедура расши­

рения предиката сводится к отображению последовательностей упорядо-

В общем случае построить расширение предиката Pⁿ, где n ≥ 0, озна­чает установить его соответствие с отображением произведения Uⁿ во множество {T, F}.

Истинность квантифицированных высказываний также основана на понятии расширения.

Произвольная формулаглавным знаком которой является

квантор всеобщности, истинна в заданном универсуме, если формула φξ истинна в каждом своем расширении; аналогично этому формула (Aξ)φξ, главным знаком которой является квантор всеобщности, истинна в задан­ном универсуме, если формула φξ истинна хотя бы в одном своем расши­рении.

Объединяет сказанное следующее определение.

Результатом интерпретации может стать любой один из следующих результатов.

Формула ЛП

• выполнима, если и только если она истинна хотя бы в одной интерпретации;

• логически истинна, если и только если истинна во

всех интерпретациях;

• логически ложна, т.е. невыполнима, если и только если она ложна во всех интерпретациях

Рассмотрим несколько примеров интерпретации формул ЛП в уни­версуме с фиксированным числом индивидов.

Пример

Объяснение. Известно, что Сократ был старше Платона. Поэтому невозможно, чтобы Платон был одного возраста с Сократом или старше Сократа. Кроме того, по очевидным причинам ни Сократ, ни Платон не могли быть старше самих себя. Следовательно, из всех возможных упо­рядоченных пар констант а и b,образующих расширение двухместного предиката Рху, только пара РаЪ выполняет предикат Рху. Значит, РаЪ по­лучает значение «истина», а все остальные упорядоченные пары - значе­ние «ложь».

Согласно определению, квантор общности вводит конъюнкцию эле­ментов расширения предиката Рху, а квантор существования - их дизъ­юнкцию. Согласно правилам для конъюнкции и дизъюнкции, вычисляет­ся значение истинности каждой формулы в целом.

В итоге только формула (Ех) (Ey) Рху истинна в указанном универсу­ме при заданном значении констант и предикатного символа. Значит, она истинна в данной интерпретации и тем самым выполнима, а все осталь­ные формулы в этой интерпретации ложны.

7.4.