Семантика логики высказываний

Любая формула остается не более чем последовательностью абстракт­ных знаков, если нельзя установить, каков ее логический смысл. В логике высказываний формула считается осмысленной, если ей можно приписать в качестве логического значения либо «истину», либо «ложь».

Интерпретацией формулы ЛВ называется такое приписывание значений истинности всем ее атомар­ным подформулам, при котором каждая из них по­лучает значение «истина» или значение «ложь» (но не оба вместе)

Анализ понятий «истина», «ложь», «значение», «смысл», обосно­вание правил интерпретации формул - основные задачи семантики как общего раздела логики. В этой работе анализ семантики ЛВ ограничен формулировкой и обоснованием правил интерпретации формул.

Семантика ЛВ - правила интерпретации формул ЛВ как осмысленных (истинных или ложных) вы­сказываний

Интерпретация произвольной формулы ЛВ совершается в два этапа. На первом определяются значения истинности всех ее атомарных под­формул. С этой целью каждой атомарной подформуле ставится в соот­ветствие определенное простое высказывание. На втором этапе вычис­ляется значение истинности всей формулы по определенным правилам (таблицам истинности).

Правила интерпретации формул ЛВ

1. Каждой атомарной формуле интерпретируемой формулы ста­вится в соответствие определенное простое высказывание из уни­версума (области) интерпретации.

2. Каждой атомарной формуле приписывается значение «истина» или «ложь» в соответствии с тем, истинны или ложны выражае­мые ими простые высказывания.

3. Значение истинности всей интерпретируемой формулы ЛВ вы­числяется как функция значений истинности всех своих атомар­ных формул (всех своих аргументов).

Допустим, даны две формулы (ф ⊃ φ) и (ф ? φ).

Так как формулы (ф ⊃ φ) и (ф ? φ) обозначают сложные высказыва­ния, то для вычисления окончательного значения их истинности требует­ся применение третьего правила интерпретации. Для этого необходимо знать смысл соединяющих их логических союзов. Этот смысл задается следующими определениями (Т обозначает истину, F- ложь).

Логическим отрицанием формулы ф называется противоречащая ей формула - ф, которая истинна, если ф ложна, и ложна, если ф истинна

Назовем таблицей истинности формулы ф функцию истинности ф от всех своих атомарных подформул. При этом формула ф может быть как простым, так и сложным высказыванием.

Таблица истинности логического отрицания произвольной формулы ф имеет следующий вид (для наглядности указаны аргументы и значение каждой определяемой функции):

Первый столбец таблицы (аргумент функции логического отрица­ния) указывает все возможные логические значения формулы ф. Второй столбец содержит соответствующие логические значения формулы - ф. Из таблицы следует, что логически отрицающие друг друга формулы не могут быть вместе ни истинны, ни ложны. Если одна из них истинна, то другая ложна, и наоборот. При этом формула ф может обозначать как про­стое, так и сложное высказывание.

Пусть ф = «Я читаю книгу». Тогда - ф = «Неверно, что я читаю кни­гу». Одно из этих высказываний необходимо истинно, а другое необхо­димо ложно.

Следующие логические союзы определяются для двух произвольных формул - ф и φ, так как все они представляют двухаргументные функции истинности.

Таблица истинности конъюнкции двух произвольных формул ф и φ имеет следующий вид:

Каждая формула может быть либо истинной, либо ложной. Следо­вательно, для двух формул мы имеем четыре возможности: ф и φ обе ис­тинны; ф истинна, но φ ложна; ф ложна, но φ истинна; ф и φ обе ложны. В общем, если имеется nформул, то существует 2ⁿвозможностей их ис­тинности. Читая третий столбец, мы видим, что формула (φ &φ) получает значение «истина» только в случае совместной истинности формул φ и φ. Во всех остальных случаях она получает значение «ложь».

Формулы, соединяемые знаком конъюнкции, принято называть конъ­юнктами.

Пусть ф = «Я читаю книгу», φ = «Я слушаю музыку». Тогда выска­зывание «Я читаю книгу и слушаю музыку» представляет конъюнкцию указанных двух простых высказываний и истинно тогда и только тогда, когда они оба истинны одновременно. В противном случае, т.е. если ло­жен хотя бы один конъюнкт, то ложно и образованное из них сложное высказывание.

Конъюнкция считается самым сильным логическим союзом, так как для ее истинности требуется, чтобы были истинны все ее конъюнкты. В естественном языке конъюнкция, кроме союза «и», выражается также союзами «а», «но», «вместе с», «как... так и», «не только... но и», «...хотя и», «а также...», «ни... ни» (в отрицательных суждениях), а также неко­торыми другими.

В формализованном языке перестановка местами конъюнктов не ве­дет к изменению логического значения формулы. Иными словами, фор­мулы (ф &φ) и (φ &ф) эквивалентны (имеют одно и то же логическое значение). В естественном языке конъюнктивная связь часто выражает упорядоченную последовательность событий, и перестановка местами ее членов искажает смысл всего высказывания. Высказывания «Я почистил зубы и лег спать» и «Я лег спать и почистил зубы» вряд ли кто-нибудь посчитает эквивалентными.

Слабой дизъюнкцией формул ф и φ называется формула (φ ѵ φ), которая истинна, если истинна хотя бы одна из них, и ложна, когда ложны как φ, так и φ

Таблица истинности слабой дизъюнкции двух произвольных формул φ и φ имеет следующий вид:

Формулы, соединяемые знаком (слабой и сильной) дизъюнкции, при­нято называть дизъюнктами.

Формула (ф ѵ φ) ложна, если и только если ложны все ее дизъюнк­ты. Во всех остальных случаях она истинна. Пусть ф = «Я читаю кни­гу», φ = «Я слушаю музыку». Высказывание «Я читаю книгу или слу­шаю музыку» ложно, если я одновременно не читаю книгу и не слушаю музыку. Во всех остальных случаях оно истинно. Определенная таким образом дизъюнкция носит нестрогий характер - могут быть одновре­менно истинны все ее дизъюнкты. В естественном языке, кроме сою­за «или», слабая дизъюнкция выражается словами «и/или», «или... или оба», «хотя бы один», «по крайней мере». В отличие от конъюнкции дизъюнкты могут переставляться в любом порядке без потери смысла как в формализованном, так и естественном языке.

Таблица истинности импликации двух произвольных формул ф и φ имеет следующий вид:

В формуле II подформулу ф принято называть антецедентом (от лат. antecedens- предшествующий), подформулу φ - консеквентом (от лат. consequens- следствие).

Из таблицы следует, что импликация однозначно истинна в двух слу­чаях: или ее антецедент (формула ф) ложен, или ее консеквент (формула φ) истинен. Допустим, ф обозначает причину (я нажал выключатель), а φ - ее следствие (лампочка зажглась).

В естественном языке союз «если... то», кроме причинной связи, мо­жет выражать временную последовательность событий, связь условия и средства ее достижения, условие какого-либо договора или соглашения. Однако в логике высказываний данному союзу придается только то зна­чение, которое зафиксировано таблицей: антецедент есть только до­статочное условие истинности консеквента, консеквент есть только необходимое условие истинности антецедента. Из-за такой асимметрии перестановка местами членов импликации в общем случае неправомер­на. Достаточно с этой целью сравнить следующие два высказывания: «Если пойдет дождь, то я раскрою зонт» и «Если я раскрою зонт, то пой­дет дождь».

В естественном языке высказывание «Если ф, то ф» может выражать­ся такими синонимами, как «ф достаточно для ф», «ф необходимо для ф», «ф, только если ф», «ф, если ф», «ф, потому что ф», «ф, так как ф», «когда ф, тогда ф», «ф, значит (следовательно) ф».

Из сказанного ясно, что формула (ф ⊃φ), где антецедент ф = «5 боль­ше 2» - истинное высказывание и консеквент φ = «3 больше 4» - ложное высказывание, обозначает ложное высказывание.

Эквивалентностью формул ф и φ называется фор­мула, которая истинна тогда, когда форму­

лы ф и φ обе истинны или ложны одновременно, и ложна во всех остальных случаях

Таблица истинности эквивалентности двух произвольных формул ф и φ имеет следующий вид:

Из таблицы следует, что формулы ф и φ эквивалентны, если и толь­ко если каждая из них необходима и достаточна для истинности другой формулы.

В естественном языке эквивалентность формул ф и φ может выра­жаться оборотами «ф равносильно ф», «ф необходимо и достаточно для φ>>, «ф необходимо и достаточно для ф», «ф равносильно ф», «ф, если и только если ф», «ф тогда и только тогда, когда ф», «из ф следует φ и из φ следует ф».

Эквивалентные формулы могут переставляться местами без потери смысла высказывания, которое они образуют.

Таблица истинности сильной дизъюнкции двух произвольных фор­мул ф и φ имеет следующий вид:

Дизъюнкты формулычасто называют альтернативами, имея

в виду, что один и только один дизъюнкт истинный или что логическая сумма альтернатив образует полное множество.

Сильная дизъюнкция представляет собой логическое отрицание эк­вивалентности. В отличие от слабой, сильная дизъюнкциями запрещает одновременную истинность всех или некоторых дизъюнктов, кроме одно­го, а также запрещает их одновременную ложность. В естественном язы­ке сильная дизъюнкция чаще всего выражается словами «либо... либо». Из всех возможных альтернатив «Либо сегодня понедельник, либо втор­ник. либо воскресенье» истинна только одна, а все остальные ложны. При этом не могут быть истинными все вместе указанные альтернативы или только некоторые из них, за исключением одной из них. Также невоз­можно, чтобы перечисленные альтернативы все были ложными, одна из них обязательно должна быть истинной.

По предположению, нам неизвестны значения истинности простых вы­сказываний. В этом случае строят таблицу истинности исследуемой формулы. Такая таблица ничем не отличается от таблиц истинности логических союзов. Она представляет функцию истинности всех своих атомарных подформул.

Таблица истинности формулы - (А&- (В⊃С)) имеет следующий вид.

Объяснение. В исследуемой формуле имеется три простых высказы­вания - А, В и С. Значит, существует 2³= 8 возможных интерпретаций (строк) их значений истинности. Первые три столбца (три аргумента функции) символизируют эти возможности. Например, первая строка таблицы говорит о том, что все три высказывания вместе истинны; вось­мая строка - что они все вместе ложны.

Правильно построенная таблица истинности должна содержать все возможные интерпретации истинности и ложности рассматриваемой формулы. Анализ таблицы показывает, что исследуемая формула ложна только в той интерпретации, которую указывает вторая строка - атомарные формулы А, В истинны, атомарная формула С ложна. Во всех остальных интерпретациях указанная сложная формула истинна. Самую интересную интерпретацию представляет собой восьмая строка: все три атомарные формулы ложны, но формула в целом, тем не менее, истинна. Поскольку других интерпретаций нет и быть не может, мы получаем исчерпывающую информацию о логических свойствах исследуемой формулы.

6.4.