Синтаксис логики высказываний

Как и всякий язык, язык логики высказываний имеет определенный алфавит и правила построения с его помощью последовательностей зна­ков, называемых (правильно построенными) формулами.

Синтаксис ЛВ - алфавит и правила, с помощью ко­торых:

1) задается список знаков, входящих во множество символов алфавита логики высказываний;

2) определяются правильно построенные формулы ЛВ

Правильно построенная формула ЛВ - последовательность знаков, которая может быть интерпретирована в качестве истинного или ложного высказывания (далее - формула).

Полный алфавит ЛВ, необходимый для построения формул логики высказываний, задается следующим определением (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Алфавит логики высказываний

Примечание: иных знаков, кроме указанных в п. 1-6, в логике высказываний нет.

Пусть ф, φ, γ, ... обозначают (мета) переменные, пробегающие по всему множеству высказываний ЛВ^[45]. Это означает, что вместо каждой из букв греческого алфавита можно подставлять любое простое или слож­ное высказывание. Например, вместо переменной ф можно подставить высказывание А или высказывание - А, или высказывание (А ⊃В) и т.д. Аналогично для φ, γ... Если в выражении - ф переменную ф заменить на высказывание А, то получится - А, а если на - А, то возникнет высказы­вание с двойным отрицанием -- А (которое эквивалентно А). Заменяя в - ф переменную ф на (А? В), получаем высказывание -(А? В).

В терминах заданного алфавита ЛВ конструируются формулы - сим­волические эквиваленты простых и сложных высказываний согласно сле­дующему определению.

Правила построения формул логики высказываний

Подформула - формула ЛВ, входящая в состав дру­гой формулы ЛВ

но которому все указанные там логические союзы являются бинарными.

В каждой неатомарной формуле имеется логический союз, который считается главным. Если в формуле один логический союз, то он и явля­ется главным. Например, в формуле - А единственным и поэтому глав­ным логическим союзом является знак «-». Соответственно, формула А является подформулой формулы - А. В формуле (А ⊃(А ѵ В)) главным логическим союзом является знак импликации, так как именно он при построении этой формулы вводится последним.

Главный логический союз неатомарной формулы ЛВ - союз, который при ее построении вводится последним

Допустим, следует проверить, представляет ли последовательность знаковформулу ЛВ, а также какой логи­

ческий союз является в ней главным.

С этой целью лучше всего построить дерево данной формулы. Оно строится сверху вниз посредством последовательного выписывания всех подформул, начиная с простых высказываний. Подчеркнутая формула означает, что она является подформулой формулы, написанной строч­кой ниже. Количество «этажей» дерева формулы зависит от числа содер­жащихся в ней логических союзов. Если все подформулы исследуемой последовательности знаков соответствуют правилам построения формул логики высказываний, она считается формулой ЛВ.

Дерево исследуемой формулы имеет следующий вид.

Главным логическим союзом в рассматриваемой формуле является знак импликации ⊃.

Каждый логический союз имеет определенную область действия, в качестве которой выступают все подчиняющиеся ему подформулы.

Очевидно, что область действия главного логического союза состав­ляют все подформулы данной формулы ЛВ.

Область действия логического союза образуют все подформулы данной формулы ЛВ, которые он связывает (подчиняет)

Если высказывание простое или содержит только знаки конъюнкции или только слабой дизъюнкции, проблемы определения области действия логических союзов, как правило, не возникает.

но, так как не указано, какие подформулы составляют область действия знака конъюнкции, а какие - знака слабой дизъюнкции. Для устранения указанной неопределенности вводятся скобки, разграничивающие «пол­

Скобки можно также рассматривать как указание, какое действие, обозначаемое тем или иным логическим союзом, следует выполнять пер­вым, какое вторым и т.д.

Типичная синтаксическая задача - формализация высказываний. Алгоритм формализации следующий. В анализируемом высказывании сначала находят все простые высказывания. Каждое из них обозначается новым символом, если оно не эквивалентно ни одному из уже обозначен­ных высказываний. Затем определяют логические союзы, связывающие простые высказывания. Наконец, конструируется формула, каждая ато­марная формула которой обозначает некоторое простое высказывание, а сама она выражает логическую структуру формализуемого высказыва­ния. Чтобы сделать процесс формализации более понятным, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

«Поскольку всех счастливее в этом мире тот, кто довольствуется ма­лым, то власть имущих и честолюбцев надо считать самыми несчастны­

ми людьми, потому что для счастья им нужно несметное множество благ» (Франсуа де Ларошфуко).

Простые высказывания: А= «Всех счастливее в этом мире тот, кто умеет довольствоваться малым», В= «Власть имущих надо считать са­мыми несчастными людьми», С= «Честолюбцев надо считать самыми несчастными людьми», D = «Для счастья им нужно несметное множество благ».

Пример 2

«Пока родители живы, не уезжай далеко; а если уехал, обязательно живи в определенном месте» (Конфуций).

Простые высказывания: А= «Твои родители живы», В= «Тебе не следует уезжать далеко», С= «Ты уехал», D = «Тебе обязательно следует жить в определенном месте».

Пример 3

«Добродетель, милый мой студент, не делится на части; или она есть, или ее нет» (О. де Бальзак. Отец Горио).

Простые высказывания: А= «Добродетель, милый мой студент, не

Пример 4

«Ибо нет другого способа оградить себя от лести, как внушив людям, что если они выскажут тебе всю правду, ты не будешь на них в обиде, но когда каждый сможет говорить тебе правду, тебе перестанут оказывать должное почтение» (Н. Макиавелли. Государь).

Пример 5

«Альтернатива известна: либо мы не свободны и ответ за зло лежит на всемогущем Боге, либо мы свободны и ответственны, а Бог не всемо­гущ» (А. Камю. Бунтующий человек).

Простые высказывания: А= «Альтернатива известна»; В= «Мы сво­бодны (делать то, что пожелаем)»; С= «Ответ за зло лежит на всемогу­щем Боге»; D = «Мы ответственны (за все, что мы делаем)»; Е= «Бог всемогущ».

Пример 6

«Анна и Денис любили друг друга».

Простое высказывание: А= «Анна и Денис любили друг друга». Было бы ошибкой считать, что здесь мы имеем дело со сложным высказывани­ем: свойство «любили друг друга» не может быть приписано ни Анне, ни Денису в отдельности, а только им обоим вместе.

Логические союзы: нет.

Логическая структура: А.

6.3.