Основные определения и допущения логики высказываний

Классическая (стандартная) символическая логика (логика высказы­ваний и предикатов) возникла на рубеже XIX и ХХ столетий в результа­те независимых попыток Готтлоба Фреге (1848-1925), Бертрана Рассела (1872-1970) и Альфреда Уайтхеда (1861-1947) свести математику к логи­ке и Давида Гильберта (1862-1943) и его последователей формализовать всю математику.

Долгое время логика высказываний и предикатов считалась теорией настолько универсальной и совершенной, что никакие другие логики не

принимались во внимание или их рассматривали как курьез. Но в послед­ней трети прошлого столетия в связи с потребностями конструирования искусственного интеллекта и программирования процесс создания новых логик принял настолько бурный характер, что игнорировать это явление было уже невозможно. Стало ясно, - наступил новый, «плюралистичес­кий» этап в развитии символической логики. Все новые логические тео­рии объединили под общим названием «неклассическая логика».

Объяснение связи классической логики и неклассической требует специального исследования. Здесь же укажем на основные части и разде­лы стандартной логики высказываний и предикатов.

Классическая символическая логика включает в себя следующие части.

1. Синтаксис - правила построения формализованного языка.

2. Семантика - правила интерпретации выражений построенно­го языка как осмысленных.

3. Правила вывода - правила, позволяющие из посылок умозак­лючений выводить необходимые следствия.

Отметим, что эти части обязательны не только для классической, но и всех неклассических логик.

Классическую и неклассические логики друг от друга отличают сле­дующие два допущения.

1. Значение истинности высказываний, не содержа­щих кванторы, однозначно определяется значением истинности образующих их простых (атомарных) высказываний.

2. Высказывания, имеющие одно и то же расшире­ние (один и тот же объем или одно и то же значение истинности), считаются эквивалентными

Если логика выполняет оба допущения, значит она является класси­ческой. В противном случае, т.е. когда не выполняется хотя бы одно из указанных допущений, логика должна быть отнесена к разряду неклас­сических.

Идея создания универсального логического языка, позволяющего из­бавить человечество от мук творчества, лежит в основе всей современной логики. Заменить операции с мыслями чисто формальными действиями со знаками некоторого базисного языка, сформулировать надежные пра­

вила открытия и доказательства новых истин, которые можно было бы применять чисто механически, вывести из небольшого числа достовер­ных аксиом законы всех остальных наук - эти цели вдохновляли не одно поколение логиков, философов и математиков. Лишь в первой трети на­шего столетия К. Геделем была доказана неосуществимость этой идеи в полном объеме. Но как часто бывает в истории, именно попытки вопло­тить в жизнь недостижимую идею - заменить творческий поиск рутин­ными преобразованиями символов - привели к созданию современной логики.

Современная логика - это символическая логика. Ее назначение вы­ражает следующее определение.

Символическая логика - это теория исчислений

Исчислением принято называть формальный алгоритм построения новых символических объектов из заданных. Знаки и правила опери­рования ими в каждом исчислении тщательно определяются. Каждый введенный знак имеет свой точный смысл. Каждое правило трактуется однозначно. Благодаря такой определенности удается точно выражать логическую структуру рассуждений, логические связи между ними, эф­фективно преобразовывать одни рассуждения в другие.

На сегодняшний день символическая логика представляет собой достаточно обширную и дифференцированную совокупность теорий и исследований. Тем не менее можно выделить логику высказываний и ее расширение - логику предикатов в качестве общего базиса. В этой главе анализируется логика высказываний (ЛВ).

Логика высказываний основана на определенных базисных понятиях и допущениях. Рассмотрим их последовательно. Исходным в ЛВ являет­ся понятие высказывания.

Высказывание ЛВ - предложение, выражающее простое или сложное суждение

Утверждение «Бессмертная любовь, рождаясь вновь, нам неизбежно кажется другою» (В. Шекспир) обладает субъектом, предикатом, связкой и знаком количества и тем самым выражает (простое) суждение. Сле­довательно, оно является высказыванием ЛВ. Выражение «бессмертная

любовь» не обладает атрибутами суждения и поэтому не является выска­зыванием ЛВ.

В отличие от традиционной логики и логики предикатов субъектно­предикатная структура высказываний в ЛВ не принимается во внимание как не имеющая никакого значения для формализации доказательств.

Субъектно-предикатная структура высказываний в

ЛВ не учитывается (игнорируется)

Единственное свойство высказываний ЛВ, которое принимается во внимание - это их способность быть истинными или ложными сужде­ниями. Истину и ложь принято называть логическими значениями, или значениями истинности высказываний ЛВ.

Высказывание ЛВ истинно, если и только если ис­тинно выражаемое им суждение. В противном слу­чае высказывание ЛВ считается ложным

Предложение «5 больше 3» - истинное высказывание, потому что выражаемое им суждение истинно. Предложение «3 больше 5», наоборот, ложное высказывание, потому что выражаемое им суждение ложно.

Вторым по значению и логике высказываний является понятие логи­ческого союза (связки).

В естественном языке логические союзы выражаются словами «не», «если... то», «или», «либо... либо», «если и только если», «ни... ни» и их многочисленными синонимами. С помощью логических союзов из про­стых высказываний образуются сложные высказывания.

Высказывание ЛВ считается сложным, если и толь­ко если оно содержит вхождение хотя бы одного ло­гического союза. В противном случае высказывание является простым

Высказывание «Сегодня среда» - простое. Высказывание «Сегодня среда или четверг» - сложное, так как состоит из двух простых высказы­ваний «Сегодня среда» и «Сегодня четверг», соединенных союзом «или». Сложным будет высказывание «Неверно, что сегодня среда», так как оно представляет отрицание простого высказывания «Сегодня среда», с по­мощью логического союза «неверно, что».

В логике высказываний по соглашению допускается, что каждое про­стое высказывания либо истинно, либо ложно. При этом некоторые слож­ные высказывания, именно противоречивые высказывания, могут быть одновременно истинными и ложными.

Допущение бивалентности. Каждое простое вы­сказывание ЛВ либо истинно, либо ложно

Следует отметить, что в отличие от простых высказываний некото­рые сложные, именно противоречивые высказывания, одновременно ис­тинны и ложны. Ниже объясняется, почему такие высказывания называ­ют логически ложными.

В логике высказываний также допускается, что логическое значение любого сложного высказывания однозначно определяется значениями истинности образующих его простых высказываний. Следовательно, зна­чение истинности любого сложного высказывания представляет собой определенную функцию истинности значений истинности образующих его простых высказываний.

Значение истинности сложного высказывания

ЛВ представляет собой функцию истинности значе­ний истинности составляющих его простых выска­зываний

Функции истинности представляют собой разновидность функций в обычном понимании - как правило, связывающих переменные, назы­ваемые аргументами функции, с другими, называемыми ее значениями.

Простые высказывания определяют значение истинности сложного высказывания тремя принципиально отличающимися способами.

Во-первых, сложное высказывание может быть истинно независимо от того, все простые высказывания истинны, все ложны или некоторые

истинны и некоторые ложны. Такие высказывания принято называть ло­гически истинными, а также законами логики, тавтологиями.

Во-вторых, сложное высказывание может быть ложно независимо от распределения логических значений простых высказываний. Такие вы­сказывания принято называть логически ложными, а также логическими противоречиями.

Наконец, сложное высказывание может быть истинно при одних рас­пределениях логических значений и ложно при других. Такие высказыва­ния принято называть правдоподобными (относительно истинными).

Высказывание «Сегодня среда или не среда» - логически истинное, так как оно истинно в любой день недели. Высказывание «Сегодня среда и не среда» - логически ложное, так как оно ложно в любой день недели. Высказывание «Сегодня среда» правдоподобное, так как оно истинно по средам и ложно во все остальные дни.

Как будет показано ниже, все задачи ЛВ так или иначе связаны с пос­троением алгоритма, позволяющего определить для произвольного вы­сказывания, обозначает ли оно логически истинное, логически ложное или правдоподобное высказывание.

6.2.