Відношення між простими категоричними судженнями за істинністю
Поділивши всі прості категоричні судження за кількістю та якістю, ми одержуємо можливість чисто формально, не знаючи змісту суджень встановлювати їх істинність чи хибність, виходячи тільки із знання про значення суджень іншого типу.
Припустимо, що судження типу А, тобто загальностверджувальне судження (всі S є Р), є істинним.
Неважко зробити висновок, що частковостверджувальне судження І (деякі S є Р) в цьому випадку теж буде істинним, оскільки, якщо всі предмети класу S мають ознаку Р, то деякі предмети цього класу теж мусять мати цю ознаку.
Загальнозаперечне судження E (всі S не є Р) буде хибним. Це теж очевидно: якщо нам відомо, що істинним буде судження типу А (всі S є Р), то судження E (всі S не є Р) мусить бути хибним, оскільки одночасно істинними вони не можуть бути.
Хибним буде також і частковозаперечне судження O (деякі S не є Р). Адже нам відомо, що всі S мають ознаку Р, значить, що судження «деякі S не мають ознаки Р» не може відповідати дійсності. Таким чином, ми одержуємо три співвідношення:
Тепер істинним будемо вважати загальнозаперечне судження E (всі S не є Р). Зрозуміло, що за цієї умови істинним буде також і частковозаперечне судження O (деякі S не є Р): якщо ні один предмет класу S не має ознаки Р, то не можуть мати цієї ознаки і деякі предмети цього класу. Отже судження «деякі S не є Р» буде відповідати дійсності, тобто буде істинним. Судження А (всі S є Р) за умови істинності загальнозаперечного судження буде,
звичайно, хибним. Хибним також буде і частковостверджувальне судження. Бо якщо нам відомо, що жодне S не має ознаки Р, то судження «деякі S є Р» ніяк не може бути істинним.
Отже, якщо нам відомо, що загальнозаперечне судження істинне, то ми можемо записати:
E1-O1 Ei-Ax E1-Ix
Тепер будемо вважати істинним судження типу І (деякі S є Р).
За цієї умови очевидно, що хибним буде судження типу E (всі S не є Р). Що стосується загальностверджувального судження А (всі S є Р), то про нього ми не можемо сказати, чи буде воно істинним або хибним, оскільки нам відомо тільки те, що частина класу S має ознаку Р. Інша частина може теж мати ці ознаки, і тоді судження А буде істинним, але вона може і не мати цих ознак, і тоді судження А буде хибним. Отже, коли нам відомо, що частковостверджувальне судження істинне, то загальностверджувальне залишається невизначеним. Невизначеним в цьому випадку буде також і частковозаперечне судження, оскільки знаючи тільки те, що деякі предмети класу S мають ознаку Р, ми ще нічого не можемо сказати стосовно того, мають цю ознаку інші предмети цього класу чи не мають.I1-Ex
I1-Ah
I1-Oh
Візьмемо за істинне частковозаперечне судження O (деякі S не є Р). Це буде означати, що загальностверджувальне судження А (всі SeP) буде хибним. Загальнозаперечне E (всі S не є Р) буде в цьому випадку невизначеним з тих же причин, які були вказані для відношення Ii - Ah Невизначеним буде також за даної умови і частковостверджувальне судження І (деякі S є Р) з тих же причин, з яких істинність частковостверджувального судження І зумовлювала невизначеність частковозаперечного О.
Отже:
Oi-Ax Oi-Eh O1-Ih
Але це ще не всі відношення, які ми можемо встановити між простими категоричними судженнями за їх істинністю чи хибністю.
Ми ще можемо припустити, що судження типу А (всі S є Р) є хибним. Звідси однозначно можна вивести, що істинним буде частковозаперечне судження O (деякі S не є Р). Адже А (всі SeP) буде хибним тоді і тільки тоді, коли, як мінімум, деякі предмети класу S не матимуть ознаки Р, що і фіксується в частковозаперечному судженні. В той же час хибність загальностверджувального судження не зумовлює хибності судження частковостверджувального.
Судження типу І (деякі S є Р) за умови хибності судження А (всі SeP) може бути як хибним, так і істинним. Наведемо приклад. Скажімо, нам відомо, що неправда, що всі студенти якої-небудь групи здали екзамен з логіки на «5». Звичайно, що з цієї інформації неможливо вивести - істинним, чи хибним буде судження деякі студенти цієї групи здали логіку на «5». На перший погляд може здатися, що хибність загальностверджувального судження А (всі SeP) зумовить істинність загальнозаперечного судження E (всі S є Р). Насправді це не так. Загальнозаперечне судження в цьому випадку буде невизначеним. Адже загальностверджувальне судження А (всі SeP) може бути хибним з двох різних причин. Одна з них - коли E (всі SeP)- істинне. Друге - коли істинним буде тільки частковостверджувальне судження О, тобто, коли тільки деякі S не матимуть ознаки Р. Загальнозаперечне судження в цьому випадку цілком може бути теж хибним.Ax-Oi
Ax-Ih
Ax-Eh
Коли хибним ми вважатимемо судження типу E (всі S не є Р), то істинним буде частковостверджувальне судження. Це очевидно: якщо неправда, що деякі S не мають ознаки Р, це може означати тільки одне - що деякі S мають ознаку Р. Частковозаперечне судження буде невизначеним, оскільки невідомо, з якої саме причини E буде хибним - чи тому, що насправді всі S мають ознаку Р, чи тому, що тільки деякі її мають, а деякі все-таки не мають. Невизначеним буде також і загальностверджувальне судження з тих же причин, з яких хибність судження типу А зумовлювала невизначеність суджень типу Е.
Тепер припустимо, що хибним є частковостверджувальне судження І (деякі SeP). Зрозуміло, що якщо неправда, що деякі предмети класу S мають ознаку Р, то судження А (всі SeP) також буде хибним. Зате загальнозаперечне судження у випадку хибності частковостверджувального буде однозначно істинне. Адже якщо неправда, що деякі S мають ознаку Р, це може значити тільки одне - що жоден предмет класу S цієї ознаки не має.
Частковозаперечне судження O (деякі S не є Р) за умови хибності частковостверджувального теж буде істинним. Неможливо припустити, щоб одночасно хибними були судження «деякі S є Р» і «деякі S не є Р». Одне з таких суджень мусить бути істинним. Візьмемо для прикладу два часткових судження: «деякі люди мають вищу освіту» і «деякі люди не мають вищої освіти». Звичайно, обидва ці судження можуть бути одночасно істинними. Але якщо одне з таких суджень буде хибним, то інше, обов’язково мусить бути істинним.
Залишилось розглянути ще одне припущення: що судження типу O (деякі S не є Р) хибне. Припускаючи хибність частковостверджувального судження, ми отримаємо, що у випадку хибності частковозаперечного судження O (деякі S не є Р) хибним буде також і судження E (всі S не є Р). Аналогія легко підтверджується міркуванням: якщо неправда, що навіть деякі предмети класу S не мають ознаки Р, то очевидно, що неправдою буде і те, що всі предмети класу S не мають ознаки Р. Але це означає, що всі предмети класу S мають ознаку P. І дійсно, якщо судження типу O (деякі S не є Р) хибне, тоді судження типу А (всі SeP) вочевидь буде істинним. Відношення між судженнями типу O (деякі S не є Р) і типу І (деякі SeP) вже розібрані вище.
Таким чином, ми одержали останню групу можливих відношень між простими категоричними судженнями за істинністю:
Неважко помітити, що у відношеннях між різними типами суджень існує певний алгоритм. Так, скажімо, відношення між загальнозаперечними судженнями та частковозаперечними будуть подібні до відношень між загальностверджувальними та частковостверджувальними судженнями. Істинність загальних суджень визначає істинність часткових суджень тої ж якості, а хибність часткових суджень зумовлює хибність загальних тої ж якості. Таке відношення називається відношенням підпорядкування.
Можна згрупувати певним чином і інші відношення між судженнями. Для наочності в розумінні різних типів відношень між судженнями та для полегшення запам’ятовування в логіці традиційно використовується так званий логічний квадрат. Букви на вершинах означають чотири основні типи суджень.
Мал.8. Логічний квадрат
Отже, вертикальні сторони квадрата будуть символізувати відношення підпорядкування. Відношення по діагоналях (між загальними судженнями та частковими судженнями протилежної якості) будуть називатися відношеннями суперечності або контрадикторності. Суть його в тому, що судження, які знаходяться у відношенні суперечності, повністю одне одного виключають. Якщо одне з них істинне, то інше обов’язково хибне і навпаки - якщо одне хибне, то інше обов’язково істинне. Наприклад, якщо істинне загальностверджувальне судження А «всі люди смертні», то суперечливе до нього судження типу O «деякі люди не є смертними» однозначно буде хибним. Коли ми візьмемо якесь істинне частковозаперечне судження, скажімо «деякі люди не вміють грати в шахи», то загальностверджувальне судження А «всі люди вміють грати в шахи» буде очевидно хибним.
Відношення контрарності (протилежності), тобто відношення між загальностверджувальними А та загальнозаперечними E судженнями (воно символізується верхньою стороною логічного квадрату), відрізняється від відношення суперечності тим, що хибність ОДНОГО 3 KOHTpapHHX суджень ще не означає істинності іншого. Таким чином, судження А і E можуть бути одночасно хибними, але не можуть бути одночасно істинними.
Відношення по нижній стороні квадрату (між частковими судженнями різної якості) називається відношенням часткового збігу або субконтрарності. Його суть в тому, що два часткових судження, які перебувають в цьому відношенні, можуть бути одночасно істинним, але не можуть бути одночасно хибними.
5.3.