1. ЗАКОН ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКИ

Закон исключенного третьего обычно фор­мулируется так: «Из двух противоречащих суждений, одно должно быть истинным, другое — ложным; третье­го не дано» ¹.

Символическая формула закона исключенного тре­тьего: «А есть либо В, либо не-В».

Закон исключенного третьего исключает возмож­ность какого-либо третьего, среднего суждения между двумя противоречащими, поэтому он иногда выражает­ся в краткой форме: «Третьего ме дано» («ІеНішіи поп datiH»).

Определение закона исключенного третьего, приня­тое в настоящее время, следует формулировке, данной Аристотелем: «...не может быть ничего посредине меж­ду двумя противоречащими (друг другу) суждениями, но об одном (субъекте) всякий отдельный предикат не­обходимо либо утверждать, либо отрицать» 2

При анализе закона исключенного третьего необхо­димо уточнить, что именно понимает логика под «про­тиворечащими суждениями».

Аристотель дает следующее определение противоре­чащих суждений: «Противоположность утверждения и

а «Закон исключенного третьего (среднего): А есть В или не-В, третье невозможно. Из двух контрадикторных суждений одно должно быть истинным; оба суждения одновременно и в одном и том же отношении не могут быть ложными». «\Мог1егЬисЙ бег рЬПозорЫзсйеп Ве^пНе» уопR. Еізіег, Вапб I, Вегііп. 1927, стр. 424; «...для всякого высказывания А истинно по крайней мере одно из двух: само А или его отрицание», «Философская эн­циклопедия», т. 2, М., 1962, стр. 327.

²Аристотель. Метафизика, кн. 4, гл. 7, М.—Л., 1934, стр. 75,

отрицания я тогда называю противоречащей (контра­дикторной), когда первое (т. е. утверждение) приписы­вает предмету что-либо вообще, а второе (отрицание) о нем же что-либо отрицает не вообще» 3.

В современных руководствах по логике единичные суждения, различающиеся по качеству, относятся к суждениям противоречащим. Аристотель также относил к противоречащим суждениям два единичных сужде­ния, из которых одно отрицало то, что утверждало другое.

«При утверждении и отрицании..., — говорит он, — один член (отношения) будет всегда ложным, другой истинным, ибо то, что Сократ болен и что Сократ не болен, — это (такие) два положения, из которых одно очевидно истинно, а другое ложно...» 4.

Очевидно, в связи с тем, что закон исключенного третьего в практике мышления часто применяется к единичным суждениям, символическая формула закона исключенного третьего принимает вид: «А есть либо В, либо не-В». (Хотя в такой символике закона совер­шенно не видно, что здесь имеет место противопостав­ление двух суждений, различающихся и по качеству, и по количеству).

Данная символика закона исключенного Третьего указывает еще на один новый момент в его толкова­нии: закон исключенного третьего говорит о том, что нельзя чему-либо приписывать какой-либо признак и одновременно отрицать его; данный предмет не может одновременно иметь какой-либо признак и не иметь его, быть и В и не-В.

Таким образом, закон исключенного третьего может быть выражен и в виде формулы: «А либо есть, либо не есть В» и в виде формулы: «А есть либо В, либо не-В». Эти формулы могут быть преобразованы одна в другую без изменения их основного смысла, то есть утвердительное суждение может быть преобразовано в отрицательное и наоборот. В первом своем выражении

³Аристотель. Об истолковании, § 7, тезис 5-й, СПб., 1892, стр. 28.

^tАристотель. Категории, гл. 10, М., 1939, стр. 41.

■ формула закона говорит о несовместимости одновре­менного утверждения и отрицания одного и того же об одном и том же («А либо есть, либо не есть В»). Во втором своем выражении формула закона говорит о том, что одному и тому же нельзя одновременно и при­писывать какой-либо предикат, и отрицать его наличие («А есть либо В, либо не-В»).

Значение закона исключенного третьего состоит в том, что он позволяет заключать об истинности одного из противоречащих суждений.

Закон исключенного третьего имеет большое значе­ние в качестве орудия косвенного доказательства, так называемого доказательства «от противного» (точнее, «от противоречащего»). Как известно, суть этого дока­зательства состоит в том, что из ложности суждения, противоречащего тезису, заключают об истинности те­зиса. Только при косвенном опровержении в качестве антитезиса можно брать положение, не только проти­воречащее тезису, но и противное ему.

Закон исключенного третьего, наряду с законом противоречия, служит орудием научной критики: нару­шение требований закона исключенного третьего гово­рит о логической противоречивости рассматриваемой теории и тем самым о ее несостоятельности. Таким спо­собом, в частности, проверяется система аксиом, лежа­щих в основании различных разделов математики. Если из данной системы аксиом можно получить в качестве вывода результат, противоречащий принятым исходным положениям, то данная система аксиом является не­состоятельной и требует пересмотра.

Нарушение закона исключенного третьего формаль­ной логики считается недопустимым, так как ведет к логическим противоречиям. Но практика мышления до­казывает, что в известных случаях мышление не укла­дывается в рамки формулы «или-или» закона исключен­ного третьего формальной логики. В связи с этим возникает вопрос: при всех ли условиях закон исклю­ченного третьего является справедливым? '

Некоторые логики усматривают в критическом под­ходе к закону исключенного третьего большую опас­ность, полагая, что отрицание закона исключенного

третьего лишает правильное логическое мышление одной из основных его опор., Так как закон исключен­ного третьего имеет большой значение в процессе по­знания, — с его помощью осуществляется выбор между истиной и не истиной, — то отрицание закона заводит мышление в тупик.

Известный математик Д. Гильберт со всей реши­тельностью выступает на защиту закона исключенного третьего: «Отнять у математиков закон исключенного третьего, — говорит он, — это то же, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользо­ваться кулаками» ⁵.

Вокруг закона исключенного третьего формальной логики развернулась острая борьба, в которую оказа­лись втянутыми логики, математики и специалисты других областей науки.

* [91][92]

*

Сомнение в справедливости закона исключенного третьего возникло уже в античном мире, в эпоху фор­мирования науки логики. Исследование природы дви­жения обнаружило, что практика мышления в данном случае не укладывается в рамки формулы «или-или». Возникла дилемма: либо отыскать в сделанном рас­суждении логическую ошибку, скрытый в глубине рассуждения софизм, — или признать ограниченность, недостаточность формулы «или-или» закона исключен­ного третьего формальной логики.

Такая дилемма встала уже перед древнегреческими философами, математиками и физиками при анализе природы движения. Наиболее ярким примером в этом отношении является одна из апорий древнегреческого философа Зенона Элейского, известная под названием «летящая стрела».

Текст апории, согласно свидетельству Диогена Ла- эрция, в дословном переводе с древнегреческого гла­сит: «Движущееся (тело) не движется ни в том месте, в котором находится, ни в котором не находится»-⁶.

■ Таким образом, анализ движения (на примере дан­ной конкретной задачи) приводит к необычному, более того, недопустимому с точки зрения формальной логики выводу, что движущаяся стрела в данный момент вре­мени и находится в данном месте, и не находится в нем. Вместо формулы «или-или» здесь применяется формула «и-и» по отношению к двум противоречащим положени­ям. Применение этой формулы в данном случае явно несовместимо с положением закона исключенного тре­тьего формальной логики, который утверждает, что два противоречащих положения не могут быть одновремен­но истинными, что одно из них истинно, другое — лож­но, а третьего не дано.

Все попытки философов, логиков, математиков в те­чение ряда веков найти ошибку в рассуждениях Зенона Элейского или втиснуть его апорию в рамки законов мышления формальной логики закончились неудачей.

Явное расхождение между признанием противоречи­вой природы движения и законом исключенного третье­го было вскрыто еще античной философией. Именно по­этому апория Зенона Элейского «летящая стрела» и привлекла особое внимание философов, логиков и ма­тематиков. Хотя в период появления апории «летящая стрела» формальная логика как наука еще не была создана и ее законы мышления еще не были сформу­лированы, но у древних греков уже сложилось твердое представление о допустимых и недопустимых формах мышления, а именно признавалось недопустимым одно­временно утверждать и отрицать одно и то же об од­ном и том же.

Исходя из того, что утверждение и отрицание одно­го и того же об одном и том же представляет абсурд, нелепость, Зенон Элейский сделал заключение о лож­ности посылки, приведшей к нелепому выводу. Так как исходной посылкой данного рассуждения является по­ложение, что «стрела движется», то, следовательно, это положение ложно, движение существует лишь «по мнению», а «по-истине» его нет. Таким образом, Зенон

Элейский, обнаружив явное расхождение между при­знанными законами мышления и противоречивой приро­дой движения, пришел к отрицанию движения.

В течение более двух тысячелетий многие философы, логики и математики пытались опровергнуть апорию Зенона Элейского, найти в ней логическую ошибку, изобличить Зенона Элейского в софизме. Такие по­пытки не прекращаются и до сих пор. Все эти попытки были обусловлены желанием устранить явное расхож­дение между выводами, к которым приводит анализ движения, и законами мышления формальной логики, не допускающей противоречий ни в природе вещей, ни в формах мышления.

Одну из первых попыток опровержения апории Зе­нона Элейского «летящая стрела» сделал Аристотель. Сформулированные им «начала» мышления — начала противоречия и исключенного третьего — явно не увя­зывались с результатами анализа природы движения в апории «летящая стрела».

А. Бергсон не считает возможным становиться на путь отрицания движения, полагая, что причину непра­вильного истолкования природы движения следует видеть в том заблуждении, «которое принимает отно- сигельно хода вещей мысль и язык»30.

Это неправильное представление о природе движе­ния, по мнению А. Бергсона, распространяется на все процессы изменения и развития: «...нет ничего легче,— замечает А. Бергсон, — как распространить аргумен­тацию Зенона на качественное становление и на ста­новление эволюционное. И здесь встретятся те же са­мые противоречия. Что ребенок становится юношей, потом зрелым человеком, наконец стариком, — это просто точка зрения разума, предписываемые нам извне возможные остановки вдоль непрерывности развития. Примем, напротив, детство, юность, зрелость и старость, как составные части эволюции: они сделаются реаль­ными остановками, и мы уже не поймем, как возможна

²⁶A. Бергсон. Творческая эволюция, М., 1914, стр. 272.

²⁷ Там же, стр. 275. '

²⁸ Там же.

²⁹ Там же, стр. 280.

³⁰ Там же, стр. 267.

эволюция, ибо рядоположенные неподвижности никогда не будут эквивалентом движения» 31.

Признавая пространственное движение, изменение как факт, А. Бергсон считает, что этот факт неверно выражается в формах мышления и языка, так как то, что представляет собою процесс изменения, сводится к неизменному, единое сводится к раздельному.

«Предположить, что подвижное тело находится в какой-нибудь точке пробега, — пишет А. Бергсон, — это значит одним ударом резца, направленного на дан­ную точку, разрезать пробег надвое, и единую, — как считали сначала, —■ траекторию заменить двумя. Это значит различить два последовательных акта там, где, согласно гипотезе, существует только один. Словом, это значит перенести на самый полет стрелы все то, что может быть сказано о пройденном ею промежутке, т. е. допустить а приора ту несообразность, что движение совпадает с неподвижностью» ³2.

Таким образом, по мнению А. Бергсона, познание потока, каким является процесс движения и изменения, ускользает от познания. Но как же можно постигнуть этот шоток действительности? Здесь А. Бергсон стано­вится на позиции идеализма и мистики. Упрекая элеа- тов за то, что они не постеснялись обвинить природу вещей, А. Бергсон выступает с обвинением разума, ут­верждая, что разум по своей природе неспособен по­стигнуть природу движения. Поставив проблему познания природы движения, А. Бергсон предлагает разуму капитулировать. На место разума он выдвигает мистическую интуицию, познание посредством внутрен­него созерцания. Трудности, связанные с задачей поз­нания движения, процессов, А. Бергсон использует лишь для того, чтобы попытаться укрепить позиции идеализма. Бергсон признает наличие противоречий в движении, в реальной действительности, но он не до­пускает противоречий в мышлении, тем самым оставаясь в пределах ограниченного, формально-логического мыш­ления, рассматривающего любое противоречие в мыш­лении как нелепость и ошибку.

Иной выход из создавшихся трудностей видит не­мецкий логик В. Вундт. Будучи вынужденным признать

³¹ А. Бергсон. Творческая эволюция, стр. 278—279.

³² Там же, стр. 276—277.

текучесть вещей и вытекающие отсюда следствия, В. Вундт утверждает, что закон исключенного третьего формальной логики является лишь законом мышления, но он не передает действительной природы вещей. («Как закон «А есть А» не является каким-либо реаль­ным показанием, так как разделение — «А есть или В или не-В» — не является действительным делением, но , является только всеобщим логическим выражением дизъ­

юнктивного закона, согласно которому члены понятия исключают друг друга, и должны дополнять друг дру­га в целом понятии» ³³.

Вопрос о роли и месте закона исключенного третье­го формальной логики в 20-х годах XX в. стал пред­метом острой дискуссии среди математиков. Голландский математик Брауэр (а ранее французский математик Борель) в связи с анализом основ высшей математики I поставил под сомнение закон исключенного третьего

¼ формальной логики 34.

_ι Полемика о логических основах высшей матема-

J тики и сущности нового направления в истолковании ее

основ — интуиционизма — вызвала к жизни обширную литературу. Ряд работ, посвященных логическим ос­новам высшей математики, написан советскими мате­матиками. Здесь прежде всего необходимо выделить работу А. Н. Колмогорова «О принципе tertrnm поп . datur»3⁵.

С. К. Клини дает следующую характеристику взгля­дов Брауэра, критиковавшего закон исключенного тре-. тьего: «Брауэр (1908) в статье, озаглавленной «Недо­стоверность логических принципов», бросил вызов вере в то, что правила классической логики, дошедшие до . нас по традиции в основном от Аристотеля (322 г. до

н. э.), являются абсолютно законными, независимо I от содержания того, к чему они прилагаются»^⁶. Далее

і

>——------------------------

³³ W. W и п d t. Logik, vierte Auflage, I Band, Stuttgart, 1919, стр. SS6.

3 ⁴ L. В го и we r. Ober Cie Bedeutungen der Satres vom aus­. geschlossen Dritten in Cer MatUematik, inb>esondere in Cer Funk-

tionentheorie, «Journal fiir We reiτe und angewandte Mathematik*, i92S, № iS4, стр. і—7.

35 А. Н. Колмогоров.D npuμuune tertium non Ca1ur, «Ma- τeMaτu4eckud сборник», i92S, № 32, стр. 646—667.

3 ⁶ С. К. Kλuhk. BeegeHue в MeτaMaτeMaτuky, ИЛ, M., 19S7, стр. 48.

IJZ

автор цитирует Вейля (1946): «Согласно его взглядам и пониманию истории, классическая логика была аб­страгирована от математики конечных множеств и их подмножеств... Забывая об атом ограниченном проис­хождении, впоследствии эту логику приняли ошибочно за нечто высшее и первичное по отношению ко всей математике и в конце концов стали применять ее без какого-либо оправдания к математике бесконечных мно­жеств. Два очевидных примера показывают, что прин­ципы, истинные при рассмотрении конечных множеств, не обязательно переносятся на бесконечные множества. Один из них — принцип, заключающийся в том, что целое больше своей части, в применении 0-1 — соответствия между множествами... Другой принцип состоит в том, что во всяком множестве натуральных чисел имеется наибольшее число» ^[101].

Клини так излагает взгляды Брауэра на закон иск­люченного третьего: «1 Іринципомі классической лої ики, который является истинным при рассуждениях о ко­нечных множествах, по который Брауэр не приниміает для бесконечных множеств, является закон исключен­ного третьего. Этот закон, в его общем виде, утвер­ждает, что для каждого предложения А либо А, либо не-А» з.

Закон исключенного третьего неприменим по отно­шению к бесконечным множествам, так как принци­пиально невозможно закончить исследование бесконеч­ного множества.

В связи с этим закон исключенного третьего стал предметом тщательного анализа в математике, то есть в теории доказательства, развиваемой математической логикой. При этом вопрос идет не о толковании закона исключенного третьего, а о возможности и условиях его применения.

Закон исключенного третьего выражается в матема­тической логике следующей символической формулой: p>x^'P,то есть «р или не-/?», точнее, «или или не-/;». Приведенная формула означает, что между утвержде­нием и отрицанием одного и того же высказывания среднего нет.

Приходится отмстить, что закон исключенного тре­тьего в математической логике дается в несколько упрошенном виде по сравнению с той его формулиров­кой, которая принята в классической, аристотелевской логике. В обычной формальной логике подчеркивается, что закон исключенного третьего имеет силу лишь по отношению к противоречащим, суждениям, а не просто к любому случаю утверждения и отрицания одного и того же. Так, закон исключенного третьего не имеет силы по отношению к противным суждениям, то есть к пртеивтптлтжнтсеи суждений общего утверждения и общего отрицания («Все S суть Р» и «Ни одно S не есть Р»), между которыми возможно нечто среднее, третье.

Такое упрощенное толкование закона исключенного третьего возможно лишь тогда, когда при анализе суж­дений мы абстрагируемся от структуры суждений и учитываем лишь одно — их истинность К- Бакрадзе. Логика, стр. 79.

5’ Там же, стр. 425.

⁵² А. В. Савинов. Логические законы мышления, стр. 212.

Но хотя автор характеризует закон исключенного третьего формальной лотки как закон мышления на низшей ступени познания, вместе с тем пн рассматри­вает этот закон как обязательный и для высшей ступе­ни познания. Вряд ли с такой оценкою закона исклю­ченного третьего можно согласиться. Высшая ступень в развитии науки не была бы высшей, если бы она не отрицала некоторых предписаний низшей ступени, не давала свою, более широкую формулировку тех или иных положений, не вносила известных «поправок» в положения низшей ступени в развитии науки.

Вопрос о роли закона исключенного третьего в свете положений диалектики о развитии всего существующего бегло затронут в учебном пособии по логике под ре­дакцией Д. П. Горского и П. В. Таванца. При харак­теристике закона исключенного третьего формальной логики говорится, что этот закон связан с абстракцией от процесса изменения и развития.

«Закон исключенного третьего является отражением в мышлении того простого факта, что вещь или ее свой­ство, когда мы отвлекаемся от развития, изменения, или существует, или не существует, или оно есть, или его нет» 53.

Таким образом, в данной формулировке признается, что закон исключенного третьего формальной логики действителен лишь при известных условиях и отсюда можно сделать вывод об его ограниченности. Но прямо об этом не говорится. Естественно, что при этом воз­никает вопрос: как должен отразиться в мышлении человека процесс изменения, развития, если от него нельзя отвлечься. Может быть этот вопрос трудно осве­тить в учебнике по элементарной логике, но тогда сле­довало, по крайней мере, внести некоторые «поправки» в толкование закона исключенного третьего, предосте­речь против неправильного его применения вне' положен­ных границ.

* *

*

Рассматривая вопрос о роли закона исключенного третьего формальной логики, следует особо остановить-

5з Д. п. Го рсорй и П. В. Таванец. Догило, Коспооспоз- дит, M., 1956, стр. 276.

ся на полиции некоторых логиков, выступивших против учения диалектики о противоречивой природе движения и соответствующих выводов для науки логики. Стремясь отстоять законы мышления формальной логики, дока­зать их универсальный характер, то есть необходимость и достаточность их на любой ступени познания мира, некоторые логики сосредоточили свои усилия на том, чтобы опровергнуть учение диалектики о противоречи­вости движения. Положение диалектики о противоре­чивой природе движения рассматривается ими как краеугольный камень, на котором зиждется признание законности противоречий в мышлении.

Польский логик А. Шафф в одной из своих статей, посвященной вопросу о логическом противоречии, заяв­ляет, что признание формальной логики нельзя при­мирить «с допущением логической непротиворечивости, неизбежно вытекающей из признания объективной противоречивости, которая содержится в материальном движении. Либо ошибочна формальная логика, либо ошибочно положение об объективной противоречивости движения» 54.

(Необходимо сделать одно замечание к приведенно­му тексту: диалектики-марксисты никогда не допускали законности логических противоречий в мышлении. Сле­довало бы сказать, что диалектика признает законность противоречий в мышлении, поскольку они отражают противоречивую природу движения, процессов).

Признание противоречивой природы движения, ра­зумеется, обязывает к признанию противоречий в мыш­лении, но противоречий диалектических.

Так как противоречивая природа движения в наи­более яркой форме была раскрыта еще философией Древней Греции, прежде всего в ряде апорий Зенона Элейского и в особенности в его апории «летящая стре­ла», то у современных логиков возникла необходимость еще раз обратиться к анализу апорий Зенона Элейско­го. При этом критики диалектики поставили своей за­дачей показать ошибочность рассуждений Зенона Элейского о природе движения.

А. Шафф в одной из своих статей, посвященных вопросам логики, пишет: «Гегель определенно ссылается

⁵⁴ A. Schaff. О dialektyce і zasadzie sprecznosci, «Studia filozoficzne», 1957, № С, отр. 210.

на взгляды античных диалектиков и от них тянутся корни всей проблемы. Здесь идет речь прежде всего о знаменитых апориях Зенона Элейского... Нас интересу­ет здесь особенно одна из них, так называемая «летя­щая стрела» 55.

А. Шафф утверждает, что положение о противоре­чивой природе движения ошибочно и что начало оши­бочной постановке вопроса положили эллрты. Ту же самую позицию в рассматриваемом вопросе занимают К. Айдукевич, В. Рольбецкий, чешский логик Я. Бар­тош и некоторые другие.

Какую аргументацию выдвигают против признания противоречивой природы движения, как опровергаются выводы, вытекающие из апории Зенона Элейского «ле­тящая стрела»?

Прежде ,всего критики диалектики пытаются обна­ружить ошибку в анализе движения: при анализе дви­жения не следует пользоваться понятием «момент времени». Почему понятие «момент времени» подверга­ется сомнению? Потому, что признание «момента вре­мени» обязывает к признанию противоречивой природы движения. А. Шафф вынужден признать, что если дело идет о «моменте времени», то тут действительно имеет­ся кричащее противоречие.

«...утверждение.., что тело в один и тот же момент времени в одном и том же месте и находится и не нахо­дится, является в действительности кричащим противо­речием» S6.

На каком основании предлагается отказаться от по­нятия «момент времени»?

Развернутую аргументацию по этому вопросу пы­тается представить К- Айдукевич в статье, помещен­ной в том же самом номере журнала, что и статья А. Шаффа.

Аргументы эти сводятся к следующим пунктам.

Автор статьи прежде всего отрицает понятие «мо­мент времени». О нем нельзя говорить потому, что «моменту времени» не присуща длительность.

«Время по своему существу, — говорит автор, — обладает длительностью; точка времени не имеет ни-

⁵⁵ A. S с h а ff. СЬег Ргавеп