Отношение индуктивного следования

Все дедуктивные умозаключения основаны на отношении логическо­го следования; все индуктивные умозаключения - на отношении индук­тивного следования. Индуктивные умозаключения функционально со­стоят из тех же частей, что и дедуктивные, но по традиции имеют особые названия.

Для ясности терминологические различия между дедуктивными и индуктивными умозаключениями сведены в одну таблицу (табл. 9.1).

Таблица 9.1

Сравнительная характеристика дедуктивных и индуктивных умозаключений

Отношения следования в дедукции и индукции отличаются друг от друга следующим свойством. Отношение логического следования сохра­няет истину посылок. Отношение индуктивного следования увеличивает вероятность гипотез в сравнении с их некоторым начальным (ненулевым) значением.

Если посылки умозаключения дедуктивно обосновывают какое-либо заключение, то они одновременно дедуктивно опровергают отрицание этого заключения. Аналогично этому если посылки умозаключения ин­дуктивно обосновывают заключение, то они одновременно индуктивно опровергают его логическое отрицание.

В индукции, в отличие от дедукции, возможна также ситуация, когда свидетельство индуктивно не обосновывает и не опровергает данную ги­потезу, оставляя ее правдоподобие неизменным.

Умозаключение называется индуктивным, если его посылки и заключение связаны отношением ин­дуктивного следования.

Гипотеза индуктивно следует (подтверждается, позитивно индуцируется) из свидетельства, если и только если свидетельство увеличивает правдопо­добие гипотезы в сравнении с ее начальной вероят­ностью.

Гипотеза индуктивно опровергается свидетельс­твом, если и только если свидетельство уменьшает правдоподобие гипотезы в сравнении с ее начальной вероятностью.

Гипотеза индуктивно иррелевантна относитель­но свидетельства, если и только если свидетельс­тво оставляет правдоподобие гипотезы неизменен­ным в сравнении с ее начальной вероятностью

Следующая модель поясняет смысл индуктивного следования, ин­дуктивного опровержения и индуктивной иррелевантности гипотез.

Пусть даны две урны с шарами белого и черного цвета. Необходимо определить вероятности конкурирующих гипотез о цвете вытащенного шара, если известно, из какой урны он был вынут. Распределение шаров по урнам и цвету приведено в табл. 9.2.

Таблица 9.2

Распределение шаров по урнам и цвету

Пусть H₁обозначает гипотезу «вытащенный шар - белого цвета». Отрицанием (альтернативой) H₁является гипотеза H₂ = «вытащенный шар - черного цвета». Допустим, вероятность вытаскивания шаров одинакова и равна 1/12. Из табл. 9.2 следует, что в этом случае началь­ные вероятности P(H₁) и P(H₂) гипотез H₁и H₂одинаковы и равны 6/12 = 1/2.

Допустим, получено свидетельство Е= «шар вытащен из первой урны». Из табл. 9.2 следует, что вероятность P(Е) свидетельства Е равна 6/12.

Вероятность Р^Е) того, что из первой урны был шар белого цвета, равна 4/12.

Теперь можно вычислить (апостериорные) вероятности гипотез на основании полученного свидетельства и сравнить их с начальными зна­чениями, которые также прямо читаются из табл. 9.2:

Теперь сравним начальные вероятности гипотез с их вероятностями на основании свидетельства:

Это означает, что гипотеза H₁после вытаскивания шара из первой урны увеличивает свою вероятность или что H₁индуктивно следует из Е.

Это означает, что вероятность гипотезы H₂после вытаскивания шара из второй урны уменьшается или что H₂индуктивно опровергает Е.

Случай, когда гипотеза индуктивно иррелевантна свидетельству, воз­никает при следующем распределении шаров в урнах (табл. 9.3).

Таблица 9.3

Распределение шаров в урнах

в случае индуктивной иррелевантности гипотезы свидетельству

Пусть H₁, как и прежде, обозначает гипотезу «вытащенный шар - бе­лого цвета». Отрицанием (альтернативой) H₁является гипотеза H₂ = «вы­тащенный шар - черного цвета». Из табл. 9.3 следует, что начальные ве­роятности P(H₁) и P(H₂) гипотез H₁и H₂одинаковы и по-прежнему равны 1/2.

Допустим, свидетельство осталось также прежним: Е= «шар выта­щен из первой урны». Из табл. 9.3 следует, что вероятность Р(Е) свиде­тельства Е равна 6/12.

Вероятность P(H^) того, что из первой урны был вытащен шар бело­го цвета, равна 3/12. Соответственно, вероятность P(H₂H),что из первой урны был вытащен шар черного цвета, также равна 3/12.

Вероятности обеих гипотез после получения указанного свидетель­ства равны:

Сравним начальные вероятности гипотез с их вероятностями на ос­новании свидетельства:

Это означает, что свидетельство Е не увеличивает и не уменьшает вероятность гипотезы Н₁ или что Е индуктивно иррелевантно относи­тельно гипотезы Н₁.

Это означает, что свидетельство Е индуктивно иррелевантно отно­сительно гипотезы Н₂.

9.4. Индуктивное и дедуктивное следование: сравнительный анализ

Продолжим анализ отношения индуктивного следования, сравнивая его с отношением дедуктивного следования. Оба вида отношений обла­дают одним общим свойством - рефлексивностью, но отличаются друг от друга свойствами симметричности и транзитивности (табл. 9.4).

Таблица 9.4

Сравнительный анализ отношения индуктивного следования с отношением дедуктивного следования

Дедуктивная рефлексивность означает, что каждое суждение являет­ся своим собственным необходимым следствием. Такое свойство дедук­ции - следствие закона тождества. Индуктивная рефлексивность подразу­мевает, что каждое суждение максимально правдоподобно относительно самого себя, т.е. максимально поддерживает само себя. Здесь также имеет место аналог закона тождества, но только индуктивный.

Логическое следование в общем случае не является симметричным. Из суждения «Сегодня понедельник» следует суждение «Сегодня поне­дельник или вторник», но обратное неверно. Индуктивное следование, наоборот, всегда симметрично: в той же степени, в какой свидетельство поддерживает гипотезу, в той же степени и гипотеза поддерживает свидетельство.

дуктивное следствие всегда выполняется в обоих направлениях, если оно действует в одном из них. Здесь мы имеем интересное индуктивное рас­ширение области действия закона тождества.

Самое драматическое отличие индуктивного следования от логичес­кого - отсутствие свойства транзитивности.

Допустим, индуктивное следование транзитивно. Тогда должно быть истинно следующее умозаключение:

Легко показать, что для (*) существует контрпример. Пусть H, К и Е обозначают суждения «вытащенный шар - белого цвета», «шар имеет четный номер» и «шар вытащен из первой урны» соответственно. Рас­пределение шаров по урнам указано в табл. 9.4.

Таблица 9.4

Распределение шаров в урнах

Из табл. 9.4 следует, что посылки умозаключения (*) совместимы с отрицанием его заключения:

Значит, отношение индуктивного следования не транзитивно, т.е. не гарантирует перенос правдоподобия посылок на заключение.

Нетранзитивность отношения индуктивного следования можно считать показателем его нетривиальности, так как оно в отличие от от­ношения логического следования не распространяется на бесконечную цепочку следствий рассматриваемых посылок. Нетранзитивность индук­тивного следования означает потерю достоверности заключений вследс­твие увеличения их информативности. В индуктивных умозаключениях в отличие от дедуктивных информативность заключений превосходит, по определению, информативность посылок. Платой за расширение знаний об окружающем мире становится потеря достоверности выводимых за­ключений, т.е. их нетранзитивность. Это свойство индукции, не совсем правильно именуемое проблемой Юма⁶, является следствием противопо­ложной зависимости изменения вероятности (объема) и информативнос­ти (содержания) суждений: чем более вероятны (истинны) наши знания относительно посылок, тем менее они информативны; чем более они ин­формативны, тем менее они вероятны.

9.5.