Отношение логического следования в логике высказываний

Отношение логического следования лежит в основании всей дедук­тивной логики. Сказанное относится и к логике высказываний.

Пусть α и β обозначают соответственно множества формул, образую­щих посылки и заключение доказательства в ЛВ.

Заключение β логически следует из посылок α, если и только если в каждой интерпретации (в каждой строке таблицы истинности формулы, в ко­

торой истинно α, также истинно заключение β

Очевидны следующие свойства отношения логического следования в ЛВ.

Теорема 2.Заключение β логически следует из посылок α, если и только если формулалогически истинна (истинна во всех своих

интерпретациях).

Доказательство. Допустим, заключение β логически следует из по­сылок α. В тех строках таблицы истинности, в которых истинны все по­сылки α, также истинно и заключение β по определению логического сле­дования. В тех строках таблицы истинности, в которых по крайней мере лицы истинности содержат значение «истина» и, следовательно, во всех строках, в которых истинны посылки α, истинно также и заключение β. Значит, β логически следует из α. QED.

Теорема 3.Заключение β логически следует из посылок α, если

Доказательство. Согласно теореме 2, заключение β логически сле­дует из посылок α, если и только если формулалогически истин­на.

из них истинна, другая должна быть ложной. Значит, заключение β - ло­гическое следствие посылок α тогда и только тогда, когда формула (α &-β) ложна во всех строках таблицы истинности формулыт.е.

логически ложна. Обратное следование доказывается аналогично. QED.

Рассмотрим следующее рассуждение, содержащее доказательство: «Сегодня понедельник или вторник. Если вчера не было воскресенья или понедельника, то неверно, что сегодня понедельник и неверно, что се­годня вторник. Значит, вчера было воскресенье или был понедельник».

Чтобы удостовериться, что приведенное доказательство корректно, необходимо убедиться, что заключение логически следует из посылок. Это можно сделать тремя разными способами.

Во-первых, следуя определению логического следования, можно проверить, во всех ли строках таблицы истинности, в которых истинны посылки α, также истинно и заключение β. С этой целью необходимо построить таблицу истинности для формул α и β (см. с. 216).

Некоторые строки последнего правого столбца, дублирующего шес­той столбец и отделенного для ясности чертой, содержат знаки α и β. Это ках и дополнительно истинно в тринадцатой, четырнадцатой и пятнадца­той строках. Значит, в данной таблице истинности не существует ни одной строки, в которой посылкиα были бы истинны, а заключениеβ ложно. Следовательно, если доказательство корректно, то невозможно, чтобы посылки были истинны, а заключение ложно. Но именно в этом и состоит смысл отношения логического следования.

Во-вторых, согласно теореме 2, можно проверить, является ли логи­ческой истиной импликацияДля проверки этого предположения

построим таблицу истинности для данной формулы (см.

Из приведенной таблицы (с. 217) следует, что заключительный, три­надцатый столбец содержит только значение «истина». Это означает, что импликацияпредставляет собой тавтологию, или логическую ис­

тину.

В-третьих, следуя теореме 3, можно проверить, совместимы ли по- троить таблицу истинности для конъюнкции посылок с отрицанием их заключения (см. с. 218).

Если заключение необходимо следует из посылок, то последние не могут быть совместимы с его отрицанием. То, что это именно так, под­тверждает вышеприведенная таблица. Заключительный, тринадцатый столбец таблицы истинности (с. 218) содержит только значение «ложь», что доказывает справедливость сделанного предположения.

Таким образом, проверка показала, что заключение логически сле­дует из посылок, если и только если импликация (α ⊃ β) логически ис­тинна.

6.6.