Основные законы логики высказываний

Одним из важных свойств логических истин является то, что они вы­ражают законы логики - принципы сохранения истины. Хотя логических истин и тем самым логических законов существует бесконечное число, обычно выделяют некоторое конечное подмножество в качестве правил, позволяющих преобразовывать формулы.

Ниже приводятся и иллюстрируются те законы логики, которые бу­дут использоваться в дальнейшем. Истинность любого из них легко про­верить с помощью таблиц истинности. Напомним, что вместо символов ф, φ и γ, выполняющих функцию метапеременных, могут подставляться любые формулы логики высказываний.

Закон снятия двойного отрицания

Согласно этому закону, высказывание «Неверно, что неверно, что се­годня понедельник» эквивалентно утверждению «Сегодня понедельник». Двойное отрицание не изменяет начального значения истинности выска­зывания: если оно было истинным (ложным), то в результате двойного отрицания оно и остается истинным (ложным). Поэтому двойное отрица­ние всегда может быть снято и заменено обычным утверждением.

Законы коммутативности (перестановочности) & и ѵ

Данные законы разрешают переставлять местами конъюнкты и дизъ­юнкты, так как это не изменяет значения истинности исходной формулы. Согласно этим законам высказывание «Это яблоко вкусное и/или спелое» эквивалентно высказыванию «Это яблоко спелое и/или вкусное».

Законы ассоциативности (соединения) & и ѵ

Данные законы разрешают вычислять значение истинности формул, состоящих только из конъюнктов или только дизъюнктов, в любом по­рядке, так как это не изменяет значения истинности исходной формулы.

Законы дистрибутивности (распределения)

& относительно ѵ, и наоборот

Например, согласно данным законам, высказывание «Стоял октябрь, но было еще тепло или солнечно» эквивалентно высказыванию «Стоял октябрь, но было еще тепло или стоял октябрь, но было еще солнечно». Законы дистрибутивности позволяют «выносить за скобки» формулы,

входящие во все конъюнкты или во все дизъюнкты, а также совершать обратную операцию.

Законы идемпотентности (сохранения степени)

Согласно данным законам, значение истинности сложных высказы­ваний с многократным вхождением одного и того же конъюнкта (дизъюн­кта) полностью определяется значением истинности одного конъюнкта (дизъюнкта).

Согласно приведенным законам формулы, содержащие логические союзмогут равносильно заменяться на формулы, содержащие

только логические союзыНапример, высказывание «Сегодня

либо победим, либо проиграем» эквивалентно высказываниям «Если се­годня победим, то не проиграем, а если проиграем, то не победим», «Се­годня либо не победим или не проиграем, либо победим или проиграем», «Сегодня либо победим и не выиграем, либо не победим, но выиграем».

Законы де Моргана (отрицания конъюнкции и дизъюнкции)

Согласно законам де Моргана, высказывание «Неверно, что сегодня ясно и/или тепло» эквивалентно высказыванию «Сегодня не ясно и/или не тепло».

Законы поглощения

Согласно первому закону поглощения, конъюнктивная формула, в ко­торой один конъюнкт - ф логически более силен, чем другой - (ф ѵ φ), эк­вивалентна логически более сильному конъюнкту - ф.

Законы исключения (противоречащих конъюнктов и дизъюнктов)

Согласно законам исключения, формула, чьи дизъюнкты (конъюнк­ты) имеют общий член - ф и отличаются друг от друга только одной па­рой противоречащих подформулэквивалентна общей для них

подформуле - ф.

Перечисленные законы логики создают базис для развития более эф­фективного, чем таблицы истинности, метода решения логических задач логики высказываний. Этот метод развивает далее технику анализа, при­менявшуюся при решении силлогизмов традиционной логики.

6.7.