Математика

Математика как наука — ассоциация дедуктивных теорий (арифметика, алгебра, геометрия и т. д.), отображающих фиксированные объектные области (область чисел, функций, пространств и т.

³⁴⁶ Tagwerker H. Beitrage zur Methode und Erkenntnis in der Teoretischen Nationalokobomie. Wien, 1957. S. 43.

629

лены на «чистые» и «прикладные». Такое деление, разумеется, условно, относительно.

Во-первых, имеется теоретико-методологическое единство, взаимопроникновение различных областей математики. К примеру, источником прикладной математики были фундаментальные исследования; в построении численных алгоритмов в прикладной математике применяются абстрактные представления — аксиоматика теории множеств.

Во-вторых, понятия «чистого» и «прикладного» подвижны. Та же математическая логика, которая еще недавно относилась к «чистой» математике, в настоящий момент расценивается как компонент прикладной: без нее невозможна вычислительная математика.

«Чистая» математика включает абстрактные теории, функционирующие как собственно концептуальный аппарат математики (анализ, алгебра), средство обоснования математических теорий (теория множеств, метаматематика).

«Прикладная» математика составляет фундамент

вычислительной, микропроцессорной математики, робототехники, всего комплекса электронного оборудования, осуществляет связи математики с другими науками, практикой, производством (программирование, теория управления, теория надежности и т. д.).

Понятие математической теории как некой формы мышления уточняется введением представления реляционной системы S, объединяющей множество μ произвольных объектов, находящихся

друг с другом в определенных отношениях R₁, R₂... Rn, или в более компактной символической записи S =.³⁴⁸

Помимо собственно математических теорий, составляющих «тело» математики, в ее состав в качестве каркаса, «скелета» входит аппарат логики (L)как средство придания математике статуса дедуктивной науки.

³⁴⁷ Методологические вопросы теоретического естествознания, Киев, 1978. С. 91.

630

Учитывая это, структура математики вполне адекватно выражается формулой.

Гносеологические особенности математики

Отсутствие непосредственной (жесткой) соотнесенностис каким-то фиксированным фрагментом действительности, что обусловливает большую абстрактность математики сравнительно с другими отраслями знаний.³⁴⁹

С точки зрения популярного теоретико-множественного подхода, математика изучает формальные отношения определенных классов множеств, абстрагируясь от их фактической, «материальной» природы. «Мотивом в пользу этого послужило то обстоятельство, что математика не нуждается в объектах, не являющихся классами... Все математические объекты и отношения могут быть выражены в терминах одних классов».³⁵⁰

С этих позиций математика, представляя анализ онтологически неспецифицированных систем, изучает абстрактные структуры.³⁵¹

Такой подход детализируется Н. Бурбаки. Чтобы определить структуру, задают отношения, в которых находятся элементы множества, затем постулируют, что эти отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые пере-

³⁴⁸ Общая причина большей абстрактности математики сравнительно с другими науками заключается в ее происхождении. Достаточно в этой связи сослаться на Ж. Пиаже, который показал, что арсенал (абстракции, категории и пр.) математики образуется в отличие от иных наук путем отвлечения от гносеологически более сложного исходного материала, каким являются не столько непосредственные объекты, сколько действия, какие можно производить над ними, и, главным образом, наиболее общие координации этих действий.

³⁴⁹ Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1971. С. 178.

³⁵⁰ С позиций новейшей алгебраической теории категорий математика изучает различные категории высокоабстрактных объектов; понятие категории возобновляет понятие структуры, но в «более общей и удобной форме».

631

числяют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры).³⁵²В дальнейшем из аксиом структуры выводятся

353 логические следствия, получается математическая теория, которая непосредственно не связана с действительностью (поскольку представлениям о природе описываемых элементов нет места).

Генетически создание современной математической теории осуществляется как объединение аксиом базисной теории (системы логики, арифметики) с некоторой специальной аксиоматической системой. Так, аксиоматика рода структур евклидовой геометрии получается благодаря присоединению к «аксиомам исчисления

предикатов с равенством и аксиомам теории множеств аксиомы А. Н. Колмогорова».³⁵⁴

При попытке найти референты абстрактным свойствам и отношениям, изучаемым в математических теориях, их интерпретируют. Множество интерпретаций, или моделей, образует смысл математической теории. В случае, если класс моделей пуст, теория — бессмысленна, противоречива.

Аксиоматизм.То, что олицетворением сущности математики на протяжении длительного времени считалась евклидова геометрия, созданная на генетически-конструктивной основе, оказало заметное влияние на методологические концепции познавательного процесса в этой науке. А именно, доминировала трактовка евклидового метода как единственно возможного метода построения математической теории. Так, уже Г. Лейбниц, распространявший идеал геометрии на математику, усматривал специфику положений последней не в логической доказательности, а в непосредственной наглядной созерцаемости,

³⁵¹ Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963. С. 251.

³⁵² Неинтерпретированная аксиоматическая система, строго говоря, теорией не является. Как указывает Г. Вейль, она есть лишь чистая логическая форма возможных научных теорий.

³⁵³ Егоров И. П. О математических структурах. М., 1976. С. 62.

632

которая с точки зрения своей природы представлялась ему не чувственной, а теоретичной.

Лейбницеву идею внутреннего созерцания, по господствовавшему тогда убеждению, фиксировавшую специфику познавательной деятельности в математике, воспринял и развил И.

осуществляющееся на понятийно-вербальной основе, которое он именовал дискурсивным. Нетрудно видеть, что прототипом демонстративного доказательства, возведенного Кантом в ранг универсального и обоснованного им с помощью чрезвычайно громоздкой концепции трансцендентальной эстетики, якобы объясняющей интуитивную наглядность математики, является весьма реальный генетически-конструктивный метод построения геометрического знания, реализованный Евклидом. Отталкиваясь от исторически конкретной, действительной формы научного знания, Кант, следовательно, возвел ее в абсолют, превратив в надысторическую априорную форму, условие возможности математики вообще.

Усмотрение специфики математического познания в комбинировании «демонстративных» структур внутреннего

созерцания имело следствием признание наглядности универсальным методологическим регулятивом. С позиций этого регулятива оценивались не только доказательства, но и сами положения математики, и в первую очередь аксиомы. С этим, в

частности, связана известная и крайне неадекватная трактовка аксиом как «предельных» «эвристически мощных» утверждений, отличающихся «самоочевидностью». Потребовалось длительное время, многочисленные фактические данные, свидетельствующие о перестройках и уточнениях систем математического зна-

633

ния, чтобы прийти, наконец, к убеждению, что истинность аксиом или исходных постулатов математической теории далеко не самоочевидна. Процесс перестройки систем математического знания, происходящий и сейчас (так, алгебра в течение столетия подвергалась перестройке три раза), свидетельствует, что ясность, истинность, достоверность аксиом должна выясняться не путем апелляции к «самоочевидности», а устанавливаться практическим путем.

Убеждение, что даже самые сильные математические идеализации в конечном счете имеют эмпирический генезис, обосновываются практикой, стало неотъемлемой чертой методологического самосознания в математике. Показательны в этом отношении заявления творцов наиболее абстрактных подходов Ф. Клейна (Эрлангенская программа) и Д. Гильберта (программа по обоснованию геометрии).³⁵⁵

Итак, можно сделать вывод, что универсализация наглядности означала психологизацию и субъективизацию математики. Против этой тенденции активно выступил Б.Больцано, объектом критики которого в первую очередь выступило допускаемое Кантом отождествление демонстративного метода познания с собственно математическим.

Сущность математического доказательства, по Больцано, заключается не в интуитивной наглядности, а в дискурсивной эксплицитности «объективных оснований истины». Во всякой математической теории, утверждал Больцано, — «там, где

изложение... должно достигать наивысшей степени научности», не следует ничего «выводить из простого взгляда на фигуру, из так называемого созерцания, чистого, или какого-либо другого», а «поступать таким же способом, как при доказательстве... философских истин».

Демонстративный способ познания, апеллирующий к построению, наглядности, созерцаемости и т. п., вообще не является, с точки зрения Больцано, средством подлин-

355

Гильберт Д. Основания геометрии. М., 1948. С. 438.

634

ного доказательства: он выступает лишь средством экспликации доказуемых положений. Олицетворением же подлинного строгого доказательства, обоснования выступает у автора «Наукоучения» дискурсивное «чистое» доказательство, позволяющее избежать демонстративности благодаря операции логического восхождения к объективным основаниям истины.³⁵⁶

Значение критики генетически-конструктивного метода со стороны Больцано, которая сопровождалась позитивной разработкой аппарата логического доказательства, заключалось в показе необходимости построения математики по принципу логически строгой дедуктивной науки.

Другая линия критики идеала евклидовой математики

развивалась в направлении переосмысления представлений о предмете математической науки. Поскольку аксиоматика геометрии Евклида была содержательной, соответствующей пониманию ее как описывающей и относящейся к эмпирически данному пространству, постольку универсализация гносеологического статуса этой аксиоматики в качестве следствия имела истолкование математики (геометрии) как физики. Хотя в дальнейшем позиция была видоизменена, сам принцип жесткой привязки предмета математики к одной из возможных его интерпретаций остался незыблемым: математика истолковывалась если не как физика, то как наука о числе или величине вообще. Попытки освободить сферу математического познания от производных его интерпретаций обнаруживаются, начиная с Буля, который, выступая в роли методолога, заявлял: «В природе математики не заложена

необходимость заниматься идеями числа и величины».³⁵⁷

³⁵⁶ Спустя много лет ту же идею проводил Д. Гильберт в связи с критикой евклидовского метода построения геометрии. Он писал: «Генетический метод имеет высокое педагогическое и эвристическое значение», но «для окончательного оформления и полного логического обоснования содержания нашего познания предпочтительнее аксиоматический метод».

³⁵⁷ Bool G. Collected logical works. V. II. Chicago—London, 1916. С. 13.

635

Идеи Буля разделял Г. Грассман, построивший абстрактную математическую систему, свободную от ее жесткой привязки как к понятию числа, так и геометрического объекта. К абстрактно­логической трактовке предмета математики склонялся Р. Дедекинд и др. Окончательное же фиаско позиции, связывающей предмет математики с одним из возможных его пониманий, произошло в XIX столетии, когда исследование оснований математики привело к тенденции ее арифметизации. О. Коши, К. Вейерштрасс, Дедекинд, Кантор показали, что математику (алгебра, анализ, теория функций) вместе с аналитической геометрией можно обосновать на базе арифметики натуральных чисел, которая и стала рассматриваться как фундамент математики. Задача аксиоматизации арифметики вскоре выполнена Дедекиндом и Пеано. Таким образом, усилиями этих ученых, редуцировавших математику к арифметике, понимаемой как абстрактная аксиоматическая теория, было обосновано требование «чистоты» математики в смысле отсутствия однозначной привязки ее предмета (содержания) к какому-то априорному толкованию.

Когда обе ветви (идущие от Больцано и Буля) критики евклидова идеала математики соединились, возникло совершенно особое понимание природы математической деятельности с аксиоматическим идеалом в основе. Программу построения математической теории на строгой аксиоматической базе, которая выступает в современной математике в качестве общенормативной, на примере геометрии разработал Д. Гильберт, отказавшийся от наделения фундаментальных понятий геометрии какими-либо конкретными физическими образами. Гильберт вводит аксиомы, лишенные какого бы то ни было истолкования. Так, если геометрические термины «точка», «прямая», «плоскость» заменить на термины обыденного языка «стол», «стул», «пивная кружка», то сама по себе геометрическая теория, с его точки зрения, не станет

ни лучше и ни хуже³⁵⁸, — критерием ее истинности будет логическая

³⁵⁸ Гильберт Д. Основания геометрии. М., 1948.

636

непротиворечивость и выводимость из аксиом. Следовательно, Гильберт резко поставил вопрос о различении теории и ее интерпретации.

Формализованная теория, по Гильберту, допускает множество интерпретаций, так как ее утверждения непосредственно не соотносятся с действительностью. Поэтому до того, как дана какая- либо интерпретация — в случае геометрии, например, — пространственная, как у Евклида, или арифметическая, как у Ф. Клейна, — абстрактная дедуктивная система является геометрией не более, чем любая другая теория.³⁵⁹

Стремление аксиоматизировать, формализовать систему знания связано с тем, что: а) в неформализованной системе невозможно с полной эффективностью использовать аппарат логики; б) не всегда ясно, полна ли система, если нет — имеются ли в ней скрытые посылки, которые в определенных ситуациях могут обусловливать противоречия.

Формализация знания лимитируется ограничениями чисто формального характера, к которым относятся теоремы Геделя и Тарского.

В заключение констатируем: именно благодаря организации на аксиоматической основе математическое знание отличается большей точностью и строгостью по сравнению с другими отраслями науки.

Точность и строгость.Причинами математической точности и строгости являются.

а) Аподиктичность доказательства как результат аксиоматически-дедуктивной организации математического знания.

б) Алгоритмичность доказательства, под которой подразумевается наличие фиксированных способов решения математических проблем в форме систематически выведенных однозначных предписаний.

³⁵⁹ Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии. М., 1949. С. 31.

637

в) Дедуктивность математики, которая заключается в принципах построения применяемых в ней рассуждений, основанных на переходе от одной смысловой (информационной) структуры к другой по четким и жестким правилам логики. Дедуктивность математики означает наличие логического пути от аксиом к теории, где роль этого пути играет логический вывод, который как бы экстрагирует сущность математики. Последнее, в частности, дает право для аналогий между наукой и математикой («наука есть рассуждение, рассуждение есть математика, следовательно, наука есть математика»).

г) Однозначность дефиниций. Как указывает А.Пуанкаре, «строгость не могла бы иметь места в рассуждениях, если бы не ввести ее сначала в определения».³⁶⁰В соответствии с правилами построения аксиоматических формальных теорий математические теории имеют четко представимую (обозримую) структуру, в

которой выделяют строго определимые классы символов (алфавит), правила построения формул (конечные последовательности элементов алфавита), логические связки и операторы, вспомогательные символы, правила построения из формул и логических связок высказываний, правила исчисления высказываний. Совокупность данных элементов совместно с интерпретацией и образует математическую теорию, отличающуюся в силу однозначной фиксируемости своих ингредиентов точностью и строгостью.

д) Отсутствие апелляции к эмпирическому опыту как средству контроля рассуждений. Математические положения — необходимы, однако, источником необходимости не может быть непосредственный эмпирический опыт. Последнее, как

³⁶⁰ Пуанкаре А. Ценность науки. М., 1906. С. 16.

638

указывалось, гипертрофировано в методологических представлениях о математике в период Нового времени. «Опыт, — уточнял Кант, — никогда не дает своим суждениям истинной или строгой всеобщности, а сообщает им только условную и сравнительную всеобщность (посредством индукции), так что это означает следующее: «...насколько нам известно, исключений из этого или иного правила не встречается».³⁶¹«Поскольку опытное знание не может быть всеобщим и необходимым, постольку всеобщее и необходимое знание не может быть опытным», — эта догма явилась причиной рассмотрения математики как априорной науки.

Существует ли вообще априорное знание? На этот вопрос дается однозначный отрицательный ответ. Во-первых, как подчеркивалось, положения математики, имея эмпирическое происхождение, в конечном счете апробируются практикой, — в этом смысле они не могут быть априорными, т. е. вообще не зависимыми от деятельности человека. Во-вторых, признание положения всеобщим и аподиктичным само по себе проблематично, так как является гипотезой, которая в дальнейшем либо подтверждается, либо опровергается.³⁶²Так, показательна неединодушность математиков в признании таких положений, как аксиома выбора, закон исключенного третьего, абстракция актуальной бесконечности и др.

Однако сказанное вовсе не отменяет того тезиса, что математика не апеллирует к опыту как средству контроля рассуждений, — такими средствами служит здесь анализ на непротиворечивость, полноту, независимость, выводимость. Данные неэмпирические критерии оценки матема-

³⁶¹ Кант И. Соч. в 6-ти т. М., 1964. Т. 3. С. 101.

³⁶² Костюк В. Н. О логическом аспекте философских доказательств в «Критике чистого разума» // Вопросы теоретического наследия Иммануила Канта. Калининград, 1978, вып. 3. С. 50.

639

тического знания как носящего крайне абстрактный характер позволяют избежать традиционных для эмпирических критериев средств (постановка экспериментов, наблюдение, статистическая обработка данных и т. д.) оценки знания погрешностей, связанных с деятельностью на эмпирическом уровне, что повышает точность и строгость математики.

е) Максимальная ограниченность интуитивной основы. Теорией, в наибольшей степени исключающей интуитивные, неэксплицированные элементы, как правило обусловливающие ее потенциальные несовершенства, называют такую, которая «сильнее ограничивает возможные априори качества систем (т. е. содержит наиболее определенные утверждения)».³⁶³Последнее является следствием традиционных для математики процессов аксиоматизации, использования специальной символики (позиционная нумерация и т. п.) и т. д. — словом, средств, исключающих полисемичность, нестрогость и т. п. обыденного языка, а также естественных (неуточненных) средств трансляции информации. Вместе с тем, говоря о точности и строгости математического знания, не следует рассматривать эти атрибуты как абсолютные. Как и в любой другой системе знания, в математике есть область проблематичного и строго необоснованного. Ее образуют такие компоненты, как мысленные эксперименты с абстрактными объектами, рискованные гипотезы, догадки, смелые предположения и т. п., из которых в дальнейшем при соответствующих обстоятельствах получаются строгие математические теории.

Если задаться целью перечислить хотя бы некоторые из основных причин неуниверсальности математической точности и строгости, придется указать на следующее. а) В лекциях о развитии математики Ф.Клейн проводит мысль о существовании двух относительно обо-

³⁶³ Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. IV. С. 266.

640

собленных этапов в эволюции математического знания. Один этап — поиск новых методов и эвристических средств решения внутренних математических проблем (деятельность по разработке, исследованию), где практически нет места деятельности по обоснованию новаций. Другой этап — обоснование новаций (деятельность по организации). Поскольку источником точности и строгости математических теорий является способ их формально­аксиоматической организации, который реализуется лишь на относительно поздних этапах математической деятельности, постольку деятельность математиков на начальных этапах отмечена печатью «неточности» и «нестрогости» (в смысле отсутствия формально-аксиоматической обоснованности).³⁶⁴Другим фактором, обусловливающим отсутствие точности и строгости на начальных стадиях математической деятельности, является индукция. Индукция, которая в условиях математического, равно как и любого другого познания, как правило, не бывает полной (в принципе, всякая нетривиальная индукция не полна), выступает существенным генератором проблематичности. Только один пример. В свое время П.Ферма высказал утверждение, что числа вида (2²ⁿ+1) всегда просты, исходя из доказательства этого для n = 1, 2, 3, 4. Однако это общее утверждение, сделанное Ферма на индуктивной основе, опроверг Л. Эйлер, который продемонстрировал, что для п=5 число (2²ⁿ+1) непростое.

Способом устранения неточностей, связанных с использованием индуктивных методов познания, является переформулировка

полученных по индукции утверждений на аксиоматически- дедуктивной основе.

б) Не все положения (формулы) математики разрешимы. Математическая система считается разрешимой, если «существует общий метод или

³⁶⁴ Совершенно ясно, что требования формальной точности и строгости не могут быть предъявлены с самого начала исследования, в противном случае наука была бы собранием тривиальностей.

641

алгоритм, дающий возможность относительно всякой формулы» данной системы «сказать, выводима она в этой системе или нет, иными словами, является ли она истинной формулой системы или же таковой не является».³⁶⁵Вначале, указывает А. Марков, существование неразрешимых проблем «удалось доказать для некоторых проблем, естественно возникших в...математической логике. Затем была установлена неразрешимость ряда проблем общей теории ассоциативных систем и теории целочисленных матриц. П. С. Новиковым доказана неразрешимость проблемы тождества теории групп — проблемы, давно поставленной и привлекавшей внимание многих математиков».³⁶⁶Ю. В. Матиясевич доказал неразрешимость десятой проблемы Гильберта, заключающейся в «построении алгоритма, распознающего, разрешимо ли в целых числах какое-либо данное алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами». Кроме того, следует отметить широко известные результаты К. Геделя о наличии неразрешимых утверждений в фиксированных формализованных системах, а также общий вывод А. Черча о существовании «неразрешимых проблем».³⁶⁷

в) В структуру математического знания, несмотря на эксплицитную формально-аксиоматическую организованность, входит комплекс интуитивных, по своей гносеологической природе имплицитных представлений, не поддающихся жесткой дедуктивно-логической фиксации. Для разъяснения мысли приведем три показательных высказывания специалистов в области исследования оснований математики. А. Черч: «...любое обоснова-

³⁶⁵ Субботин А. Л. Математическая логика — ступень в развитии формальной логики // Вопросы философии, I960, № 9. С. 94.

³⁶⁶ Марков А. Математическая логика и вычислительная математика // Математизация знания. М., 1972. С. 47.

³⁶⁷ Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. М., 1969. С. 67.

642

ние математики...действительно в какой-то степени содержит круг, так как в нем всегда имеются необосновываемые предпосылки, которые должны быть приняты на веру или интуитивно. Мы можем пытаться уменьшить число этих предпосылок, но не можем их уничтожить». Ф. 1он-сет:

«Математика только искусственным и внешним образом может быть оторвана от интуитивного фундамента, от своего продолжения в реальное... Не существует математической области, сколь бы малой она ни была, где аксиоматика могла бы удовольствоваться сама собою».³⁶⁹ С.Клини: «Формально аксиоматические

математические предположения не могут составить всей математики, должна иметься также интуитивно понимаемая математика».³⁷⁰Таким образом поскольку для определения

«формальной математики» необходима «интуитивная математика», постольку математика не точна (абсолютно).

Наиболее фундаментальными причинами необходимости апеллировать к интуитивным представлениям в математике являются:

1. Ее неполная формализуемость — ограничительные теоремы Геделя.

2. Процедура выбора — принятие аксиом осуществляется бездоказательно, в значительной мере на интуитивной, психологической основе. Характерна в этом отношении оценка различными математиками аксиомы выбора. Одни (Д. Гильберт) называют ее «предпосылкой любого математического рассуждения». Другие (А. Борель) видят в ней источник дефектности математики. С одной стороны, аксиома

³⁶⁸ Черч А. Математика и логика //Математическая логика и ее применение. М., 1965. С. 214.

³⁶⁹ Gonseth F. Les fondements des Mathematiques. P., 1926. P. 62.

³⁷⁰ КлиниС. Введение в математику. M., 1957. С. 44.

643

выбора, широко используемая в анализе, алгебре и топологии, применяется для доказательства вполне очевидных теорем. С другой стороны, она является источником неконструктивных доказательств, кроме того, с ее помощью доказываются вовсе не очевидные утверждения (парадокс Банаха — Тарского).

Имеется также трудность в обосновании аксиомы подстановки. По мнению Г. Такеути, «трудность состоит в том, что эта аксиома содержит формулы с кванторами, и потому, если предполагается, что множества порождаются неограниченно, неясно, что означают эти кванторы»³⁷¹и т. д. 3. Использование нестрогих понятий в отсутствии возможности их уточнения. Одной из причин антиномичности теории множеств, по мнению специалистов, является использование крайне нестрогого канторовского определения понятия «множество». Кантор определял «множество» как «вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т. е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона».³⁷²Не будем придирчивыми в оценке формулировки, поэтому оставим без критики возможность и плодотворность понимания множества через «многое, мыслимое как единое». Однако трудно избавиться от вопроса: как, собственно, объединять многое в одно целое? Точного ответа на вопрос не существует. В настоящее время множество задается либо списочным образом, либо путем указания правильно сформулированного предиката, который конституирует множество на основе ассоциации соответствующих ему объектов. Между тем ясно, что множество — не-

³⁷¹ Такеути Г. Теория доказательств. М., 1978. С. 147.

³⁷² Кантор Г. Основы общего учения о многообразиях // Новые идеи в математике. СПб., 1914. № 6. С. 18.

644

что иное, нежели список объектов, соответствующих предикату. Но что именно — «иное» — пока неясно. Значительные трудности связаны с использованием крайне неэксплицированного понятия «бесконечность». Понятие бесконечности — центральное в

математике. На его использовании основаны алгоритмические теоремы о среднем, формулы Тейлора, теоремы существования и т. д. В то же время нет никаких гарантий, что именно его систематическое и практически бесконтрольное употребление не гальванизирует парадоксы (в теории множеств). На примере понятия «бесконечность» разъясняется известная мысль Г. Фреге о наличии в науке (языке вообще) знаков, которые, хотя и выражают определенный смысл, не имеют точного значения. Такие знаки (скажем, «человек с тремя головами») — не истинны и не ложны. Они, так сказать, эпистемологически пусты, поскольку о том, что они обозначают, практически ничего не известно.

Г. Фреге настойчиво выступал за элиминацию из науки такого рода знаков; по его мнению, все правильно образованные знаки должны означать нечто.

В этом отношении понятия «бесконечность», «множество всех множеств» и т. д. — мало проясненные знаки. Может быть, по этой причине не вполне ясно, нужно ли их запрещать (запреты в рамках интуиционизма и теории типов), а если нет, как к ним относиться?

г) В математике широко используется аппарат непредикативных определений, включающих самореферентные понятия и основывающихся на отношении самоприменимости. Так, все парадоксы теории множеств, отмечают А. Френкель и И. Бар- Хиллел, «проистекают из-за того, что некоторая сущность, о которой идет речь, определяется посредством некоторой совокупности, к которой она сама принадлежит».³⁷³Хотя ясно,

³⁷³Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1968. С. 24.

645

что непредикативные определения деструктивны не всегда, выяснить, в каких именно случаях они деструктивны, не удалось. Имеющиеся варианты решения проблемы критерия «отделения агнцев от козлищ», например вариант Бемана, узаконивающего использование в рассуждениях лишь таких терминов, относительно которых удается показать их конечную устранимость,³⁷⁴пока не утвердились в науке. Относительно же теории типов, запрещающей непредикативные классы, можно сказать то, что изложить в ее рамках существенную часть высшей математики просто не удается.³⁷⁵Таким образом, избежать использования непредикативных определений практически невозможно. Вместе с тем допущение непредикативных классов не может избавить от неуверенности в непротиворечивости.³⁷⁶Принимая во внимание сказанное, можно присоединиться к оценке Дж. фон Неймана, который, подчеркивая относительность категорий «точности» и «строгости», отмечал, что «вряд ли можно верить в существование абсолютного, незыблемого понятия математической строгости, оторванного от всего человеческого опыта».³⁷⁷

Принятие в качестве центрального критерия научности непротиворечивости.Математическая (аксиоматическая) система считается непротиворечивой, если для всякого утверждения А утверждения Аи ~Ане являются в ней одновременно доказуемыми. Одновременная доказуемость утверждений А и ~А в некоторой системе обрекает систему на бессмысленность. Поэтому принятие критерия не-

Ср. с Рамсей — элиминацией теоретических терминов из опытных наук.

³⁷⁵ Хао Ван, Мак-Нотон Р. Аксиоматические системы теории множеств. М., 1963. С. 15.

³⁷⁶ _

Это распространяется даже на такие признанно «строгие» системы, как система Цермело-Френкеля, аксиома подстановки в которой носит непредикативный характер.

³⁷⁷ Нейман Дж. фон. Математик // Природа, 1983, № 2. С. 92.

646

противоречивости в качестве центрального для математических теорий обусловлено тем, что противоречивые формальные теории никакой ценности не представляют.

Говоря о непротиворечивости как центральном критерии научности математического знания, невозможно обойти вниманием вопрос: как понимать сложившееся положение дел, в соответствии с которым наряду с признанием исключительной роли критерия непротиворечивости в сознании математиков имеет место терпимость к составляющей фундамент математики «противоречивой» теории множеств?

На вопрос не существует четкого общепринятого ответа. Фиксируя к нему отношение, подчеркнем, что выход из сложившейся ситуации возможен как реализация подходов: а) можно отказаться от традиционных ценностей в математике (что эквивалентно отказу от рассмотрения критерия непротиворечивости как центрального для математического знания), оставляя при этом в стороне вопрос об обосновании математики на соответствующей неантиномической основе; б) можно не отказываться от традиционных ценностей в математике (что эквивалентно рассмотрению критерия непротиворечивости как центрального для математического знания), одновременно проводя обоснование математики на соответствующей неантиномической основе. Рассмотрим перспективы двух этих подходов.

Стоит ли связывать понятие научности математики со строгостью и непротиворечивостью? Ведь практически во всех других науках довольствуются гораздо менее сильными требованиями? Может быть, действительно, традиционные представления о критериях научности математики стоит как-то скорректировать? Вовсе не будучи абстрактной возможностью, такой подход уже начал пробивать себе дорогу в науке. Просматривается тенденция внедрения в математику новых методологических ценностей (критериев научности): в этом контексте, например, упоминают прагматические критерии практической используемости, эвристической эффективности, познавательной полезности и т.

647

д. Анализируя проблемы, связанные с кризисом в области теории множеств, скажем, Б. Н. Пятницын и В. Н. Порус замечают: «Нам представляется, что парадоксы, обнаруженные в теории множеств, не стали «сокрушителями» этой теории (и всей математики) не только потому, что она скорей всего не «укладывается» исключительно в логическую плоскость измерения ценностных характеристик (т. е. что непротиворечивость на деле не является здесь абсолютной ценностью...), но еще и потому, что защитную роль здесь играет само «облако» ценностей, которым теория

множеств «окутана» в пространстве оценок, другими словами, в сознании практических математиков».³⁷⁸

В целом установки этого подхода, выраженные, в частности, в приведенной цитате, кажутся нам установками ad hoc: от парадоксов в теории множеств, нарушающих требование непротиворечивости, никто и никогда удовлетворения не испытывал. Фактическое использование теории множеств в математике вовсе не результат переоценки традиционных ценностей в этой науке, как, впрочем, и не результат действия якобы «окутывающего» теорию множеств облака дополнительных ценностей. Это просто результат того, что: а) парадоксы теории множеств не входят в ее «центральную» и «полезную» часть (Дж. фон Нейман); б) отсутствует лучшая система, равноценная теории множеств; в) нет приемлемой программы всестороннего обоснования математики.

Недооценка парадоксов в теории множеств, выражающаяся, к примеру, в квалификации их как хитроумных искусственных конструкций, — малоубедительна.³⁷⁹Имен-

³⁷⁸ Пятницын Б. П., Порус В. Н. Диалектические аспекты взаимосвязи ценности и роста научного знания // Вопросы философии. 1979. № 3. С. 77.

³⁷⁹ Такое отношение появилось, в частности, в оценке Кантором парадокса Бурали-Форти: «...то, что получил Бурали-Форти,— писал Г. Кантор, — сущая чепуха». Однако вскоре позиция Кантора изменилась: испытав глубокую депрессию, вызванную обнаружением парадоксов, он практически отказался от исследовательской деятельности вообще.

648

но в таком свете нам представляется заявление Вана Хао о том, что «практически ни одна из важных математических теорем и ни одно из важных математических доказательств не были удалены из 380 анализа вследствие противоречий теории множеств». 1о же можно сказать об эмоциональной оценке ситуации Френкелем и Бар-Хиллелом, кстати, не вытекающей из проводимой ими исследовательской линии относительно того, что «представители очень многих наук хотели бы, чтобы область их деятельности находилась в таком же «критическом» состоянии, как математика, из математиков же очень немногие испытывают настоящее огорчение по поводу неопределенности, имеющейся в основании их 381

науки».

Можно привести прямо противоположные суждения. Достаточно вспомнить, скажем, Гильберта: «...состояние, в котором мы

находимся в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике — этом образце достоверности и истинности, — образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводит к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?».³⁸²

Аналогично у Вейля: «...чистая математика признает только одно — но зато совершенно обязательное условие истины — именно непротиворечивость».³⁸³

Таким образом, апелляция к побочным методологическим ценностям в математике, не отменяя необходимости ее обоснования в соответствии с требованием непротиворечивости, представляет, на наш взгляд,

³⁸⁰Хао Ван. Процесс и существование в математике // Математическая

логика и ее применения. М., 1965. С. 331.

³⁸¹ Френкель A., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1968. С. 323.

³⁸² Гильберт Д. Основания геометрии. М., 1948. С. 349.

³⁸³ Вейль Г. О философии математики. M.-Л., 1934. С. 56.

649

изощренную уловку, имеющую целью выступить средством временного снятия остроты, которая существует в связи с парадоксами в теории множеств. Следовательно, поскольку противоречивая теория удовлетворения не приносит и поскольку никакая переоценка ценностей не способна избавить от неудовлетворенности противоречивой теорией, постольку мы считаем перспективным другой подход, основанный на стремлении обосновать математику в соответствии с требованием непротиворечивости.

Согласимся с А. Мостовским, который подчеркивал, что «философские цели трех школ (логицизм, формализм, интуиционизм — В. И.)не были достигнуты, и, как нам кажется, мы не ближе к полному пониманию математики, чем основатели этих школ»,³⁸⁴а также С. Клини, который писал, что парадоксы «ставят нас перед проблемой перестройки теории множеств на совершенно измененной основе, детали которой содержатся в ней разве что в виде намека».³⁸⁵

Проблема обоснования математики — проблема поиска ее надежности, строгости, точности, т. е., в конечном счете, того, что связывается с представлением ее научности. Проблема обоснования не может быть успешно решена (и, вероятно, поэтому не решена до сих пор) без существенного прояснения следующих сопряженных проблем: а) причин возникновения антиномий; б) статуса математических объектов (разрешение трилеммы номинализм — реализм — концептуализм); в) проблемы существования; г) природы математических утверждений; д) предмета математики.

Прогресс в разработке и обосновании теории множеств может состоять только в углублении общих представлений о математической реальности. В самом деле, поскольку вопросы, на которые нельзя ответить, пока нет общей кар-

³⁸⁴ См.: Mostowski A. Thirty years of Foundational Studies. Oxford, 1966.

³⁸⁵ Клини С. Введение в метаматематику. M., 1957. С. 42.

650

тины, ясного понимания связей в определенной области, 386

называют парадоксами, постольку для элиминации парадоксов из теории множеств необходимо формировать этот уровень понимания, что в данном случае может состоять только в более глубоком осмыслении сущности математической реальности, природы математической деятельности в целом. В настоящее же время мы не знаем в достаточной мере, какова эта природа, какие ее компоненты ведут к парадоксам и т. д. А потому мы не знаем, как их устранить, перестроив теорию множеств. В этом смысле, коль скоро «не существует, да не предвидится никакого единого и общепринятого способа перестройки математики», кризис ее «оснований все еще продолжается».³⁸⁷

4.4.2