Силлогистика с пустыми терминами

Одним из допущений традиционной логики является предположение о непустоте всех терминов силлогизма: универсум содержит по крайней мере одну вещь, обладающую свойствами, обозначаемыми каждым из них.

Назовем силлогистику, свободную от допущения непустоты терми­нов, силлогистикой без экзистенциальных допущений. Ее суть выражает неэкзистенциальная версия силлогистического вывода. Основные шаги построения такого вывода следующие.

О пустоте универсума (простого силлогизма) можно говорить в от­носительном смысле, когда один или два термина обозначают классы несуществующих вещей, и абсолютном смысле, когда все три термина обозначают классы несуществующих вещей.

Условие пустоты какого-либо термина или комбинации терминов формулируется в виде самостоятельной посылки, добавляемой к посыл­кам рассматриваемого силлогизма.

К базисным правилам маркировки добавляется новое:

Если посылка имеет вид «Термин Х пуст» (не су­ществует ни одной вещи, обладающей свойством Х), то все ветви, которые исходят из Х, отмечаются знаком «о» (независимо от вида знака на противо­положных ветвях)

При решении силлогизмов используются прямая, обратная и обратно противоположная формы силлогистического дерева.

Правило вывода

1. Пусть оба пути (через В и - В) из вершины Х к конечному узлу Y маркированы в верхней и/или нижней части рассматриваемого де­рева хотя бы один раз знаком «о».

Тогда независимо от расположения других знаков маркировки («+» и «?»):

а) если оба пути маркированы знаком «о» в верхней части дере­ва, в качестве заключения следует «Все Х есть Y» и «Все Х есть - Y» одновременно;

б) при всех расположениях знака «о», отличных от указанного в условии 1 а, в качестве заключения следует «Все Х есть - Y».

2. При все иных комбинациях знаков маркировки, нежели указан­ном в условии 1 а, из данной формы силлогистического дерева ни­чего не следует.

3. Если из прямой, обратной и из обратно противоположной формы дерева ничего не следует, то данный силлогизм решения не имеет.

Рассмотрим несколько примеров решения простых силлогизмов с пустыми терминами.

Пример 1

Прямая форма силлогистического дерева имеет вид:

и редуцируется к дереву заключения согласно следующим соображениям.

Знак ветви АС дерева заключения равен логической сумме знаков ветвей АВС и А- ВС дерева посылок. В свою очередь, знаки ветвей АВС и А- ВС равны соответственно произведению знаков ветвей АВ и ВС, А- В и -ВС. И так как умножение знака «о» на любой другой знак дает снова «о», то обе ветви АВС и А- ВС в качестве окончательного получают знак «о». Но тогда и ветвь АС дерева заключения должна быть маркирована знаком «о». Иными словами, из ложности первой и третьей ветвей дерева посылок следует ложность частного суждения «Некоторые А есть С» и тем самым истинность ему противоречащего общего суждения «Все А есть - С».

Знак ветви А- С дерева заключения равен логической сумме знаков ветвей АВ- С и А- В- С дерева посылок. Знаки последних равны соответс­

твенно произведению ветвей АВ и В-С, А-В и -В-С. Поскольку знаки ветвей АВ-С и А-В-С равны «о», то следует, что ветвь А-С также долж­на быть маркирована знаком «о». Иными словами, из ложности второй и четвертой ветвей следует ложность частного суждения «Некоторые А не есть В» и истинность противоречащего ему общего суждения «Все А есть С». Значит, из допущения пустоты субъекта заключения следует одновре­менная истинность противоположных суждений «Все А есть С» и «Все А есть - С», которые более не являются несовместимыми.

Обратная форма силлогистического дерева имеет вид:

и редуцируется к дереву заключения:

Ветви СВА и С-ВА ложны. Значит, частное суждение «Некоторые С есть А» ложно и тем самым истинно противоречащее ему общее суж­дение «Все С есть - А». Однако истинностное значение ветвей СВ-А и С-В-А остается неопределенным, так как умножение знака «+» на знак «?» снова дает «?». Следовательно, ветвь С-А дерева заключения может быть маркирована только знаком «?». Добавим, что такая маркировка вет­ви С-А обязательна и в случае истинностной неопределенности любой одной из ветвей СВ-А и С-В-А. Таким образом, вопрос об истинности суждения «Все С есть А» согласно имеющейся информации остается от­крытым.

Обратно противоположная форма силлогистического дерева имеет вид:

и редуцируется к дереву заключения:

Данное дерево однозначно читается как «Все - С есть - А», так как ветви - СВА и - С- ВА ложны, а из ветвей - СВ- А и - С- В- А первая лож­на, а вторая истинна (отмечена знаком «+»). Разумеется, данное заключе­ние можно прочитать и как «Ни одно - С не есть А», так как ветвь - СА отмечена знаком «о».

Пример 2

Данный силлогизм может быть решен, если допустить, что термин А или термин С пуст (примеры 3, 4).

Пример 3

При допущении пустоты тех или иных терминов неправильные сил­логизмы также могут иметь дедуктивное решение (примеры 5, 6).

Пример 5

Пример 6

Но при допущении пустоты термина В данный силлогизм дедуктив­ного решения не имеет (пример 7).

Пример 7

Различие между правильными и неправильными силлогизмами исче­зает полностью, если допускается пустота всех трех терминов силлогиз­ма, т.е. пустота всего универсума. В этом случае все силлогизмы имеют дедуктивное решение. Данное заключение можно доказать строго, но мы ограничимся иллюстрацией (пример 8).

Пример 8

Сделаем общий вывод. Отказ от допущения непустоты универсума в относительной или абсолютной форме влечет за собой ложность част­ных заключений, но зато расширяет множество общих заключений. Сре­ди них присутствуют и противоположные суждения, которые в обычном случае, когда выполняются законы логического квадрата, несовместимы. Кроме того, общие посылки и заключения могут быть истинны даже в случае ложности подчиненных им частных суждений, что также запре­щается логическим квадратом. Но несмотря на все эти ограничения, сил­логистика без экзистенциальных допущений имеет право на существо­

вание и нет никаких оснований пренебрегать ее изучением в обычном курсе традиционной логики. Тем более что без ее специального анализа трудно понять характерные особенности обычной силлогистики.

Возможность неэкзистенциальной силлогистики также доказывает уже подчеркивавшийся фундаментальный факт - никакая логика не сво­бодна от нелогических допущений. Выявление, систематизация и анализ логических следствий принятия каждого из них составляет задачу уже конкретного исследования.

Контрольные вопросы и задания

1. Решите следующие простые силлогизмы Л. Кэрролла:

а) Он дал мне пять фунтов стерлингов.

Я был в восторге;

б) Он всегда поет меньше часа.

Слушать пение в течение часа утомительно;

в) Ни один лентяй не достоин славы.

Некоторые художники не лентяи;

г) Все бледные люди флегматичны.

Только те, кто бледен, имеют поэтическую внешность;

д) Ричард вне себя от гнева.

Никто, кроме Ричарда, не может ездить верхом на этой лошади;

е) Предусмотрительные путешественники имеют при себе деньги на мелкие расходы.

Непредусмотрительные путешественники теряют свой багаж;

ж) Золото тяжелое.

Ничто, кроме золота, не заставит его замолчать;

з) Скучные люди наводят тоску.

Когда скучный человек собирается уходить из гостей, его ни­когда не просят остаться;

и) Все совы приятны.

Некоторые извинения неприятны;

к) Некоторые барашки распускаются на вербе.

Все барашки кудрявые;

л) Некоторые лысые люди носят парики.

У всех людей свои волосы;

м) Ласки иногда спят.

Все животные иногда спят.

2. Решите следующие сложные силлогизмы Л. Кэрролла:

а) Всякий, кто находится в здравом уме, может заниматься логи­кой;

б) Ни один лунатик не может быть присяжным заседателем;

в) Ни один из ваших сыновей не может заниматься логикой;

а) Никто не станет выписывать газету «Таймс», если он не полу­чил хорошего образования;

б) Ни один дикобраз не умеет читать;

в) Те, кто не умеет читать, не получили хорошего образования;

а) Яркие цветы всегда благоухают;

б) Я не люблю цветов, выросших на открытом воздухе;

в) Ни один цветок, выросший на открытом воздухе, не имеет бледной окраски;

а) Мой доктор разрешает мне есть лишь не очень калорийные блюда;

б) То, что я могу есть, вполне подходит для ужина;

в) Свадебные пироги всегда очень калорийны;

г) Мой доктор разрешает мне есть все, что подходит для ужина;

а) Ни у одной продаваемой здесь книги, кроме тех книг, которые выставлены на витрине, нет золоченого обреза;

б) Все авторские издания снабжены красным ярлычком;

в) Все книги с красными ярлычками продаются по цене от пяти шиллингов и выше;

г) Лишь авторские издания выставляются на витрине;

а) Те, кто нарушает свои обещания, не заслуживают доверия;

б) Любители выпить очень общительны;

в) Человек, выполняющий свои обещания, честен;

г) Ни один трезвенник не ростовщик;

д) Тому, кто общителен, всегда можно верить;

а) Все авторы литературных произведений, постигшие природу человека, - умные люди;

б) Ни одного автора нельзя считать истинным поэтом, если он не способен волновать сердца людей;

в) Шекспир написал «Гамлета»;

г) Ни один автор, не постигший природу человека, не способен волновать сердца людей;

д) Только истинный поэт мог написать «Гамлета»;

а) Любая моя мысль, которую нельзя выразить в виде силлогизма, поистине смешна;

б) Моя мечта о сдобных булочках не стоит того, чтобы ее записы­вать на бумаге;

в) Ни одну мою несбыточную мечту нельзя выразить в виде сил­логизма;

г) Мне не приходило в голову ни одной действительно смешной мысли, о которой бы я не сообщил своему поверенному;

д) Я только и мечтаю, что о сдобных булочках;

е) Я никогда не высказывал своему поверенному ни одной мысли, если она не стоила того, чтобы ее записать на бумаге;

а) Животные, которые не брыкаются, всегда невозмутимы;

б) У осла нет рогов;

в) Буйвол всегда может перебросить вас через ограду;

г) Животных, которые брыкаются, не легко проглотить;

д) Животное, у которого нет рогов, не может перебросить вас че­рез ограду;

е) Все животные, кроме буйвола, легко приходят в ярость.

3. Восстановите пропущенные посылки в следующих умозаключе­ниях:

а) Слово не воробей, вылетит - не поймаешь;

б) Скоро сказка сказывается, да не скоро дело делается;

в) Сколько веревку не вить, а концу быть;

г) Любишь кататься, люби и саночки возить;

д) Красна птица опереньем, а человек ученьем.