Глава 11 ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ (Ч. I)

Виды дедукции; выводы из простых суждений; силлогизм как вид дедукции; структурные формы (фигуры) силлогизмов; правила силлогизма; усложненные силлогизмы; несиллогистические выводы из простых суждений

В процессе исторического развития логики постепенно были изучены различные виды дедукции.

В настоящее время все дедуктивные умозаключения можно раз­делить на две большие группы:

1) дедуктивные умозаключения, в которых истинностное отно­шение посылок и заключения зависит от объемных отношений меж­ду входящими в них понятиями (именами);

2) дедуктивные умозаключения, в которых истинностное отно­шение посылок и заключения зависит от отношений между входя­щими в них суждениями.

В первом случае минимальной единицей анализа является имя (понятие), а во втором — простое суждение.

Дедукция, основанная на отношениях между понятиями (выво­ды из простых посылок). В эту группу умозаключений входят не­посредственные умозаключения и силлогизм.

К непосредственным умозаключениям относятся различные виды эквивалентных преобразований простых суждений типов А, Е, I, О. Кроме упоминавшихся выше выводов по логическому квадрату, это — обращение, превращение, противопоставление предикату.

Обращение — такое преобразование суждения, при котором субъект и предикат меняются местами. При этом выполняется пра­

вило: термины, не распределенные в посылке, не должны быть рас­пределены и в заключении.

Пример обращения суждений:

Ни один представитель парламентского меньшинства не присут­ствовал в зале заседаний. — Ни один человек, присутствовавший в зале заседаний, не был представителем парламентского меньшинства.

Здесь, в суждении типа Е, и субъект, и предикат распределе­ны, а потому поменять их местами достаточно легко.

Этого нельзя сказать об общеутвердительных суждениях, в ко­торых субъект распределен, а предикат — нет. Поэтому обраще­ние происходит с ограничением:

Все деревья нашего сада фруктовые. — Некоторые фруктовые деревья — деревья нашего сада.

Схема обращения суждений:

1) А (все S суть Р)

I (некоторые Р суть S)

2) Е (ни одно S не есть Р)

Е (ни одно Р не есть S)

3) I (некоторые S суть Р)

I (некоторые Р суть S)

4) О (частноотрицательные суждения не обращаются)

Превращение — это такое преобразование суждения, при кото­ром связка меняется на противоположную, а предикат заменяется противоречащим ему понятием.

Например: Все люди грешны. — Ни один человек не безгрешен.

Ни один студент не опоздал на лекцию. — Все студенты тако­вы, что не опоздали на лекцию.

Некоторые документы не оформлены првильно. — Некоторые документы оформлены неправильно.

Схемы превращения суждений:

1) А (все S суть Р)

Е (ни одно S не есть не-Р)

2) Е (ни одно S не есть Р)

А (все S суть не-Р)

3) I (некоторые S суть P)

О (некоторые S не суть не-Р)

4) О (некоторые S не суть Р)

I (некоторые S суть не-Р)

Противопоставление предикату (контрапозиция) — такое пре­образование суждений, при котором сначала производится превра­щение, а потом — обращение. В выводе субъектом является поня­тие, противоречащее предикату, а предикатом — субъект исходного суждения. Связка меняется на противоположную.

Например:

— Все паспорта заверяются гербовой печатью. — Ни один до­кумент, не заверенный гербовой печатью, не является паспортом.

— Ни один взяточник не является честным человеком. — Неко­торые нечестные люди — взяточники.

Схема контрапозиций:

1) А (все S суть Р)

Е (ни одно не-Р не есть S)

2) Е (ни одно S не суть Р)

I (Некоторые не-Р суть S)

3) О (некоторые S не суть Р)

I (некоторые не-Р суть S)

4) Суждения типа I не допускают противопоставления преди­кату.

Силлогизм.

У Аристотеля силлогизм принадлежит к роду логосов', под “ло­госом” в контексте логических работ Аристотель понимал рассуж­дение.

Об этой “принудительной силе” силлогизма сказано в опреде­лении следующим образом: “Силлогизм же есть речь, в которой, если нечто предположено, то с необходимостью вытекает нечто от­

личное от положенного в силу того, что положенное есть”^[51]. Ины­ми словами, принятые предположения достаточны для принятия заключения и не нуждаются ни в каких других основаниях.

Как видим, определение силлогизма у Аристотеля очень похо­же на определение того, что мы назвали правильным умозаключе­нием (и еще точнее: правильным дедуктивным умозаключением). Со временем термин “силлогизм” был переосмыслен. То, что у Ари­стотеля называлось силлогизмом, теперь называется дедуктивным умозаключением. Термин же “силлогизм” стал обозначать один из видов дедукции. Это произошло потому, что в логике были откры­ты другие виды дедукции, отличающиеся от аристотелевского сил­логизма. И все же следует отметить, что силлогизм в работах Ари­стотеля выглядит несколько иначе, чем силлогизм на страницах со­временных учебников логики. Изложение учения о силлогизме у Аристотеля сложнее, обширнее и, думается, теснее связано с реаль­ными рассуждениями.

Например, посылки силлогизма в “Первой аналитике” диффе­ренцируются в зависимости от того, говорят ли они “о том, что присуще, или о том, что необходимо присуще, или о том, что воз­можно присуще; и из них в соответствии с каждым способом ска­зывания одни утвердительные, другие отрицательные; и далее, из утвердительных и отрицательных одни — общие, другие — част­ные, третьи — неопределенные”^[52].

В современных учебниках логики не все эти характеристики посылок сохранены: модальные высказывания в силлогизме не фи­гурируют; в качестве посылок силлогизма рассматриваются лишь категорические суждения типов А, Е, I, О, и понятие “способов ска­зывания" тем самым существенно обедняется.

Но, с другой стороны, тот упрощенный вариант теории сил­логизма, который утвердился в логике в средние века, в новое вре­мя имеет некоторые оправдания: он легче усваивается и обладает достоинствами базового знания, лежащего в основании более раз­витых, сложных форм знания.

послеаристотелевской модели силлогизма, оговорив предваритель­но, что этот вариант лучше годится для первого знакомства с су­тью силлогизма. Этот вариант силлогизма называют “простым ка­тегорическим силлогизмом”.

Итак, что же такое простой категорический силлогизм! Про­стой категорический силлогизм^[53] — это дедуктивное умозаклю­чение, в котором вывод делается из двух простых суждений на ос­новании выраженного в них отношения трех понятий (терминов) по объему.

В основе всей теории силлогизма в качестве аксиомы лежит сле­дующее отношение.

Если известно, что одно понятие (1) полностью включается по объему в другое понятие (2), и если известно также, что понятие (2) полностью включается в третье понятие (3), то следует признать с необходимостью, что понятие (1) полностью включается в поня­тие (3).

Соединить эти отношения можно с помощью кругов Эйлера

Перед нами схема силлогизма, который Аристотель называл “совершенным силлогизмом”, а позже был назван мелодичным жен­ским именем Barbara (объясним смысл этого названия ниже);

Примеры силлогизмов вида Barbara:

Если мы признаем связь понятий, выраженную в посылках, то мы не имеем права не признавать связи понятий, выраженной в зак­лючении. Здесь можно оспаривать лишь посылки, но не силлогизм: можно сомневаться, все ли жадные завистливы и все ли завистли­вые — беспокойны, все ли природные санитары полезны и т. д., — но если мы предположим, что эти посылки истинны, то оспаривать сам факт следования из них заключения невозможно так же, как не­возможно, глядя на приведенную схему силлогизма Barbara, не при­знать, что (1) включается в (3).

Добавим к сказанному следующую весьма существенную де­таль.

Поскольку все вороны — природные санитары, все они — полезны.

Или: Конечно, все вороны полезны, так как все природные санитары полезны. Все люди смертны, значит, и греки смертны.

Или: Все греки смертны, поскольку они — люди.

Все жадные беспокойны, так как все завистливые — беспокойны.

Или: Все жадные — завистливы, вот почему все жадные — беспокойны.

То есть в реальных рассуждениях силлогизм представлен в со­кращенном виде — из трех суждений по крайней мере одно опус-

кается (оно как бы само собой подразумевается или, иными слова­ми, — содержится неявно, имплицитно).

Сокращенный таким образом силлогизм называется энтиме- мой. Прежде чем оценивать его правильность, следует восстановить энтимему до полного силлогизма. Заслугой Аристотеля является то, что он проанализировал все логические варианты полных силло­гизмов и показал, что для оценки правильности силлогизма необ­ходимо выразить его в эталонной, нормальной, полной форме, ибо только в этом случае мы располагаем достаточной информацией о силлогизме, о том, всем ли логическим требованиям он удовлетворя­ет. Реальный же способ употребления силлогизма — энтимема — не столь прозрачен для анализа.

Особенно ценной Аристотель считал в силлогизме общую посыл­ку (суждение типа А или Е), которую, как он советует, — “следует со­хранять в памяти” обязательно, так как “все частные заключения вы­водятся из общего”, “без общего нельзя делать никакое заключение”^[54].

Этот совет весьма полезен, т.к. чаще всего в силлогизмах опус­кается именно общая посыка: “Сократ — смертен, так как он че­ловек”. Пропущено: “Все люди смертны”. “Он и раньше, бывало, лгал. Вот почему он не заслуживает доверия”. Пропущено: “Все, кто лжет, не заслуживают доверия”.

Различие между сокращенным силлогизмом (энтимемой) и пол­ным силлогизмом в чём-то аналогично различию двух частей древ­неиндийского силлогизма — вывода “для себя" и вывода “для дру­гих".

Чтобы понять, что такое полный силлогизм, прочитать и оце­нить все его посыки с точки зрения их достаточности для приня­тия заключения, надо знать все элементы силлогизма.

Структура силлогизма. В качестве элементов силлогизма, связь которых влияет на его правильность, Аристотель выделял три тер­мина: меньший, средний и больший, две посылки — меньшую и большую — и заключение.

Терминами он называл “то, на что распадаются посылки”, а именно: имена и предикаторы посылок и заключения.

Поскольку меньший термин (1) и больший термин (3) всегда встречаются в заключении силлогизма, их лучше всего находить именно там.

Меньший термин силлогизма (1) — это понятие, которое явля­ется субъектом в заключении силлогизма.

Больший термин силлогизма (3) — это понятие, которое явля­ется предикатом в заключении силлогизма.

Средний термин силлогизма (2) — это понятие, которое дваж­ды встречается в посылках и которого нет в заключении.

Поскольку крайние термины различаются по их месту в зак­лючении силлогизма, будем далее их обозначать так:

- меньший термин — S

- больший термин — Р

- средний же термин обозначим буквой — М (от слова “меди­ум”), поскольку он выполняет роль посредника между S и Р в по­сылках.

Обе посылки тоже имеют у Аристотеля свои имена.

Большей посылкой называется та, в которую входит больший термин.

Меньшей посылкой называется та, в которую входит меньший термин.

Тогда приведенный выше пример силлогизма приобретает вид:

Эталонная (или нормальная) полная запись силлогизма пред­полагает, чтобы большая посылка всегда стояла на первом месте, меньшая посылка — на втором, заключение — на третьем. Так что наш пример следует записать так:

132

Теперь эту нормальную форму записи переведем на язык логи­ки, т.е. на язык, где есть два вида знаков — переменные и постоян­ные. Переменные S, Р и М обозначают понятия (термины); посто­янные обозначают способ связи между терминамив посылках и в заключении. Поскольку все 3 суждения в силлогизме — простые категорические суждения, то в качестве констант используются зна­ки А, Е, I и О, которые как раз и обозначают способ связи элемен­тов простого суждения. Тогда большая посылка может быть обо­значена так: М а Р, где М занимает место субъекта, а Р — место предиката в большей посылке, буквой а обозначается способ связи М и Р, а проще говоря, тип суждения: А — общеутвердительное суж­дение, как мы помним (см. раздел “Виды простых атрибутивных суждений”). Меньшую посылку обозначим: S а М, а заключение: S а Р; вместо слова “следовательно” после посылок проведем черту. Тогда запись всего силлогизма примет вид:

Как видим, в нашем примере все 3 простых суждения относят­ся к типу А — общеутвердительных суждений. Краткая запись этого силлогизма: ААА. Вот и объяснение для имени Barbara, которым названа эта разновидность силлогизма. А точнее, перед нами мо­дус Barbara первой фигуры силлогизма (по Аристотелю, совершен­ный силлогизм).

Модусами силлогизма называются его варианты, различа­ющиеся определенной последовательностью простых суждений А, Е, 1,0.

Фигурами силлогизма называются его варианты, различающи­еся положением среднего термина в посылках.

¹ Если обозначения среднего термина в посылках соединить меж­ду собой, то тогда по положению среднего термина в посылках мож­но различить следующие четыре структурных варианта силлогиз­ма, которые и называются фигурами силлогизма (схема 7):

Схема 7

Структурные варианты (фигуры) силлогизма

Эти схемы “изобретены” в средние века.

У Аристотеля таких схем не могло быть по той простой при­чине, что у него все суждения начинались с предиката, а не с субъек­та. Первая фигура силлогизма у него выглядела примерно так:

Если Р сказывается обо всех М,

а М сказывается обо всех S, то Р сказывается обо всех S.

Вторая фигура (один из вариантов):

Если М сказывается обо всех Р

и М не сказывается ни об одном S, то Р не сказывается ни об одном S.

В зависимости от сочетания видов простых суждений в по­сылках и заключении, в каждой из четырёх фигур есть несколь­ко правильных модусов; их можно просто запомнить, а можно вывести из общих правил силлогизма или из правил фигур или, наоборот, свести их — с помощью специальных правил обраще­ния, превращения и контрапозиции — к совершенному силлогиз­му Barbara.

Каждый волен пользоваться любым вариантом из перечис­ленных или, в конце концов, можно правильность любого сил­логизма проверить с помощью кругов Эйлера. Ведь силлогизм, не будем забывать, основан на объемных отношениях между по­нятиями.

Посылки и заключения — это суждения типов А, Е, I, О, каж­дое из них задает определенное отношение по объему между субъек­том и предикатом. Все правила силлогизма, как нетрудно убедить­

ся, основаны как раз на учете объемных отношений между тремя терминами: S, Р и М.

Общие правила силлогизма

Правила терминов:

1. В силлогизме должно быть только три термина.

Если терминов в силлогизме четыре, то имеет место ошибка, которая называется “учетверением терминов”.

Пример учетверения терминов: Лук есть оружие дикарей

Это растение — лук

Следовательно, это растение — оружие дикарей

2. Средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок.

Распределенность — логическое свойство термина. Термин рас­пределен, если есть логические признаки того, что он взят в пол­ном объеме. Например, если к нему относится общий квантор, то термин безусловно распределен. На этом основании можно утвер­ждать, что субъект общего суждения всегда распределен, а частно­го — не распределен. А как определить, распределен ли термин, если он является предикатом?

Достаточно посмотреть на объемные схемы простых суждений, чтобы понять, что предикат отрицательного суждения всегда рас­пределен (субъект в нем всегда исключается из всего объема преди­ката). Соответственно, субъект частных и предикат утвердительных суждений в общем случае не распределен.

Как видим, средний термин не распределен ни в одной посыл­ке, .поэтому силлогизм неправильный.

3. Если термин распределен в заключении, то он должен быть распределен в посылке.

Все тексты построены по правилам

Все тексты имеют смысл

Значит, все, что имеет смысл, построено по правилам.

Термин “иметь смысл” в заключении распределен, т.к. он яв­ляется субъектом общего суждения, а в посылке он не распределен, являясь предикатом утвердительного суждения. Значит, силлогизм неправилен.

Правила посылок:

4. Из двух отрицательных посылок нельзя сделать никакого вы­вода.

Ни один член правительства не входит в коммерческие струк­туры

Ни один депутат парламента не входит в коммерческие струк­туры

?

5. Из двух частных посылок нельзя сделать никакого вывода.

Некоторые свидетели его опознали

Некоторые свидетели запомнили точное время его появления

..

6. Если одна из посылок — частное суждение, то и заключение должно быть частным суждением.

7. Если одна из посылок — отрицательное суждение, то и зак­лючение должно быть отрицательным суждением.

Все рентабельные предприятия получают прибыль

Некоторые новые предприятия не рентабельны

Значит, некоторые новые предприятия не получают прибыли

8. Если обе посылки — утвердительные суждения, то и заклю­чение — утвердительное.

Правила фигур силлогизма:

Правила первой фигуры

1) Большая посылка должна быть общим суждением.

2) Меньшая посылка должна быть утвердительной.

Правила второй фигуры

1) Большая посылка должна быть общим суждением.

2) Одна из посылок и заключение должны быть отрицательны­ми суждениями.

Правила третьей фигуры

1) Меньшая посылка должна быть утвердительной.

2) Заключение должно быть частным суждением.

Правила четвертой фигуры

1) Если большая посылка утвердительная, то меньшая посыл­ка должна быть общей.

2) Если есть отрицательная посылка, то большая посылка должна быть общей.

3) Если меньшая посылка утвердительная, то заключение долж­но быть частным.

Каждое из этих правил можно доказать с помощью общих пра­вил силлогизма. С помощью круговых схем также можно убедить­ся, что в каждой фигуре не будет правильным ни один вариант (мо­дус), отличающийся от того, что предусмотрено правилами. Если, например, во второй фигуре большая посылка не является общей, то не следует с необходимостью никакого вывода, т.к. равно воз­можны варианты:

Всего возможно 256 модусов силлогизма. Из них выделены 24 правильных модуса всех четырех фигур:

Модусы первой фигуры

AAA (Barbara) ААІ (Barbari) (ослабленные модусы)

ЕАЕ (Celarent) EAO (Celaront)

АП (Darii)

ЕЮ (Ferio)

Модусы второй фигуры

ЕАЕ (Cesare) EAO (Cesaro)

АЕЕ (Camestres) АЕО (Camestros) (ослабленные модусьі)

ЕЮ (Festino)

АОО (Baroko)

Модусы третьей фигуры

ААІ (Darapti) ЕЮ (Feriso)

IAI (Disamis)

All (Datisi)

EAO (Felapton)

ОАО (Bocardo)

Модусы четвертой фигуры

AAI (Bramantir) AEO (Camenos) (ослабленный модус)

AEE (Camenes)

IAI (Dimaris)

EAO (Fesapo)

ЕЮ (Fresison)

Из приведенных 24 модусов силлогизма пять являются ослаб­ленными в том смысле, что они получаются из обычных модусов так, что вместо общего заключения берется частное: вместо А — I, вместо Е — О.

Например: ослабленный вариант модуса Barbara в 1-й фигуре — Barbari, ослабленный вариант модуса Cesare во 2-й фигуре — Cesaro и т. д.

Гласные в названиях модусов обозначают тип суждений в стан­дартной записи фигур: сначала большая посылка, затем меньшая и, наконец, заключение. Остается только вспомнить расположение тер­минов в данной фигуре. Например, вторая фигура имеет форму:

В XIII столетии было составлено мнемоническое стихотворе­ние для запоминания основных 19 модусов силлогизма. Знать это стихотворение полезно не только для ориентации, какие модусы правильны, какие — нет для каждой фигуры. Способ обозначения модусов содержит информацию о том, как доказать правильность этого модуса, к какому модусу первой фигуры можно свести этот модус с помощью перестановки терминов и посылок (например, с помощью обращения, превращения посылок).

Первая строчка перечисляет модусы первой фигуры (совершен­ного силлогизма), а название модусов остальных фигур начинаются с буквы, указывающей на соответствующий модус первой фигуры: Barbara, Celarent, Darii, Ferioque prioris;

Cesare, Camestres, Festino, Baroco secundae;

Tertia Darapti, Disamis, Datisi, Felapton;

Bocardo, Ferisoque habet; quarta insuper addit;

Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresion.

Завершая рассмотрение вопроса о правильных и неправильных модусах силлогизма, ещё раз отметим, что различить их можно:

1) запомнив все правильные модусы (например, с помощью мнемонического стихотворения);

2) с помощью общих правил силлогизма и/или правил фигур;

3) с помощью круговых схем Эйлера;

4) с помощью подбора контрпримера.

Каждый выбирает тот путь, который нравится. С точки зрения формирования логической грамотности, предпочтительнее 2-й спо­соб, с точки зрения глубины понимания темы — 3-й.

Усложненные силлогизмы. Сложным силлогизмом, или поли­силлогизмом, называется такая последовательность простых сил­логизмов, в которой заключение предыдущего силлогизма стано­вится посылкой последующего силлогизма.

Если при этом заключение становится большей посыкой сле­дующего силлогизма, то полисиллогизм называется прогрессив­ным, а если меньшей — регрессивным.

Пример прогрессивного полисиллогизма:

Все студенты сдают экзамены

Бее студенты вгнеты — студенты

Все студенты-юристы сдают экзамены

Все студенты-юристы сдают экзамены

Бек студенты нашей группы —студентычсрнсты

Все студенты нашей группы сдают экзамены

Все студенты нашей группы сдают экзамены

Студенты, сидяшке на “талергл”. — студенты вашей группы

Студенты, сидящие на “галерке”, сдают экзамены

Здесь признак “сдают экзамены” последовательно переносит­ся с общего понятия “студенты” на частный случай понятия “сту­денты, сидящие на “галерке”.

Пример регрессивного полисиллогизма:

Все самокритичные люди способны меняться к лучшему

Некоторый прі подаватели самокритичны

Некоторые преподаватели способны меняться к лучшему

Все люди, способные меняться к лучшему, имеют перспективы развития Некоторые пре«іодэьателн сгоссбмы мемятьсялгуншему Некоторые преподаватели имеют перспективы развития

Если в сложном силлогизме, начиная со второго силлогизма, опускается одна из посылок, такой силлогизм называется соритом.

Для иллюстрации превратим в сорит приведенные выше поли­силлогизмы:

Все студенты сдают экзамен

Все студенты-юристы — студенты

Все студенты нашей группы — студенты-юристы

Студенты, сид₽щмь на “галеркб\ —дтудеитьі нашей группы Студенты, сидящие на “галерке”, сдают экзамен

Все самокритичные люди способны меняться к лучшему

Некоторые преподаватели самокритичны

Все люди, способные меняться к лучшему, имеют перспективы развитии Некоторые преподаватели имеют перспективы развития

Несиллогистические выводы из простых суждений.

На существование несиллогистических выводов из простых суждений в логике давно обращали внимание. Например, в разра­ботках античных логиков (школа стоиков) уже присутствует теория умозаключений вида:

где х, у, z — знаки предметов, R — знак отношения между предме­тами, xRy, yRx, и xRz — формулы релятивных суждений.

Пример: Иван старше Петра

Петр старше Остапа Иван старше Остапа

Систематические теоретические исследования таких выводов связаны с возникновением логики отношений как варианта мате­матической логики. Один из первых вариантов алгебры логики как логики отношений принадлежит А. де Моргану — английскому ло­гику и математику (1806—1871), который считал, что любое суж­дение может быть представлено как релятивное. Из отечественных логиков в развитие логики отношений внесли вклад П. С. Повар- нин, Платон Порецкий (1846 — 1907; род. в Херсонской губ., учился в Полтаве и Харькове, работал в Казанском ун-те).

Логика отношений изучает некоторые самые общие свойства отношений, существенно влияющие на понимание суждений, их вы­ражающих, на практическое использование релятивных суждений в процессе вывода. Возьмем в качестве примера несколько релятив­ных суждений.

(1) Иван старше Петра

(2) Иван — ровесник Петра

(3) Иван выше Петра по росту

(4) Иван понимает Петра

(5) Иван завидует Петру

(6) Иван уважает Петра

(7) Иван — земляк Петра

На первый взгляд, в суждениях представлена одна и та же струк­тура, выражаемая формулой xRy. Но это далеко не так, поскольку знаком R здесь обозначены, вообще говоря, разные отношения.

В примерах 2 и 7 элементы можно поменять местами: Петр — ровесник Ивана; Петр — земляк Ивана. Для примеров 1 и 3 такая перестановка невозможна ни в одной ситуации. Если ее произвес­ти, получим противоречивые утверждения. Для примеров 4, 5 и 6 в некоторых ситуациях (“возможных мирах”) эта перестановка воз­можна, а в других — нет.

Отношение, в котором элементы можно менять местами все­гда (во всех возможных мирах), называются симметричными (“...брат...”, “...ровесник...”, “...равен...”, “...похож...”, “...земляк...”, “...сокурсник...” — примеры таких отношений). Отношения, в ко­торых элементы нельзя менять местами никогда (во всех возмож­

ных мирах), называются антисимметричными (“...старше...”, “...выше...”, “...дороже...”, “...больше...”, “...левее...” и т. п.). Отно­шения, элементы которых иногда можно менять местами, а иног­да нет (в разных возможных мирах), называются несимметричны­ми (“...любит...”, “...понимает...”, “...уважает...”, “...узнал...” и т. п.).

Отношение называется рефлексивным, если оно может реа­лизоваться на отношении элемента к себе самому (х равен х).

Отношение называется транзитивным, если оно таково, что во всех возможных мирах может “переходить” от одних пар элемен­тов к другой паре по схеме:

Транзитивными являются все отношения порядка (“...боль­ше..,”, “...старше...”, “...южнее...”, “...выше...”, “...тяжелее...”, “...на­следник...” и т. п.). В наших примерах 1, 2, 3, 7 присутствуют тран­зитивные отношения. Отношение антитранзитивно, если оно никог­да не может “переходить” по указанной схеме. Отношение нетран­зитивно, когда оно в одних возможных мирах переходит по дан­ной схеме, а в других — нет (“...любит...”, “...знает...”, “...является слугой...” и т. п.).

Пример умозаключения xRy , yRz

xRz ’

приведенный выше, принадлежит к надежным схемам рассуждения, только если R — транзитивное отношение.

142