Дедуктивные умозаключения с двумя посылками (простые силлогизмы)

Дедуктивные умозаключения вида, в котором ровно две посылки, принято называть простыми силлогизмами (от греч. syllogismos- сосчи- тывание, выведение). Посылки отделяются от заключения, как правило, горизонтальной чертой - графическим символом отношения логическо­го следования.

Создателем теории силлогизмов является Аристотель. Позже средне­вековые схоласты придали ей совершенный по тем временам вид учебной дисциплины, и с тех пор решение силлогизмов составляет важнейшую часть любого учебника по традиционной логике.

Формальное определение простого силлогизма содержится в следу­ющем определении (см. с. 115).

При решении силлогизмов существенное значение имеет выполне­ние пункта 1 определения силлогизма, т.е. нахождение ближайшего об­щего универсума для всех трех терминов. Если такой универсум опре-

Три суждения образуют простой силлогизм,

если

1) три различных термина силлогизма (А, В и С), воз­можно со знаками отрицания, являются независимы­ми понятиями с одним общим универсумом U;

2) одна из посылок содержит субъект заключения А и исключаемый термин В, другая - предикат за­ключения С и исключаемый термин В;

3) исключаемый термин В в заключении отсутс­твует;

4) все суждения связаны отношением логического следования таким образом, что одно из них (заклю­чение) является необходимым условием истинности двух других (посылок)

делить нельзя, то силлогизм решения не имеет. Например, подавляющее большинство начинающих изучать логику «успешно решает» следующий силлогизм Л. Кэрролла:

не обращая внимания на то, что его посылки не являются разновиднос­тями (ближайшего) общего универсума.

Продолжим анализ силлогизма о птицах. По определению силлогиз­ма А обозначает субъект заключения, В - исключаемый (средний) термин, С - предикат заключения. Функция исключаемого термина В состоит в том, чтобы связать субъект и предикат заключения в одно смысловое це­лое согласно следующей аксиоме силлогизма:

Аксиома силлогизма говорит о том, что после того как термины А и С связаны с термином В, последний может быть исключен из дальнейшего анализа.

Порядок посылок в силлогизме не существен, так же, впрочем, как не существенно, каким термином, А или С, обозначается субъект за­ключения. Существенным для любого силлогизма является правильное определение исключаемого термина В. Чтобы корректно определить ис­ключаемый термин, необходимо найти понятие, входящее в обе посылки, возможно со знаком отрицания или без него. Других таких понятий в сил­логизме быть не должно.

В приведенном примере силлогизма: А= «птицы, принадлежащие к классу “этих водоплавающих”»; В= «птицы, которые крякают»; С= «птицы, являющиеся утками»; U = «птицы». В символической записи силлогизм выглядит следующим образом:

Чтобы решать силлогизмы, необходимо знать правила их решения. Прежде чем их сформулировать в явном виде, закончим анализ примера с птицами. Допустим, мы не знаем, что следует из посылок в качестве дедуктивного заключения. Как можно это узнать, исходя только из ин­формации, сообщаемой посылками?

Так как буква А обозначает субъект заключения, то ищем посылку, в которую она входит, и строим соответствующее ей дерево согласно рис.

Отмечаем, что буква А связана разрешающим знаком «+» с буквой - В. Значит, чтобы продолжить дерево, необходимо преобразовать оставшуюся посылку таким образом, чтобы на месте ее субъекта также появилась буква - В. Только в этом случае будет выполнена аксиома силлогизма (*).

Вторая посылка имеет вид «Все С есть В». Значит, достаточно ее противопоставить, чтобы выполнить требование аксиомы силлогизма (*). Результат противопоставления имеет вид «Все - В есть - С». Стро­им дерево этой посылки и присоединяем его к уже построенному дереву первой посылки. Законченное силлогистическое дерево имеет вид:

О чем оно говорит? Оно сообщает, что все птицы, обладающие свойс­твом А, также обладают свойством - В, а все птицы, обладающие свойс­твами А и - В, также обладают свойством - С. Отбрасывая в соответствии с требованием аксиомы силлогизма (*) промежуточный термин - В, по­лучаем, что все птицы, обладающие свойством А, необходимо обладают свойством - С, т.е. получаем заключение «Все А есть - С» или, после превращения, «Ни одно А не есть С».

Формально процесс вывода заключения доказывается так. Знак «о» выполняет функцию нуля, так как обозначает нулевую вероятность су­ществования обозначаемой им ветви дерева. Его умножение на любой другой знак снова дает «о». Значит, вероятности ветвей АВС и АВ-С рав­ны нулю. По этой причине все ветви, отмеченные знаком «о», продол­жению не подлежат. Аналогично этому вероятность ветви А-В С также равна нулю, так как умножение «+» на «о» дает «о». Так как сумма ве­роятностей всех ветвей дерева всегда равна единице, то следует, что ве­роятность ветви А-В - С максимальна, т.е. равна единице. В результате силлогистическое дерево редуцируется к следующему виду:

что доказывает необходимость заключения «Все А есть - С» или, что рав­носильно, «Ни одно А не есть С».

Изменим первую посылку в нашем силлогизме следующим обра­зом:

Дерево первой посылки примет следующий вид:

Дерево второй посылки остается без изменения. Объединив оба де­рева в одно, получаем следующее:

Что следует в этом случае? Знак неопределенности «?», которым от­мечено суждение «Некоторые А есть В», означает, что у нас нет однознач­ной информации о том, связан термин А с В знаком «+» или знаком «о». По этой причине нельзя исключить возможность связи А с В и С знаком «+». И так как этой альтернативы исключить нельзя, то независимо от знака «о», маркирующего суждение «Некоторые - В есть С», необходи­мым может быть только заключение «Некоторые А не есть С».

Все заключения делятся на несколько видов согласно следующему определению.

Заключение называется прямым, если оно на­чинается с буквы А; противоположным, если оно начинается с отрицания буквы А, т.е. с - А; обрат­ным, если начинается с буквы С; обратно проти­воположным, если оно начинается с отрицания буквы С, т.е. с - С

Обратное заключение представляет собой результат обращения, про­тивоположное - результат отрицания субъекта прямого заключения, об­ратно противоположное - результат противопоставления прямого заклю­чения.

Прямое, обратное, обратно противоположное (или противополож­ное) заключения вместе исчерпывают все возможные виды решений сил­логизма.

Правила решения силлогизмов удобно разделить на правила постро­ения силлогистического дерева и правила вывода заключения.

Правила построения силлогистического дерева

1. Если опыт или интуиция сразу не подсказывают решение силло­гизма, последовательно строятся его деревья для вывода заключе­ния произвольного вида и в любом порядке.

2. Дерево силлогизма считается законченным, если и только если при его построении использованы все посылки.

3. Дерево силлогизма строится из деревьев посылок согласно шаб­лонам с использованием формул превращения, обращения и проти­вопоставления. Дерево частной посылки всегда выбирается в качес­тве вершины дерева силлогизма.

4. Продолжается только та ветвь, которая отмечена знаком «+». Ни одна из ветвей, отмеченных знаками «о» или «?», не продолжается.

5. Вершиной и конечными узлами силлогистического дерева могут быть только буквы А, - А, С или - С (и никогда буквы В или - В).

Правила вывода заключения

1. Если в верхней и нижней частях силлогистического дерева со­держатся только знаки «+» и «о», то заключение может быть как общим, так и частным.

2. Если в верхней части дерева знаки «+» и «?», а в нижней знаки «+» «о», то заключение может быть только частным.

3. Ничего не следует из рассматриваемой формы дерева силлогизма, если:

1) оно не может быть закончено из-за появления в верхней части двух знаков «?»;

2) в его нижней части имеется хотя бы один знак «?».

4. Силлогизм не имеет решения, если и только если нет прямого, обратного и обратно противоположного (или противоположного) заключения.

Рассмотрим несколько примеров решения силлогизмов, сформули­рованных в абстрактных терминах.

Пример 1

Доказать выводимость прямого заключения из следующих посылок:

Доказательство:

Пример 2

Доказать выводимость противоположного заключения из следую­щих посылок:

Доказательство (после обращения первой и противопоставления второй посылок):

Пример 3

Доказать выводимость обратного заключения из следующих посы­

лок:

Доказательство (после превращения второй посылки):

Пример 4

Доказать выводимость обратно противоположного заключения из

следующих посылок:

Доказательство (после обращения и противопоставления второй посылки, обращения первой посылки):

Пример 5

Доказать, что следующий силлогизм не имеет решения:

Доказательство: невозможность прямого, обратного, противопо­ложного, обратно противоположного заключений доказывают следую­щие деревья:

Прямое, обратное и противоположное заключения невозможны, по­тому что в нижней части силлогистических деревьев стоят знаки «?».

Допустим, посылки силлогизма сформулированы в естественном языке. В этом случае сначала их следует привести к нормальной форме, определить универсум силлогизма и найти исключаемый термин. Следу­ющий алгоритм позволяет быстро и надежно привести любой силлогизм к виду, удобному для формального решения.

Алгоритм решения простого силлогизма

1. Формулируем посылки силлогизма.

2. Приводим обе посылки к нормальной форме. Если невозможно определить ближайший общий универсум силлогизма, значит, дан­ный силлогизм решения не имеет.

3. Формализуем посылки. Ищем понятие, которое входит в обе по­сылки в утвердительной и/или отрицательной форме. Если такое понятие есть и оно единственное, то это исключаемый термин. Обозначаем его буквой В. Если такого понятия нет или оно не единственное, то данный силлогизм решения не имеет. Рассматри­ваем первую посылку. То понятие, которое не является исключае­мым термином, определяем как субъект заключения и обозначаем буквой А. Рассматриваем вторую посылку. То понятие, которое не является исключаемым термином, определяем как предикат заклю­чения и обозначаем буквой С.

4. Строим дерево силлогизма и решаем силлогизм.

5. Если силлогизм имеет решение, переводим заключение с симво­лического языка на естественный.

Рассмотрим несколько примеров решения силлогизмов согласно указанному алгоритму. Силлогизмы заимствованы из книги Л. Кэрролла «Логическая игра»^[32].

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Пример 6

Пример 7

Пример 8

4.4.