Простые суждения и деревья

Существует большое число методов вывода необходимых следствий из посылок. Среди них наиболее известны следующие.

1. Традиционный метод сведения дедуктивных умозаключений к пра­вильным фигурам и модусам, восходящий к Аристотелю, позже модифи­цированный средневековыми логиками и до сих пор доминирующий в учебной литературе.

2. Метод кругов Л. Эйлера.

3. Метод диаграмм Дж. Венна.

4. Метод диаграмм и метод индексов Л. Кэрролла.

5. Метод семантических таблиц.

Традиционный метод требует механического запоминания большого числа правил, фигур и модусов силлогизмов. Кроме того, он применим к ограниченному классу суждений (чьи термины не содержат знаков от­рицания). Методы кругов Л. Эйлера, диаграмм Дж. Венна и Л. Кэрролла более эффективны, но требуют использования большого числа рисунков. Метод индексов Л. Кэрролла представляет собой аналитический вариант его же метода диаграмм и при большом числе посылок также становит­ся плохо контролируемым. Использование метода семантических таблиц невозможно без предварительного знания определенных разделов сим­волической логики, что в значительной степени лишает традиционную логику самодостаточности.

Учитывая отмеченные ограничения, ниже предлагается простой, но чрезвычайно эффективный метод поиска дедуктивных следствий. Он яв­ляет собой усовершенствование метода диаграмм Л. Кэрролла и основан на следующем фундаментальном свойстве логического квадрата:

Истинность общего суждения эквивалентна истин­ности подчиненного ему частного суждения и лож­ности противоречащего ему частного суждения

Для большего удобства написания и чтения рисунков введем стан­дартный знак логического отрицания - «-». Этот знак ставится перед от­рицаемым термином или суждением и читается как «неверно, что».

Выражение - Х (не-Х), где Х обозначает S, Р или суждение в целом, истинно тогда и только тогда, когда Х ложно

Из истинности общеутвердительного суждения «Все Sесть Р» следу­ет истинность подчиненного ему частного суждения «Некоторые Sесть Р», что доказывает существование по крайней мере одной вещи, обла­дающей свойствами Sи Р, и ложность противоречащего ему частного суждения «Некоторые Sне есть Р», что доказывает невозможность су­ществования ни одной вещи, обладающей свойствами Sи - Р.

Из истинности общеотрицательного суждения «Ни один Sне есть Р» следует истинность подчиненного ему частного суждения «Некоторые S не есть Р», что доказывает существование по крайней мере одной вещи, обладающей свойствами Sи - P, и ложность противоречащего ему сужде­ния «Некоторые Sесть Р», что доказывает невозможность существования ни одной вещи, обладающей свойствами Sи Р.

Из истинности частного суждения «Некоторые Sесть Р» следует су­ществование по крайней мере одной вещи со свойствами Sи Р, но не сле­дует никакой информации относительно существования вещей со свойс­твами Sи - Р.

Из истинности частного суждения «Некоторые Sне есть Р» следует существование по меньшей мере одной вещи со свойствами Sи - Р, но не следует никакой информации относительно существования вещей со свойствами Sи Р.

Указанное свойство логического квадрата фактически означает ре­дукцию истинности общих суждений к определенному распределению значений истинности частных суждений. Основываясь на этом свойстве, каждое простое суждение можно символизировать в качестве определен­ной структуры, которую мы будем называть деревом означенных частных суждений.

В качестве базиса символизации выберем частные суждения «Неко­торые Sесть Р» и «Некоторые Sне есть Р». Они отличаются друг от друга только типом связки. Если суждение «Некоторые Sне есть Р» превратить, то отрицание со связки перейдет на предикат и мы получим эквивалент­ное ему суждение «Некоторые Sесть - Р».

Суждения «Некоторые Sесть Р» и «Некоторые Sесть - Р» имеют общий субъект Sи противоречащие предикаты - Р и - Р. Их объединение в общую структуру называется деревом (рис. 4.1).

Термин Sявляется общим субъектом для обоих суждений, поэтому он обознача­ет вершину дерева. Предикаты Р и - Р не­совместимы друг с другом, но оба связаны с термином S. Эта часть информации симво­лизируется как расхождение ветвей дерева из общей вершины S.

Однако дерево, изображенное на рис.

Рис.

4.1, еще ничего не говорит о логических свойствах самих суждений и дерева в целом. Для этого ветви дерева должны быть обозначены опреде­ленными знаками истинности.

Пусть знак «+» обозначает истинность частного суждения, знак «о» - его ложность, знак «?» - его неопределенность. Существует четыре вида простых суждений. Каждый из них может быть символизирован посредс­твом определенной комбинации знаков «+», «о» и «?»².

Шаблоны символизации простых суждений, которые рекомендуется использовать при решении силлогизмов, представлены ниже (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Шаблоны символизации простых суждений

²Знак «+» означает, что вероятность соответствующего частного суждения больше нуля; знак «о» - что его вероятность равна нулю; знак «?» - что значе­ние его вероятности не определено.

Одним из преимуществ изображения простых суждений в форме деревьев является возможность их одновременного прочтения как ут­вердительных, так и отрицательных. Другое преимущество состоит в значительном упрощении решения простых и сложных силлогизмов, построения прямого и косвенного доказательства. Последнее стало воз­можно вследствие резкого сокращения вспомогательных рисунков и лег­кости извлечения нужной информации.

4.3.