Логический квадрат (квадрат оппозиций и подчинений)

Допустим, сравниваемые суждения состоят из одинаковых терминов и имеют общий универсум. Существует простая методическая схема, ко­торая восходит к Аристотелю и позволяет определять значения истин­ности совместимых и несовместимых суждений.

Рис. 3.5. Логический квадрат

Каждый угол логического квадрата соответствует определенному виду простого суждения, которых, как известно, тоже четыре. Углы квад­

рата можно соединить шестью линиями. Каждая линия символизирует определенное отношение совместимости или несовместимости соответс­твующих суждений.

Линии логического квадрата

1. Левая и правая диагонали соединяют противоречащие суждения.

2. Верхняя горизонтальная линия соединяет противоположные суж­дения.

3. Левая и правая вертикальные линии соединяют суждения, находя­щиеся в отношении одностороннего подчинения (верхнее суждение под­чиняет нижнее).

4. Нижняя горизонтальная линия соединяет частично совместимые суждения.

Независимые суждения, как следует из их определения, с помощью логического квадрата не сравниваются.

Для вычислений значений истинности суждений с помощью логи­ческого квадрата введем новые символы. Пусть А обозначает общеутвер­дительное суждение, I- частноутвердительное суждение, Е - общеотри­цательное суждение, О - частноотрицательное суждение с одними и теми же предикатами и универсумом. Пусть «+» обозначает истинность, «-» - ложность и «?» - неопределенность суждения определенного вида.

Построим таблицу истинности суждений вида A, I, Eи Oсогласно требованиям логического квадрата (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Таблица истинности логического квадрата

Допустим, известно, что суждение вида А истинно.

воположное), суждение вида Iистинно (как ему подчиненное), суждение вида О ложно (как ему противоречащее).

Допустим, доказано, что суждение вида А ложно. В третьей строке сверху читаем, что при этом условии суждение вида Е неопределенно (так как оно может быть как истинным, так и ложным), суждение вида I неопределенно (так как оно может оказаться как истинным, так и неопре­деленным), суждение вида О истинно (как ему противоречащее).

Аналогично для остальных видов суждений.

Вместе с превращением, обращением и противопоставлением ло­гический квадрат позволяет решать и более общую задачу - вычислять значения истинности любых суждений, выражаемых в терминах простых суждений, если известна истинность или ложность любого одного из них.

С этой целью все сравниваемые суждения сначала приводятся к виду, удобному для использования логического квадрата (субъекты и преди­каты суждений стоят на одинаковых местах). Затем методом попарного сравнения определяется, какие суждения эквивалентны, частично сов­местимы, противоречивы, противоположны или соподчинены и незави­симы друг от друга. Наконец, на основании установленных отношений между суждениями вычисляются значения истинности самих суждений (по правилам логического квадрата). В том случае, когда суждение нельзя квалифицировать ни как истинное, ни как ложное, оно считается неопре­деленным.

Пример 1

Необходимо вычислить значение истинности второго, третьего, чет­вертого и пятого суждения, если по условию задано, что первое суждение из следующего списка истинно (ложно).

1. «Честность - лучшая политика» (Л. Кэрролл).

2. Не всякая честность - лучшая политика.

3. Не существует лучшей и честной политики.

4. Никакая нечестная политика не является нелучшей.

5. Единственная худшая политика - нечестная.

Сначала приводим первое суждение к нормальной форме: «Все S есть Р», где S = «честная», Р= «лучшая» и U = «политика».

Объяснение. Суждения 1 и 2 противоречат друг другу и совместно исчерпывают универсум U = «политика». Следовательно, если одно из них истинно (ложно), другое ложно (истинно). Суждения 1 и 3 (что ста­новится очевидным после обращения последнего) противоположны друг другу. Значит, если одно из них истинно, другое ложно, но обратное не­верно. Кроме того, они оба могут быть одновременно ложны. Следова­тельно, если одно из них ложно, значение истинности другого неопре­деленно. Суждения 1 и 4 независимые, т.е. ни одно из них не определяет значение истинности другого. Но суждение 4 подчиняет суждение 2 (что становится очевидным после обращения обоих и последующего превра­щения суждения 4), значение истинности которого известно. Из ложнос­ти суждения 2 однозначно следует ложность суждения 4, а из истинности суждения 2 следует только неопределенность суждения 4. Суждение 1 подчиняется суждению 5 (что становится очевидным после противопос­тавления суждения 5). Значит, если суждение 1 истинно, суждение 5 не­определенно; а если оно ложно, то ложно и суждение 5.

Пример 2

Решить указанную в примере 1 задачу для следующего списка суж­дений.

1. «Век невежества - век любви к церемониям» (Конфуций).

2. Не всякое время любви к церемониям есть время знания.

3. Не существует времени презрения к церемониям, которое одновре­менно являлось бы временем невежества.

4. Никакое время знания не является временем презрения к церемо­ниям.

5. Существует время знания, которое не является временем презре­ния к церемониям.

Приводим первое суждение к нормальной форме: «Все Sесть Р», где S = «время невежества», Р= «время любви к церемониям» и U = «время».

Вычисляем значения истинности всех суждений в зависимости от значе­ний истинности первого суждения.

Объяснение. Суждение 1 подчиняет суждение 2. Значит, если оно ис­тинно, суждение 2 также истинно. Но если суждение 1 ложно, то суждение 2 неопределенно. Суждения 1 и 3 эквивалентны друг другу. Следователь­но, они обязаны иметь одинаковые значения истинности. Суждения 1 и 4 независимые и не определяют значения истинности друг друга. Но суж­дение 4 (что становится очевидным после его обращения и превращения) противоположно суждению 3 и тем самым суждению 1. Следовательно, из истинности суждений 1 и 3 должна следовать ложность суждения 4. Из ложности суждений 1 и 3 следует только неопределенность суждения 4. Суждения 1 и 3 с одной стороны и суждение 5 с другой независимые.

Пример 3

Решить указанную в примере 1 задачу для следующего списка суж­дений.

1. «Не быть богатым не всегда дурно» (М. Зощенко).

2. Быть богатым всегда дурно.

3. Всегда дурно, когда ты богат.

4. Когда ты не богат, всегда дурно.

5. Иногда недурно быть богатым.

Приводим первое суждение к нормальной форме: «Некоторые не-S есть Р», где S = «ты богат», Р= «дурные (плохие)» и U = «периоды твоей жизни». Вычисляем значения истинности всех суждений в зависимости от значений истинности первого суждения.

Объяснение. Суждение 1 с одной стороны и суждения 2 и 3 с другой независимые. Значит, они не определяют значений истинности друг дру­га. Суждение 4 подчиняет суждение 1. Значит, если суждение 1 истинно,

то суждение 4 неопределенно, а если суждение 1 ложно, то ложно и суж­дение 4. Суждения 1 и 5 независимые и не определяют значений истин­ности друг друга.

3.7.