Глава 7 СЛОЖНОЕ СУЖДЕНИЕ И ЕГО ВИДЫ

Конъюнкция, дизъюнкция, эквиваленция, отрицание; отношения между суждениями: равносильность, противоречие, противоположность, следование

Сложным будет считаться любое суждение, среди элементов ко­торого есть суждения.

Истинность сложного суждения зависит от двух факторов:

A) от истинности простых суждений, входящих в его состав;

B) от способа связи простых суждений внутри сложного.

В логике выделяют следующие основные способы связи меж­ду простыми суждениями: конъюнкция (соединительная связь), дизъюнкция (разделительная связь), импликация и эквиваленция (условная связь), отрицание.

Конъюнкция — это такой способ связи (и, соответственно, — вид сложного суждения), при котором сложное суждение истинно, только если одновременно истинны все простые суждения, входя­щие в его состав.

Этот вид логической связи в языке выражается сочинительны­ми союзами и, да, но и др. (а также своего рода “перечислитель­ной” интонацией при бессоюзной сочинительной связи). Однако со­чинительные союзы в речи очень многозначны. Выражают ли они конъюнктивную связь или нет, определяется наиболее точно через соотношение истинности элементов и целого сложного суждения: при конъюнкции ложность хотя бы одного из простых суждений ведет к ложности всего сложного суждения.

В качестве определения конъюнкции может быть использова­на таблица 5, где а и b — произвольные простые суждения, а А b — формула конъюнктивного суждения, построенного из них.

Определение конъюнкции

Примеры конъюнктивных суждений:

— Для деспотии характерны неограниченная власть правите­ля и бесправие подданных.

Это суждение сложное, т.к. оно может быть разделено на

а

2 простых суждения: “для деспотии характерна неограниченная а

власть правителя” и “для деспотии характерно бесправие поддан­ных”. Его можно назвать конъюнктивным, т.к. оно истинно лишь в случае одновременной истинности обоих простых суждений.

а b

— Ход шхуны несколько замедлился, но направление движе­ния не изменилось.

Формула суждения: а Л b

а b

— Нестабильность политическая и экономическая, а также

с

плохая защита прав инвесторов отпугивают многие иностранные фирмы.

Дизъюнкция (простая) — это такой вид связи (и вид сложно­го суждения), при котором для истинности сложного суждения до­статочно истинности хотя бы одного из простых суждений.

Определение простой дизъюнкции

Как видим, дизъюнктивное суждение становится ложным толь­ко в том случае, когда ложны все без исключения простые сужде­ния, входящие в его состав.

В языке дизъюнкция выражается с помощью разделительных союзов (или, либо и др.).

Примеры дизъюнктивных суждений:

— Каждый работник фирмы знал английский или немецкий язык.

— Ошибки в рассуждениях могут быть или ошибками в посылках, или ошиб­ками в заключении.

— Гнев или страх заставляют применять насилие.

— Или в наше рассуждение вкралась ошибка, или мы исходили из ложной информации.

Эти суждения истинны как в том случае, когда оба простых сужде­ния истинны, так и в том, когда истинно только одно.

Дизъюнкция строгая — это такой вид связи (и вид сложного суж­дения), при котором сложное суждение истинно, если из всех сужде­ний, входящих в его состав, истинно только одно.

Таблица 7

Определение строгой дизъюнкции

В языке строгая дизъюнкция выражается разделительными со­юзами (или, либо .... либо, то .... то ...). Иногда — в случае, когда

элементы дизъюнкции являются членами деления, — строгая дизъ­юнкция передается союзом “и”.

Примеры строгой дизъюнкции:

— Бланк был заполнен гражданином Л. собственноручно или записи в нем сделаны кем-то другим.

— Вселенная либо конечна, либо бесконечна.

— Жилец квартиры то надолго исчезал, то вновь появлялся.

— Монархия бывает конституционной и неконституционной.

— Протагор судебный процесс либо выиграет, либо проиграет.

Импликация — это такой вид связи (соответственно — вид слож­ного услоного суждения), при котором сложное суждение ложно только в одном случае: при истинном основании и ложном следствии.

В языке этот вид связи обычно выражается условными союза­ми (если ..., то, тогда ..., когда, ... при условии, что ... и т. п.), но возможна и бессоюзная связь.

Примеры импликации:

— Каждый человек имеет право на свободное развитие своей личнос­ти, если при этом не нарушаются права и свободы других людей.

— Если при проектировании здания допущены грубые ошибки, то это­му зданию в дальнейшем угрожает серьезная опасность.

— Задержанное лицо немедленно освобождается, если в течение 72 ча­сов с момента задержания ему не вручено мотивированное решение суда о содержании под стражей.

— Кончился запас продуктов — переходим на н/з.

— Верховная Рада Украины является полномочной при условии, если избрано не менее двух третей от ее конституционного состава.

Во всех этих примерах одно суждение обозначает условие, с на­ступлением которого имеет место то, о чем идет речь во 2-м суж­дении: “если при этом не нарушаются права и свободы других лю­дей”; “если при проектировании здания допущены грубые ошиб­ки”; “если в течение 72 часов с момента задержания ему не вручено мотивированное решение суда о содержании под стражей”; “кон­чился запас продуктов”; “избрано не менее двух третей от ее кон­ституционного состава”.

Эта часть импликации называется основанием (или антецеден­том) .Другая часть импликации называется следствием (или кон- секвентом). В приведенных примерах следствиями являются сужде­ния: “каждый человек имеет право на свободное развитие своей личности”; “этому зданию в дальнейшем угрожает серьезная опас­ность”; “задержанное лицо немедленно освобождается”; “перехо­дим на н/з”; “Верховная Рада Украины является полномочной”.

Импликация обозначается формулой а —* Ь, где а — основа­ние, а b — следствие.

Таблица 8

Определение импликации

Эквиваленция — это такой способ связи (и такой вид сложно­го условного суждения), при котором сложное суждение истинно лишь при одинаковых значениях истинности основания и след­ствия.

В языке логическая связь передается языковыми союзами (”.. .только в том случае, если... ”, ”.. .только тогда, когда... ”, “если и только если... ”, ”...тогда и только тогда, когда...

Таблица 9

Определение эквиваленции

Примеры эквиваленции:

— Конфискация имущества может быть произведена только в том случае, если есть соответствующее решение суда.

— Лишь тогда, когда дул ветер, яхта продолжала движение.

— Работа может получить премию на конкурсе только при условии, что ав­тор проявил в ней способность к творчеству.

— Человек может быть полезен своей стране только в том случае, если ясно видит ее ( П. Я. Чаадаев).

Отрицание — это такой вид сложного суждения, элементами ко­торого являются: а) суждение (простое или сложное) и б) конструк­ция вида “неверно, что... ”.

Отрицание — это и вид связи между мыслями, одна из кото­рых — некоторое суждение, а другая — утверждение о том, что это суждение неверно (ложно). Но каждое суждение, как мы видим, мо­жет быть либо истинным, либо ложным. Если исходное суждение а — ложно, то суждение “неверно, что а” — будет истинно. Если же суждение а — истинно, то суждение “неверно, что а” — ложно.

Если суждения обозначать: а Л Ь, а ѵ Ь, а-*Ь, а**Ь, а конструк­цию “неверно, что...” обозначать знаком "* перед формулами, то мы получим формулы суждений и их отрицаний.

Таблица 10

Отрицание суждений

Отрицание суждения меняет его значение истинности на про­тивоположное.

Таблица 11

Определение отрицания сложных суждений

Для сравнения вспомним о процедуре отрицания простых суж- дений типов А, Е, I, О: при их отрицании квантор меняется на про­тивоположный, и связка меняется на противоположную. Покажем это с помощью соответствующих формул, приведенных в таблице 12.

Отрицание простых суждений меняет способ связи между субъектом (именем) и предикатом. Отрицание сложных суждений рассмотрено лишь с точки зрения изменения истинности как само­го сложного суждения, так и составляющих его простых суждений. Как видим, отрицание может осуществляться как изменение спо­собов связи разных элементов мысли. В одном случае это измене­ние способа связи имен и предикаторов, а в другом — как измене­ние способа связи суждений.

Вернемся к примеру с островом рыцарей и лжецов. Несколько изменим ситуацию. Вы приехали на остров, где живут рыцари, го­ворящие всегда только правду, и лжецы, которые всегда лгут. На­встречу вам появились два островитянина, и вы спросили одного из них, кто он. Он ответил вам: “Я или лжец, или рыцарь”.

Как видим, перед нами строгая дизъюнкция а ѵ Ь, где

а — “я лжец”

b — “я рыцарь”

Как на этот раз определить, кто же на самом деле ваш собеседник?

Если он лжец, то суждение а ѵ b — ложно; если он рыцарь, то — истинно.

Строгая дизъюнкция, как известно, истинна, если из всех про­стых суждений истинно только одно. Одновременно истинными и одновременно ложными а и b быть не могут. Но тогда оказывает­ся, что суждение “я либо лжец, либо рыцарь” лжец вообще не мо-

жет произнести. Почему? Потому, что тогда дизъюнкция а v b — должна быть ложной (поскольку произнес ее лжец), а суждения а и b — либо одновременно ложными, либо одновременно истинны­ми. То есть оказывается, в частности, что говорящий и лжец, и ры­царь одновременно, или ни то, ни другое, что абсурдно. Следова­тельно, допущение о том, что говорящий — лжец, приходится от­бросить. Но если неверно, что а, то есть что, говорящий — лжец, то мы вынуждены признать, что Ь — истинно, как истинно и все суждение а ѵ Ь, то есть говорящий — рыцарь.

Отношения между суждениями.

Выше мы рассматривали отношения между простыми сужде­ниями — противоречие, противоположность, подчинение, подпро­тивность — и иллюстрировали эти отношения с помощью логичес­кого квадрата, с помощью схем (кругов Эйлера).

Аналогичные логические отношения существуют и между сложными суждениями. Их интерпретация осуществляется с помо­щью таблиц истинности.

Эквивалентные (равносильные) суждения.

Предположим, у нас есть два сложных суждения. Мы постро­или для них таблицы истинности в составе общей таблицы и ока­залось, что для всех значений своих переменных формулы этих суж­дений принимают одинаковые значения (т.е. таблицы истинности этих формул одинаковы). В таком случае мы говорим об эквива­лентных, или равносильных суждениях (разумеется, они равносиль­ны только со стороны значения, т.е. истинности или ложности).

Итак, суждения являются эквивалентными (или равносильны­ми), если для всех значений своих переменных их формулы прини­мают одинаковые значения во всех строках построенной для них совместной таблицы.

Например:

Суждение (1) “Неверно, что Иванов встречал Петрова и с ним сотрудничал” эквивалентно суждению (2) “Неверно, что Иванов встречал Петрова, или неверно, что он с ним сотрудничал”. Ошиб­кой будет считать, что первое суждение равносильно суждению (3): “Иванов не встречал Петрова и с ним не сотрудничал” (как это практически иногда понимается).

Покажем это с помощью таблицы 13.

Равносильные суждения

Таблица 13

Здесь а — суждение “Иванов встречал Петрова”.

b — “Иванов сотрудничал с Петровым”.

Формула -»(а Л Ь) — соответствует суждению (1).

Нетрудно проследить, что формулы (1) и (2) имеют одинако­вые таблицы истинности (совпадающие во всех строчках), а фор­мула (3) имеет другую таблицу истинности. Поэтому суждения (1) и (2) равносильны, а суждения (1) и (3) — нет.

Логика давно интересуется эквивалентными суждениями, по­скольку они взаимозаменимы в рассуждениях. Точно знать, при ка­ких именно условиях суждения взаимозаменимы, а при каких — нет, — очень важно для оценки правильности рассуждений (вспом­ним требование закона тождества: на протяжении одного и того же рассуждения мысль должна оставаться одной и той же по смыслу и по предметному значению).

Если принимается в качестве истинного некоторое сложное суждение, то должно приниматься и равносильное ему суждение.

Приведем примеры равносильных суждений, знание которых позволяет выражать одни логические связи через другие:

Законы де Моргана

Приведенные выше примеры равносильных суждений (1) и (2) можно считать иллюстрацией закона де Моргана (отрицание конъюнкции равносильно дизъюнк­ции отрицаний).

Иллюстрацией другого закона де Моргана

(отрицание дизъюнкции равносильно конъюнкции отрицаний) можно считать следующий пример: (4) суждение “Неверно, что этот прибор испорчен или им неумело пользовались” равносильно суж­дению (5) “Неверно, что прибор испорчен, и неверно, что прибо­ром неумело пользовались”.

Другие примеры равносильных суждений: (6) “Неверно, что если определение отрицательное, то оно не является правильным”: (7) “Определения отрицательные и тем не менее правильные”.

Простые суждения тоже могут быть равносильными:

-S а Р = S о Р

-S е Р = S і Р

-S і Р = S е Р

“•S о Р = S а Р

Противоречащие суждения.

Противоречащими друг другу суждения являются тогда, ког­да при одинаковых значениях переменных формулы этих суждений не могут одновременно принимать ни значение “истина”, ни значе­ние “ложь”. Такие суждения отрицают друг друга.

Примеры противоречащих суждений:

Іа. Если информация надежна, то и выводы из нее надежны.

16. Информация может быть надежной, но выводы из нее — не надежными.

2а. Эти деньги потрачены на приобретение офисной мебели или на ремонт помещения.

26. Офисная мебель за последнее время не приобреталась и ре­монт не производился, так что деньги ни на мебель, ни на ремонт не тратили.

Покажем это с помощью таблицы 14.

Как видим, формулы, соответствующие суждениям Іа и 16, а также суждениям 2а и 26, — при одних и тех же значениях пере­менных а и в принимают во всех строчках противоположные зна­чения. Напомним, что в отношении противоречия находятся две пары простых суждений: АО и ЕІ, а также сложные суждения вида а Л b и “•(а Л Ь); а -»• b и “'(а —*■ b); а V b и “■(а V Ь) и т. п.

Противоположными суждениями называются такие суждения, формулы которых при одинаковых значениях переменных не мо­гут одновременно принимать значение “истина”; все остальные комбинации истинности возможны.

Например, суждения, соответствующие формулам а Л b и ->а Л “Ъ, находятся в отношении противоположности (таблица 15).

Таблица 15

Противоположные суждения

Пример: Этот напиток и приятен и полезен. — Этот напиток и не приятен, и не полезен.

Отношением противоположности связаны простые суждения типов А и Е.

Отношение логического следования имеет место между сужде­ниями тогда, когда истинность первого суждения не совместима с

ложностью второго. Например, истинность конъюнкциив не­совместима с ложностью ее элементов. Поэтому можно принять, что—знак отношения следования.

Если первое суждение сделать основанием импликации, а второе — следствием, то полученная импликация ни при каких значениях сво­их переменных не принимает значения “ложь” (таблица 16).

Таблица 16

Отношение логического следования

В логике таким формулам уделяется особое внимание. Выде­ляется ряд свойств формул, тесно связанных с перечисленными от­ношениями между суждениями.

Логические свойства формул суждений.

Среди существенных логических свойств формул отметим та­кие, как выполнимость и невыполнимость', логическую истинность (тождественно-истинность) и логическую ложность (тождествен- но-ложность, невыполнимость).

Выполнимой формула называется тогда, когда она принимает значение “истина” хотя бы при некоторых значениях своих пере­менных. То есть, таблица истинности выполнимой формулы содер­жит по меньшей мере одно значение “истина”.

Невыполнимой (или тождественно-ложной) формула называет­ся тогда, когда она не принимает значение “истина” ни при каких значениях своих переменных (то есть, таблица истинности такой формулы состоит только из значений “ложь” — во всех строчках).

Тождественно-истинной (или: логически истинной формулой, или: логической тавтологией, или: законом логики) называется та­кая формула, которая при всех значениях своих переменных при­нимает значение “истина” (ее таблица истинности состоит только из значений “истина” — во всех строчках).

Тождественно-истинные и тождественно-ложные формулы

Отношения между этими видами формул можно изобразить с помощью таблицы 18.

Виды формул суждений

Таблица 18