Доказательство и опровержение, их структура и ошибки

Основные законы мышления обращают наше внимание на исключи­тельную важность процедур доказательства, обоснования, аргумента­ции в достижении истинного знания. Соблюдение, например, закона достаточного основания придает нашему мышлению обоснованный и доказательный характер.

В широком смысле под доказательством понимается любой способ обо­снования истинности какого-либо утверждения. Например, результаты на­ших наблюдений, измерений, физических, химических и пр. опытов счита­ются особым видом непосредственного доказательства. Оно представляет собой практическое действие, в ходе которого доказываемое положение со­поставляется с фактами окружающей действительности. «Доказывая» сред­нюю длину шага, мы его замеряем и сравниваем с другими шагами.

В узком смысле под доказательством понимается логическая опе­рация обоснования истинности какого-либо утверждения при помощи других утверждений, истинность которых уже доказана. В таком дока­зательстве органы чувств уже не играют такой роли, как в непосредст­венных доказательствах, хотя, по сравнению с силлогизмами, устанав­ливающими формальную связь посылок и заключения, доказательство учитывает также истинность исходных суждений, из которых выводит­ся доказываемое положение. В этом состоит главное отличие логичес­кого доказательства от дедуктивного умозаключения.

Практическое значение логического доказательства особенно важно в тех областях науки и практики, где выводы о свойствах, связях и от-

ношениях объективного мира в принципе не допускают опытного по­дтверждения либо рассматриваются как нецелесообразные.

Структура доказательства. Логическое доказательство состоит из тезиса, аргументов и демонстрации.

1. Тезисом называется утверждение, истинность которого необхо­димо доказать.

2. Аргументы — это истинные суждения, которые используются для доказательства тезиса. В доказательства они также именуются ос­нованиями, посылками, доводами. Из них по определенным правилам выводится тезис доказательства. Например, для доказательства тезиса «Медь — электропроводка» используются следующие истинные аргу­менты: «Все металлы — электропроводны», «Медь — металл». Рассма­тривая эти истинные суждения в качестве посылок доказательства, мы можем, связав их определенным логическим образом, вывести из них доказываемое суждение «Медь — электропроводка».

В процессе доказательства могут использоваться разные аргументы: законы, истинные утверждения о фактах, теоремы, аксиомы и др. Ар­гументы бывают правильными или неправильными, корректными либо некорректными.

В логическом доказательстве используются аргументы ad rem (ка­сающиеся дела), которые считаются правильными и корректными. По содержанию они объективны и касаются сути доказываемого тезиса. Среди них выделяются следующие.

Аксиомы (от греч. axioma — без доказательства) — научные поло­жения, которые принимаются в качестве аргумента при доказательстве других положений без доказательства. В содержании понятия «аксио­ма» различают два логических смысла. Это — «истинное положение, не требующее доказательства» и «отправной пункт доказательства». Как отправной пункт доказательства понимал аксиому Аристотель, ис­ходя из того, что истинность аксиом самоочевидна и бесспорна. Поня­тие «аксиомы» помогает понять смысл аксиоматического метода по­строения научной теории, в ходе которого из аксиом, взятых в качестве исходных, логическим путем выводятся (доказываются) ее следствия (теоремы). Образцом аксиоматической теории античности была геоме­трия Евклида. В современных аксиоматических теориях реализуются такие требования к формальным системам, как непротиворечивость, полнота, независимость.

Теоремы — доказанные положения науки. Их доказательство имеет вид логического следствия из аксиом. Законы — особые положения на­ук, устанавливающие существенные, необходимые, устойчивые и по­вторяющиеся связи явлений.

Каждая наука имеет свои законы, результирующие определенный вид научно-исследовательской практики. Аксиомы и теоремы также принимают вид законов (аксиома силлогизма, теорема Пифагора).

Суждения о фактах — раздел научного знания опытно­экспериментального характера (результаты наблюдений, показания приборов, социологические данные, статистика, измерительные дан­ные, данные эксперимента и др.). В качестве аргументов берутся те из суждений о фактах, истинность которых подтверждена на практике.

Определения и их логический смысл ранее уже были рассмотрены. Здесь лишь укажем на то, что данная логическая операция позволяет фор­мировать в каждой научной области класс определений, которые играют двоякую роль: с одной стороны, они помогают специфицировать предмет и отличить его от других предметов данной области, а с другой стороны, расширять объем научных знаний, вводя новые определения.

3. Форма доказательства, или демонстрация, — это способ логи­ческой связи аргумента и тезиса доказательства. Это самое общее опре­деление доказательства, которое затем конкретизируется в соответст­вии с предметом науки. Логика исследует два вида доказательства.

3.1. Доказательство прямое, т. е. такое, в котором тезис необходимо следует из аргументов. Прямое доказательство часто принимает вид правильного силлогизма (категорического, условного, условно­категорического, разделительно-категорического, условно-разделитель­ного).

Например, докажем по модусу AAA тезис «2012 год является висо­косным».

А Любой год, в числовом выражении которого десятки с единица­ми делятся на 4, является високосным.

А В 2012 году — десятки и числа делятся на 4.

А Следовательно, 2012 г. — високосный год.

3.2. Доказательство косвенное или апогагическое (отводящее), в кото­ром истинность тезиса устанавливается не прямо, а через доказательство ложности противоречащего ему антитеза. Тезис и антитезис образуют логическое противоречие (как утверждение и отрицание). Поскольку закон непротиворечия запрещает одновременную истинность утверждения и отрицания, то установив логическое значение одного из противоречивых положений, мы можем «автоматически» получить логическое значение другого положения. Если в ходе доказательства утверждается одновре­менная истинность противоречивых положений, то это противоречит за­конам логики. Возникающую при этом форму мысли греки назвали пара­доксом (от греч. para — два и doxos — мнение). Широко известен парадокс «Лжеца» др. Древние греки не только установили правила комфортного состояния ума (возможность различать истину и ложь), но и начали соста­влять каталог его дискомфортных состояний. В него они включали не то­лько парадоксы, но апории, софизмы и др.

Вместе с тем, вопреки рекомендациям логики парадокс, как форма мысли используется в метафорах, в маркетинге («парадоксальная рек­лама»), оставаясь в формальной логике ошибкой рассуждения.

В одном ряду с парадоксами стоит абсурд (от лат. absurdus — глу­пый, нелепый). Под абсурдом в логике понимается внутренне противо­речивое высказывание. Оно также нарушает закон противоречия и по­буждает к признанию истинными утверждение и отрицание. Например, абсурдным будет следующее определение: «классическая формальная логика — это многозначная логика», поскольку первая признает «толь­ко два значения», а вторая — «только не два значения».

Логический смысл абсурда используется в доказательстве в таком его виде, как доказательство путем приведения к абсурду. Его смысл сводится к установлению противоречивых следствий из доказываемого тезиса: «Если из р следуют противоречивые следствия, то р — ложно».

Косвенное доказательство является частным случаем «приведения к абсурду». В нем устанавливаются не противоречивые следствия из одного тезиса, а противоречие единственного следствия реальному по­ложению дел или ранее доказанному. На этом основании делают за­ключение о ложности исходного допущения или антитезиса.

Логической схемой косвенного доказательства является правильный отрицающий модус условно-категорического силлогизма — модус тол- ленс («Если А, то B, не B, следовательно А»), Косвенное доказательст­во проводится поэтапно,

Пусть нам требуется доказать тезис А, Докажем его косвенно,

1, Для этого предположим, что истинно его отрицание — не-А,

2, В дальнейшем будем обращаться с не-А как с тезисом,

3, Научное истинное положение должно давать истинные следствия в данной области, Получаем из не-А следствие В,

4, Устанавливаем, что следствие В противоречит ранее доказанно­му, Следовательно, В — ложно, На логическом языке, оно есть не-В,

5, Ложность следствия (не-В) позволяет с необходимостью заклю­чить о ложности основания (допущения не-А):

Если не-А, то В не-В

Следовательно, А,

Значит, наше допущение (не-А) оказалось ложным, и истинным бу­дет противоречащее ему высказывание А, что и требовалось доказать.

C процедурой доказательства тесно связано опровержение, Опро­вержение — это логическая операция по установлению ложности тези­са, Задача опровержения — установить ложность выдвинутого положе­ния или его недоказанность, Доказать тезис А — значит обосновать его истинность, а опровергнуть тезис А — значит обосновать его ло­жность.

Опровержение составляют следующие элементы:

1, Тезис — положение, высказывание, которое необходимо опрове­ргнуть,

2, Аргументы — положения, истинные суждения, при помощи ко­торых опровергается тезис, Аргументы выступают основанием опрове­ржения,

3, Форма опровержения или демонстрация — логический способ связи аргументов и тезиса опровержения, Опровержение может иметь два вида:

3.1. Прямое опровержение тезиса означает обоснование ложности тезиса и истинности антитезиса и по структуре напоминает косвенное доказательство, Только оно начинается с допущения истинным не ан­титезиса, а опровергаемого тезиса, Из него выводятся следствия («Пусть то, в чем Вас обвиняют, — истина. Но тогда должны быть следствия... « — это ход рассуждения по логике опровержения.) Затем устанавливается несоответствие хотя бы одного из следствий действи­тельному положению вещей или ранее доказанному. («Но эти следст­вия отсутствуют или противоречат фактам... «) На основании чего из ложности следствия заключают о ложности основания, т. е. допущении истинности тезиса. Значит, тезис ложен, т. е. опровергнут. Поэтапно это выглядит следующим образом:

а) необходимо опровергнуть тезис А;

б) допускаем, что А — истинно;

в) из А получаем следствия, одно из которых (В) — ложно, т. е. не-В;

г) от ложности следствия заключаем к ложности основания:

Если А, то В

не-В

Следовательно, не-А

д) значит, А (тезис опровержения) — ложно, что и требовалось обо­сновать.

Нетрудно заметить, что прямое опровержение и косвенное доказа­тельство имеют не только аналогичный ход мысли, но и связаны по смыслу. Например, опровергнуть обвинение в убийстве означает дока­зать невиновность и, наоборот, доказать вину означает опровергнуть невиновность.

Прямым опровержением будет следующее рассуждение: «Предпо­ложим, что он действительно убил этого человека. Но в этом случае должны быть следы преступления, мотив, орудие. Ничего этого нет. Значит, нет и состава преступления».

2. Косвенное опровержение тезиса означает доказательство истин­ности антитезиса. Если смысл прямого опровержения — выведение из опровергаемого утверждения следствий, противоречащих истине, то задача косвенного опровержения — доказать истинность обратного утверждения (или антитезиса). Поскольку утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными, то, как только удается обос­новать истинность антитезиса, ложность тезиса следует «автоматичес­ки» по закону непротиворечия. Так, чтобы опровергнуть утверждение, что все лебеди белые, достаточно показать хотя бы одного черного ле­бедя. Как видим, логический смысл косвенного опровержения тот же, что и в косвенном доказательстве. Разными являются лишь логические задачи, стоящие перед доказательством и опровержением.

Косвенное опровержение имеет следующую структуру:

а) необходимо опровергнуть тезис А;

б) формулируем антитезис не-А (обратное утверждение);

в) прямо доказываем истинность антитезиса не-А;

г) истинность не-А означает ложность А, что и требовалось сделать.

Например, преподаватель хочет опровергнуть заявление студента, что он знает предмет. Он может делать это прямо, допуская, что он зна­ет этот предмет и установить ложные следствия (отсутствие ответа на вопрос). А может делать это косвенно, доказывая незнание предмета.

Кроме опровержения тезиса могут быть опровергнуты также аргу­менты и демонстрация. При опровержении аргументов устанавливается их ложность. Ложность аргументов не означает ложности тезиса, одна­ко указывает на некорректность операции опровержения. При опрове­ржении демонстрации выявляется неправильность связи аргументов и тезиса. Например, вместо модуса-толленса вывод может осуществлять­ся по одному из неправильных модусов условно-категорического сил­логизма. Опровержение демонстрации также не означает опровержения тезиса. Однако очевидно, что правильность демонстрации влияет на корректность опровержения в целом. В мышлении и языке познавате­льное значение опровержения чрезвычайно велико, ибо с помощью данной логической операции удается сократить количество ложных высказываний и заблуждений.

Корректность доказательства и опровержения достигается соблюде­нием правил, адресованных отдельно тезису, аргументам и демонстра­ции.

1. Правила тезиса.

1. Тезис должен быть точно, ясно, однозначно сформулирован. Ус­пех разговора, дискуссии, исследования в значительной степени зави­сит от формулировки тезиса, от того, насколько правильно в языке вы­ражен логический смысл тезиса. Нарушением этого правила является ошибка «двусмысленности тезиса». Например, доказать или опроверг­нуть тезис «Грибы ядовиты» трудно, так как не определена количест­венная сторона суждения.

2. Тезис должен оставаться одним и тем же на протяжении всего доказательства или опровержения. Нарушением этого правила является ошибка «подмены тезиса». Часто, начав доказывать один тезис, на са­мом деле доказывают другой, сходный тезис. Так, начав доказывать, что некий студент не ломал компьютер, иногда доказывают другой те­зис: «он в жизни не брал чужого».

2. Правила аргументов доказательства.

1. Аргументы должны быть суждениями истинными и не противо­речить друг другу.

Нарушением этого правила является ошибка «ложного основания» или «ложной посылки». Она может быть следствием незнания или преднаме- ренной ошибки (это: специально «подогнанная» статистика, ложные пока­зания и пр.). Часто в индуктивном рассуждении в качестве аргументов приводят «пример», «случай из жизни», «аналогичную ситуацию».

2. Аргументов может быть много, но их число должно быть конеч­ным и достаточным для доказательства тезиса.

Нарушением этого правила является ошибка «поспешного доказа­тельства или опровержения», «предвосхищения доказательства или опровержения». Она возникает в том случае, когда приведенный аргу­мент на самом деле лишь подготавливает обоснование тезиса или каса­ется его части. Так, начав доказывать ценность своей дипломной рабо­ты, студент аргументирует это тем, что он понравился всей группе, что он писал его год и не все время посвящал учебе. В логике также не счи­тается корректным аргумент ссылки на авторитет (ссылки на мнение крупных авторитетов), ибо авторитеты не могут быть компетентны во всем, а «истина — не дочь авторитета, а дитя времени» (А.Пуанкаре). Подробнее смысл этого аргумента мы рассмотрим ниже.

Истинность аргументов доказательства должна быть доказана неза­висимо от тезиса. Сколь бы длинным не было доказательство (полисил­логизм, эпихейрема), его посылками должны быть истинные суждения. Нарушением этого правила является ошибка «круг в доказательстве», когда смысл тезиса раскрывается через аргументы, а аргументы в свою очередь поясняются через тезис. Так, доказывая тезис, «лабораторная работа не сдана» приводится аргумент о том, что студент «пропускал занятия». В ответ студент доказывает, что «пропускал занятия», т.к. «лабораторная не сдана».

3. Правила демонстрации.

1. Любая логическая форма связи аргументов и тезиса должна быть правильной. Разные виды демонстрации (дедуктивные, индуктивные) влияют на логический статус доказательства или опровержения.

Нарушением этого правила является ошибка «мнимого следствия», «видимости доказательства». Сюда же относятся ошибки выводного знания: неправильного модуса силлогизма, поспешного обобщения, ложной аналогии.

2.